高中数学选修2-3教学课件：条件概率 28页

课题引入 三张奖券中只有一张能中奖，现分别由三名同学 无放回 地抽取一张，奖品是“周杰伦武汉演唱会门票一张”，那么问 最后一名同学中奖的概率 是否比前两位小？ 解：设 三张奖券为 ，其中 Y 表示中奖奖券 且 Ω 为所有结果组成的全体， “ 最后一名同学中奖 ” 为事件 B ， 则所研究的样本空间 ∴ 由 古典概型 概率公式， 探究 : 如果 已经知道 第一名同学没有中奖， 那么最后一名同学中奖的概率是多少？ 知道第一名同学的结果会影响最后一名同学中奖的概率吗？ 记 和 为事件 AB 和事件 A 包含的基本事件个数 . 分析： ∵ 已知 A 发生导致可能出现的基本事件必然在事件 A 中 ， ∴ B A 而在事件 A 发生的情况下，事件 B 发生 事件 A 和 B 同时 发生，即事件 A ∩ B 发生 。 而此时 A ∩ B=B 可设 ” 第一名同学没有中奖 ” 为事件 A 由 古典概型 概率公式，所求概率为 已知 A 发生 引申： 对于刚才的问题，回顾并思考： 1 . 求概率时 均 用了什么概率公式？ 2 . A 的发生使得 样本空间 前后 有何变化？ 3 . A 的发生使得事件 B 有何变化？ 4 . 既然前面计算 , 涉及事件 A 和 AB ， 那么 用事件 A 和 AB 的概率 P(A) 和 P(AB) 可以表示 P(B|A ） 吗？ 古典概型概率公式 样本空间缩减 由事件 B 事件 AB 已知 A 发生 1. 定义 一般地，设 A ， B 为两个事件，且 ，称 为事件 A 发生的条件下，事件 B 发生的 条件概率 . P(B | A ） 读作 A 发生的条件下 B 发生的概率， 条件概率（ conditional probability ） P(B|A ） 相当于把 A 当做新的样本空间来计算 AB 发生的概率。 B A A ∩ B P ( A | B ）怎么读？怎么理解？怎么求解？ 2. 条件概率 的 性质： （ 1 ）有界性： （ 2 ）可加性：如果 B 和 C 是两个互斥事件，则 3 . 条件概率的适用范围： 有 “ 时态词 ” 做限定。 在 5 道题中有 3 道理科题和 2 道文科题。如果不放回地依次抽取 2 道题，求： (1) 第 1 次抽到理科题的概率； (2) 第 1 次和第 2 次都抽到理科题的概率； (3) 在第 1 次抽到理科题的条件下，第 2 次抽到理科题的概率。 例 1 解： 设 “ 第 1 次抽到理科题 ” 为事件 A ， “ 第 2 次抽到理科题 ” 为事件 B ，则 “ 第 1 次和第 2 次都抽到理科题 ” 就是事件 AB . Ω 为 “ 从 5 道题中 不放回地依次抽取 2 道题的样本空间。 ” 1. 掷两颗均匀骰子 , 问 : ⑴ “ 第一颗掷出 6 点”的概率是多少？ ⑵ “掷出点数之和不小于 10” 的概率又是多少 ?⑶ “ 已知第一颗掷出 6 点 ，则掷出点数之和不小于 10” 的概率呢？ 11 12 13 14 15 16 21 22 23 24 25 26 31 32 33 34 35 36 41 42 43 44 45 46 51 52 53 54 55 56 61 62 63 64 65 66 61 62 63 64 65 66 解：设 Ω 为所有基本事件组成的全体，“第一颗掷出 6 点”为事件 A ，“掷出点数之和不小于 10” 为事件 B , 则“已知第一颗掷出 6 点，掷出点数之和不小于 10” 为事件 AB （ 2) （ 3 ） 如何规范解答？ 用几何图形怎么解释？ A ∩ B A ∩ B B A 练一练 一张储蓄卡的密码共有 6 位数字，每位数字都可以从 0~9 中任选一个。某人在银行自动提款机上取钱时，忘记了密码的最后一位数字。求 ： (1) 任意按最后一位数字，不超过 2 次就按对的概率。 (2) 如果他记得密码的最后一位是偶数，不超过 2 次就按对的概率。 解：设 “ 第 i 次按对密码”为事件 （ i=1,2), 则 表示“不超过 2 次就按对密码”。 （ 1 ） ∵事件 与事件 互斥，由概率的加法公式得 P （ A )= P ( ） + P （ ） = （ 2 ） 用 B 表示“最后一位按偶数”的事件，则 例 2 你能归纳出求解条件概率的一般步骤吗？方法有几种？ 想一想 求解条件概率的一般步骤： （ 1 ）用字母表示有关事件 （ 2 ）求 P ( AB ）， P ( A ) 或 n( AB ),n( A ) ( 3 ) 利用条件概率公式求 2 . 