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- 2021-06-23 发布
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2018年5月
绵阳南山中学2017-2018学年高二下学期半期考试数学试题(理科)
命题人: 鲁洁玉 审题人:巫仕俊
本试卷分试题卷和答题卡两部分,其中试题卷由第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分组成,共4页;答题卡共4页.满分100分,考试时间100分钟.
第Ⅰ卷(选择题,共48分)
一、选择题:本大题共12小题,每小题4分,共48分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,把它选出来填涂在答题卡上。
1. 已知命题 :“, ”,则 是( )
A. , B. ,
C. , D. ,
2.对于空间任意一点和不共线得三点、、,有如下关系: ,则( )
A. 四点、、、必共面 B. 四点、、、必共面
C. 四点、、、必共面 D. 五点、、、、必共面
3.已知p:,q:或,则p是q的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4.在某次学科知识竞赛中(总分100分),若参赛学生成绩服从N(80, 2)(>0),若在(70,90)内的概率为0.8,则落在[90,100]内的概率为( )
A. 0.05 B. 0.1 C. 0.15 D. 0.2
5.设函数, 则定积分等于( )
A. B. 2 C. D.
6.设函数在R上可导,其导函数f′(x),且函数在x=﹣2处取得极小值,则函数y=xf′(x)的图象可能是( )
y
y
y
y
x
O
x
x
x
O
O
-2
-2
-2
O
-2
A. B. C. D.
7.袋中有大小完全相同的2个白球和3个黄球,逐个不放回地摸出两球,设“第一次摸得白球”为事件,“摸得的两球同色”为事件,则为( )
A. B. C. D.
8.有位男生, 位女生和位老师站在一起照相,要求老师必须站中间,与老师相邻的不能同时为男生或女生,则这样的排法种数是( )
A. B. C. D.
9.记,则的值为( )
A. 2187 B. 2188 C. 127 D. 128
10.四棱柱中, , ,则与所成角为( )
A. B. C. D.
11.已知为定义在上的可导函数,且恒成立,则不等式的解集为( )
A. B. C. D.
12.当时,函数的图象总在曲线的上方,则实数a的最大整数值为( )
A. -1 B. -2 C. -3 D. 0
第Ⅱ卷(非选择题,共52分)
二、填空题:本大题共4小题,每小题3分,共12分。把答案填在答题卷题中横线上。
13.已知复数(是虚数单位),则z的虚部为___________.
14.的展开式中的系数是__________.(用数字作答)
15.在边长为2的正方体中,E,F分别为DA,BB1的中点,,N分别为线段D1A1,A1B1上的动点(不包括端点)满足,则线段MN的长度的取值范围为__________.
16.已知函数有两个极值点,则实数的取值范围是__________.
三、解答题:本大题共4小题,共40分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.已知p:复数,在复平面内,复数所对应的点在第四象限;q: 成立.若为真且为假,求m的取值范围.
18.摩拜单车和小黄车等各种共享单车的普及给我们的生活带来了便利.已知某共享单车的收费标准是:每车使用不超过1小时(包含1小时)是免费的,超过1小时的部分每小时收费2元(不足1小时的部分按1小时计算,例如:骑行2.5小时收费4元).现有甲、乙两人各自使用该种共享单车一次.设甲、乙不超过1小时还车的概率分别为1小时以上且不超过2小时还车的概率分别为两人用车时间都不会超过3小时.
(1)求甲乙两人所付的车费相同的概率;
(2)设甲乙两人所付的车费之和为随机变量求的分布列及数学期望
19.如图所示,正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长是2,侧棱长是,D是AC的中点.
(1)求证:B1C∥平面A1BD;
(2)求锐二面角A1-BD-A的大小;
20.已知函数.
(1)当a=1时,求在处的切线方程;
(2)讨论的单调性;
(3)当时,证明不等式.
绵阳南山中学2018年春季高2016级半期考试
数学试题(理科)参考答案
1.D 2.B 3.A 4.B 5.C 6.A 7.C 8.D 9.C 10.B 11.A 12.A
13. 14.-120 15. 16.
17.命题p:.解得,所以∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙3分
命题q:,即
当时,∴∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙6分
又∵若为真且为假,∴p与q一真一假
∴或 ∴ ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙10分
18.(1)所付费用相同即为0,2,4元.
设付0元为付2元为付4元为∙∙∙∙∙∙3分
(2)设甲乙两个所付费用之和为 可为0,2,4,6,8,
随机变量的分布列是:
∙∙∙∙∙∙8分
数学期望∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙10分
19.(1)连接AB1交A1B于点M,连接B1C,DM.
∵三棱柱ABC-A1B1C1是正三棱柱,所以四边形AA1B1B是矩形,所以M为AB1的中点.
∵D是AC的中点,∴MD是三角形AB1C的中位线,所以MD∥B1C.
∵MD⊂平面A1BD,B1C⊄平面A1BD,∴B1C∥平面A1BD.∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙4分
(2)作CO⊥AB于点O∴CO⊥平面ABB1A1,以O为坐标原点,建立空间直角坐标系
则A(1,0,0),B(-1,0,0),C(0,0,),A1(1,,0).
∴D(,0,),=(,0,),=(2,,0).
设n=(x,y,z)是平面A1BD的法向量,所以即
令x=-,则y=2,z=3.∴n=(-,2,3)是平面A1BD的一个法向量.
由题意可知=(0,,0)是平面ABD的一个法向量,
∴cos〈n,〉==.∴二面角A1-BD-A的大小为.∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙10分
20.(1)当a=1时,f(x)= ∴f(1)=0
∵ ∴ ∴在处的切线方程为y=0∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙2分
(2)解:.
当a≤0时,ax-1<0,从而f′(x)<0,
函数f(x)在(0,+∞)上单调递减;
当a>0时,若0,则ax-1>0,从而f′(x)>0,
函数在上单调递减,在上单调递增. ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙5分
(3)证明令,其中t>e-1
可得
再设,可得在(e-1,+∞)上恒成立
∴G(t)是(e-1,+∞)上的增函数,可得
因此,
在(e-1,+∞)上恒成立,可得是(e-1,+∞)上的增函数.
∵x>y>e-1,∴F(x)>F(y),可得
∵ln(1+x)>0且ln(1+y)>0
即对任意x>y>e-1,都有不等式成立.∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙10分