数学文卷·2017届青海省西宁五中、西宁十四中、西宁四中三校高三下学期联考（2017 10页

青海省西宁市四中、五中、十四中三校2017届高三下学期联考 文科数学 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。共150分，考试时间120分钟 注意事项：‎ ‎1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题纸上，考生要认真核对答题纸上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致。‎ ‎2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦净后，再选涂其他答案标号。第Ⅱ卷用黑色墨水签字笔在答题纸上书写作答，在试题卷上作答，答案无效。‎ 第Ⅰ卷（选择题 共60分）‎ 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求）‎ ‎1．已知集合，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2．若复数为虚数单位）是纯虚数，则实数的值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎3.函数,,则任取一点,使得≥的概率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎4. 若向量，，则与的夹角等于（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎5.若某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积等于（ ）‎ ‎ ‎ A． B． ‎ ‎ ‎ C． D．‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎6. 若,且，则的值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎7. 秦九韶是我国南宋时期著名的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法.如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入的值为，每次输入的值均为，输出的值为，则输入的值为（ ）‎ A. 3 B.4 C. 5 D. 6‎ ‎ ‎ ‎8. 已知是等比数列，且， ，则等于（ ）‎ A. B. 24 C. D. 48‎ ‎9.函数的图象大致为（ ）‎ ‎ ‎ ‎10．已知函数在定义域上不是常函数，且满足条件：对于任意的都有，则（ ）‎ A．是奇函数 B.是偶函数 ‎ C.既是奇函数又是偶函数 D.是非奇非偶函数 ‎11．经过点,且渐近线与圆相切的双曲线的标准方程为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎12．已知函数定义在上的奇函数，当时，，给出下列命题：‎ ‎①当时， ‎ ‎②函数有个零点 ‎③的解集为 ‎ ‎④，都有，‎ 其中正确的命题是_________．‎ A．①③ B．②③ C．③④ D．②④‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 第Ⅱ卷（非选择题共90分）‎ 本卷包括必考题和选考题两部分．第13～21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22～23题为选考题，考生根据要求作答。‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13．若满足 则的最大值为____. ‎ ‎14. 函数，则 ．‎ ‎15.若数列满足,则数列的通项公式是______．‎ ‎16．在三棱锥中，侧棱两两垂直，的面积分别为，则三棱锥的外接球的体积为_______.‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分）‎ ‎17．（本题满分12分）在中,角、、所对的边分别为、、.已知.‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）若的面积为，周长为 ，求.‎ ‎18．(本题满分12分) 为选拔选手参加“汉字听写大会”，某中学举行了一次“汉字听写竞赛”活动.为了了解本次竞赛学生的成绩情况，从中抽取了部分学生的分数（得分取正整数，满分为100分）作为样本（样本容量为）进行统计.按照，，，‎ ‎，的分组作出频率分布直方图，并作出样本分数的茎叶图（图中仅列出了得分在，的数据）．‎ ‎（Ⅰ）求样本容量和频率分布直方图中的、的值；‎ ‎（Ⅱ）在选取的样本中，从竞赛成绩在80分以上（含80分）的学生中随机抽取2名学生 参加“汉字听写大会”，求所抽取的2名学生中至少有一人得分在内的概率．‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎19．（本题满分12分）已知四棱锥，其中面，，为的中点.‎ ‎（Ⅰ）求证：面；‎ ‎（Ⅱ）求证：面面；‎ ‎（Ⅲ）求四棱锥的体积.‎ ‎20．（本题满分12分）已知椭圆的离心率，左顶点为.‎ ‎（1）求椭圆的方程； ‎ ‎（2）已知为坐标原点，、是椭圆上的两点，连接的直线平行交轴于点，‎ 证明： 成等比数列.‎ ‎21．（本小题满分12分） 已知函数．