如图所示的正方形被平均分成 9 个部分，向大正方形区域随机的投掷一个点（每次都能投中），设投中最左侧 3 个小正方形的事件记为 A ，投中最上面 3 个小正方形或中间的 1 个小正方形的事件记为 B ，求 P ( A | B ), P ( B | A ), 解：∵ ， , 例 3 一盒子装有 4 只产品 , 其中有 3 只一等品 ,1 只二等品 . 从中取产品两次 , 每次任取一只 , 作不放回抽样 . 设事件 A 为 “ 第一次取到的是一等品 ” , 事件 B 为 “ 第二次取到的是一等品 ” , 试求条件概率 P ( B | A ). 解 由条件概率的公式得 练习 3 练习 3 . 一个盒子中有６只白球、４只黑球，从中不放回地每次任取１只，连取２次，求 (1) 第一次取得白球的概率； (2) 第一、第二次都取得白球的概率； (3) 第一次取得黑球而第二次取得白球的概率． 解 设Ａ表示第一次取得白球 , Ｂ表示第二次取得白球 , 则 （ 2 ） （ 3 ） （ 1 ） 练习 4 练习 5 一批产品中有 4% 的次品，而合格品中一等品占 45% . 从这批产品中任取一件，求该产品是一等品的概率． 解 : 设Ａ表示取到的产品是一等品，Ｂ表示取出的产品是合格品， 则 于是 所以 例 4 练习 4: 抛掷一颗骰子 , 观察出现的点数 B={ 出现的点数是奇数 } ＝｛１，３，５｝ A={ 出现的点数不超过 3} ＝｛１，２，３｝ 若已知出现的点数不超过 3 ，求出现的点数是奇数的概率 解： ∵ 事件 A 发生的条件下，事件 B 的概率即Ｐ（ B ｜ A ） 　　 A B 都发生，但样本空间缩小到只包含 A 的样本点 5 2 1 3 4,6 练习 5. 考虑恰有两个小孩的家庭 . 若已知某一家有男孩，求这家有两个男孩的概率；若已知某家第一个是男孩，求这家有两个男孩（相当于第二个也是男孩）的概率 . （假定生男生女为等可能） Ω={ ( 男 , 男 ) , ( 男 , 女 ) , ( 女 , 男 ) , ( 女 , 女 ) } 解 于是得 ={( 男 , 男 ) , ( 男 , 女 ) } 则 Ｂ ={( 男 , 男 ) , ( 男 , 女 ) , ( 女 , 男 ) } Ａ ={( 男 , 男 ) } ， 设 Ｂ = “ 有男孩” ， =“ 第一个是男孩” Ａ = “ 有两个男孩” ， 1. 条件概率 2. 概率 P(B|A) 与 P(AB) 的区别与联系 2. 某种动物出生之后活到 20 岁的概率为 0.7 ，活到 25 岁的概率为 0.56 ，求现年为 20 岁的这种动物活到 25 岁的概率 . 解 即平均 1000 个具有阳性反应的人中大约只有 87 人患有癌症 . 解 设 A 表示“活到 20 岁” ( 即≥ 20) ， B 表示“活到 25 岁” ( 即≥ 25) 则 所求概率为 0.56 0.7 5 2. 某种动物出生之后活到 20 岁的概率为 0.7 ，活到 25 岁的概率为 0.56 ，求现年为 20 岁的这种动物活到 25 岁的概率 . 3. 甲，乙，丙 3 人参加面试抽签，每人的试题通过不放回抽签的方式确定。假设被抽的 10 个试题签中有 4 个是难题签，按甲先，乙次，丙最后的次序抽签。试求 1 ）甲抽到难题签， 2 ）甲和乙都抽到难题签， 3 ）甲没抽到难题签而乙抽到难题签， 4 ）甲，乙，丙都抽到难题签的概率。 解 设 A ， B ， C 分别表示“甲、乙、丙抽到难签” 则 4. 全年级 100 名学生中，有男生（以事件 A 表示） 80 人，女生 20 人； 来自北京的（以事件 B 表示）有 20 人，其中男生 12 人，女生 8 人；免修英语的（以事件 C 表示） 40 人中，有 32 名男生， 8 名女生。求 1. 条件概率的定义 . 2. 条件概率的性质 . 3. 条件概率的计算方法 . 一、基本知识 二、思想方法 1. 由特殊到一般 2. 类比、归纳、推理 (1) 有界性（ 2 ）可加性 （ 古典概型 ） （ 一般概型 ） 3. 数形结合 小结与收获 4. 求解条件概率的一般步骤 用字母 表示 有关 事件 求相关量 代入公式求 P(B|A ) 3 . 设 P ( A | B )= P ( B | A ) , P ( A )= , 求 P ( B ) 的值 . 补充练习 解：∵ , ∴ P ( B )= P ( A )= 分析：由条件概率的定义可化简条件等式 作业：课本课后习题 1,2 探究性作业： 1. 如果是 有放回地 抽取，第一名同学抽的结果对最后一名同学有没有影响？ 2. 概率 P(B | A) 与 P(AB) 的联系与区别是什么？ 作业与探究 谢 谢！ 书山勤为径，学海乐做舟， 乘风破浪会有时，直挂云帆济沧海 !