‎ ‎（1）当时，求函数在处的切线方程；‎ ‎（2）当时，若函数有两个极值点，不等式恒成立，求实数取值范围．‎ 请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号．‎ ‎22．（本题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系中，以原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．已知曲线（为参数），（为参数）．‎ ‎（1）化的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；‎ ‎（2）若上的点对应的参数方程的参数为，为上的动点，求中点到直线的距离的最小值．‎ ‎23．（本题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数．‎ ‎（1）当时，解不等式；‎ ‎（2）当时，恒成立，求的取值范围．‎ ‎2017三校联考试题文科数学答案 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 B A D C C D B B A B A C 一. 选择题 二. 填空题 ‎13、4 14、 15、 16、‎ 三、解答题 ‎17、【答案】（1）；（2）7．‎ ‎【解析】试题分析：（1）首先利用正弦定理化已知条件等式中的边为角，然后利用两角和的正弦公式结合三角形内角和定理求得的值，从而求得角的大小；（2）首先结合（1）利用三角形面积公式求得的关系式，然后根据余弦定理求得的值．‎ 试题解析：（1）由正弦定理可得 sinA＝2sinAcosAcosB－2sinBsin2A …2分 ‎＝2sinA(cosAcosB－sinBsinA)＝2sinAcos(A＋B)＝－2sinAcosC．‎ 所以cosC＝－，故C＝． …6分 ‎（2）由△ABC的面积为得ab＝15， …8分 由余弦定理得a2＋b2＋ab＝c2，又c＝15－(a＋b)，‎ 解得c＝7． …12分 考点：1、正弦定理与余弦定理；2、三角面积公式；3、两角和的正弦公式．‎ ‎【方法点睛】利用正弦定理与余弦定理解三角形，主要有两种题型：（1）给出三角形的边与角的关系解三角形，解答时主要采取的手段是是“边化角”与“角化边”；（2）在一个具体的三角形中给出相关的条件解三角形，解答时注意选择正弦定理与余弦定理．‎ ‎18、解: （Ⅰ）由题意可知，样本容量，，.‎ ‎（Ⅱ）由题意可知，分数在内的学生有5人，记这5人分别为，，，，，分数在内的学生有2人，记这2人分别为，.抽取的2名学生的所有情况有21种，分别为：‎ ‎（，），（，），（，），（，），（，），（，），（，），（，），（，），（，），（，），（，），（，），（，），（，），（，），（，），（，），（，），（，），（，）.‎ 其中2名同学的分数都不在内的情况有10种，分别为：‎ ‎（，），（，），（，），（，），（，），（，），（，），（，），（，），（，）. ‎ ‎∴ 所抽取的2名学生中至少有一人得分在内的概率.‎ ‎19、【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）详见解析；（Ⅲ）.‎ ‎【解析】试题分析：（Ⅰ）根据线面平行的判定定理，可证明平面外的线与平面内的线平行，则线面平行，故取AC中点G，连接FG，BG，即证明四边形是平行四边形，即证明线线平行，则线面平行；（Ⅱ）根据面面垂直的判定定理，先证明平面内的线垂直于另一个平面，即根据条件，可先证明平面，再根据,证明面面垂直；（Ⅲ）根据前两问已证，将四棱锥的体积进行分割，.（或直接做高）‎ 试题解析：（Ⅰ）证明：取AC中点G，连接FG，BG，‎ ‎∵F，G分别是AD，AB的中点，∴FG∥CD，且，‎ ‎∵BE∥CD，∴FG与BE平行且相等，FGBE为平行四边形，‎ ‎∴EF∥BG，又面ABC，BG面ABC，∴EF∥面ABC.‎ ‎（Ⅱ）证明：∵△ABC为等边三角形，∴BG⊥AG，‎ 又∵CD⊥面ABC，BG面ABC，∴CD⊥BG，‎ ‎∴BG垂直于面ADC的两条相交直线AC，DC，∴BG⊥面ADC，‎ ‎∵EF∥BG，∴EF⊥面ADC，∵EF面ADE，∴面ADE⊥面ADC.‎ ‎（Ⅲ）‎ ‎20、（Ⅰ）；（Ⅱ）见解析． ‎ ‎【解析】【试题分析】（1）依据题设条件建立方程进行求解；（2）借助题设条件建立直线的方程，再与椭圆方程联立，运用坐标之间的关系分析推证：‎ ‎（Ⅰ）由， 得，‎ 故椭圆的方程为. ‎ ‎（Ⅱ）设， ， ，则，‎ 将代入，整理得 ， ，得， ，‎ ‎，‎ ‎． 将代入，整理得 ， 得， ． 故， 所以， 成等比数列．‎ ‎21、解：（1）当时，；‎ ‎，则，所以切线方程为，即为．…4分 ‎（2）‎ 令，则 当时，，函数在上单调递增，无极值点； ‎ 当且，即时，由，得 当变化时，与的变化情况如下表：‎ ‎0‎ ‎0‎ 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 当时，函数有两个极值点，则， ．‎ 由可得．‎ ‎．‎ 令． ‎ 因为，所以，‎ ‎，即在递减，即有，‎ 所以实数的取值范围为． ‎ ‎22、解：（1）．‎ 为圆心是，半径是1的圆．‎ 为中心是坐标原点，焦点在轴上，长半轴长是8，短半轴长是3的椭圆． ‎ ‎（2）当时，，故，为直线，到的距离，‎ 显然，取得最小值 ‎23：（1）．‎ 当时，，即，解得；‎ 当时，，即，∴；‎ 当时，，即，∴．‎ 不等式解集为．‎ ‎（2）或恒成立，所以需即．‎ 故的取值范围是． ‎