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- 2021-06-23 发布
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全*品*高*考*网, 用后离不了!2016-2017学年广东省清远市清城三中高二(上)期中数学试卷(理科)
一、选择题(60分,每题5分)
1.双曲线﹣=1(mn≠0)的离心率为2,有一个焦点与抛物线y2=4x的焦点重合,则mn的值为( )
A. B. C. D.
2.函数f(x)在R上可导,且f(x)=x2f′(2)﹣3x,则f(﹣1)与f(1)的大小关系是( )
A.f(﹣1)=f(1) B.f(﹣1)>f(1) C.f(﹣1)<f(1) D.不确定
3.已知F1(﹣3,0),F2(3,0)是椭圆+=1的两个焦点,点P在椭圆上,∠F1PF2=α.当α=时,△F1PF2面积最大,则m+n的值是( )
A.41 B.15 C.9 D.1
4.已知双曲线C的离心率为2,焦点为F1、F2,点A在C上,若|F1A|=2|F2A|,则cos∠AF2F1=( )
A. B. C. D.
5.命题“∃x0∈R,2x0﹣3>1”的否定是( )
A.∃x0∈R,2x0﹣3≤1 B.∀x∈R,2x﹣3>1
C.∀x∈R,2x﹣3≤1 D.∃x0∈R,2x0﹣3>1
6.已知f(x)=xln x,若f′(x0)=2,则x0等于( )
A.e2 B.e C. D.ln 2
7.抛物线y=ax2的准线方程是y=2,则a的值为( )
A. B. C.8 D.﹣8
8.下列说法中正确的是( )
A.一个命题的逆命题为真,则它的逆否命题一定为真
B.“a>b”与“a+c>b+c”不等价
C.“a2+b2=0,则a,b全为0”的逆否命题是“若a,b全不为0,则a2+b2≠0”
D.一个命题的否命题为真,则它的逆命题一定为真
9.函数f(x)=ax3+bx2+cx+d的图象如图,则函数y=ax2+bx+的单调递增区间是( )
A.(﹣∞,2] B.,+∞) C.[﹣2,3] D.,+∞)
10.在下列结论中,正确的结论是( )
①“p∧q”为真是“p∨q”为真的充分不必要条件;
②“p∧q”为假是“p∨q”为真的充分不必要条件;
③“p∨q”为真是“¬p”为假的必要不充分条件;
④“¬p”为真是“p∧q”为假的必要不充分条件.
A.①② B.①③ C.②④ D.③④
11.若不等式2xlnx≥﹣x2+ax﹣3对x∈(0,+∞)恒成立,则实数a的取值范围是( )
A.(﹣∞,0) B.(0,+∞) C.(﹣∞,4] D.[4,+∞)
12.定义在R上的函数f(x)满足:f′(x)>f(x)恒成立,若x1<x2,则f(x2)与f(x1)的大小关系为( )
A. f(x2)>ex2f(x1)
B. f(x2)<f(x1)
C. f(x2)=f(x1)
D. f(x2)与f(x1)的大小关系不确定
二、填空题(20分,每题5分)
13.在△ABC中,若角A,B,C成等差数列,且边a=2,c=5,则S△abc= .
14.已知{an}的前项之和Sn=2n+1,则此数列的通项公式为 .
15.已知Sn为等差数列{an}的前n项和,a1=25,a4=16,当n= 时,Sn取得最大值 .
16.在数列{an}中,a1=2,an+1=an+ln(1+),则an= .
三、解答题
17.设△ABC的内角A,B,C所对边分别为a,b,c,且a+c=6,b=2,cosB=.
(1)求a,c的值;
(2)求sin(A﹣B)的值.
18.等差数列{an}中,a2=4,a4+a7=15.
(Ⅰ)求数列{an}的通项公式;
(Ⅱ)设bn=2+n,求b1+b2+b3+…+b10的值.
19.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足向量=(cosA,cosB),=(a,2c﹣b),∥.
(I)求角A的大小;
(II)若a=2,求△ABC面积的最大值.
20.如图,在△ABC中,B=,BC=2,点D在边AB上,AD=DC,DE⊥AC,E为垂足,
(1)若△BCD的面积为,求CD的长;
(2)若ED=,求角A的大小.
21.等差数列{an}中,Sn为其前n项和,已知a2=2,S5=15,数列{bn},b1=1,对任意n∈N+满足bn+1=2bn+1.
(Ⅰ)数列{an}和{bn}的通项公式;
(Ⅱ)设cn=,求数列{cn}的前n项和Tn.
22.设命题p:实数x满足x2﹣4ax+3a2<0,其中a>0,命题q:实数x满足.
(1)若a=1,且p∧q为真,求实数x的取值范围;
(2)若¬p是¬q的充分不必要条件,求实数a的取值范围.
2016-2017学年广东省清远市清城三中高二(上)期中数学试卷(理科)
参考答案与试题解析
一、选择题(60分,每题5分)
1.双曲线﹣=1(mn≠0)的离心率为2,有一个焦点与抛物线y2=4x的焦点重合,则mn的值为( )
A. B. C. D.
【考点】圆锥曲线的共同特征;抛物线的简单性质;双曲线的简单性质.
【分析】先根据抛物线方程求得抛物线的焦点,进而可知双曲线的焦距,根据双曲线的离心率求得m,最后根据m+n=1求得n,则答案可得.
【解答】解:抛物线y2=4x的焦点为(1,0),则双曲线的焦距为2,
则有解得m=,n=
∴mn=
故选A
2.函数f(x)在R上可导,且f(x)=x2f′(2)﹣3x,则f(﹣1)与f(1)的大小关系是( )
A.f(﹣1)=f(1) B.f(﹣1)>f(1) C.f(﹣1)<f(1) D.不确定
【考点】函数的单调性与导数的关系;函数单调性的性质.
【分析】因为函数关系式中的f′(2)为常数,先求出导函数f′(x)令x=2求出f′(2),即可得到f(x),把1和﹣1代入即可比较f(﹣1)与f(1)的大小关系.
【解答】解:f′(2)是常数,
∴f′(x)=2xf′(2)﹣3⇒f′(2)=2×2f′(2)﹣3⇒f′(2)=1,
∴f(x)=x2﹣3x,
故f(1)=1﹣3=﹣2,f(﹣1)=1+3=4.
故选B.
3.已知F1(﹣3,0),F2(3,0)是椭圆+=1的两个焦点,点P在椭圆上,∠F1PF2=α.当α=时,△F1PF2面积最大,则m+n的值是( )
A.41 B.15 C.9 D.1
【考点】椭圆的简单性质.
【分析】由∠F1PF2=α.当α=时,△F1PF2面积最大,可得此时点P为椭圆的一个短轴的端点,∠F1PO=.可得
a,又c=3,a2=b2+c2,联立解出即可得出.
【解答】解:∵∠F1PF2=α.当α=时,△F1PF2面积最大,
∴此时点P为椭圆的一个短轴的端点,∴∠F1PO=.
∴a,又c=3,a2=b2+c2,
联立解得b2=3,a2=12.
∴m+n=a2+b2=15.
故选:B.
4.已知双曲线C的离心率为2,焦点为F1、F2,点A在C上,若|F1A|=2|F2A|,则cos∠AF2F1=( )
A. B. C. D.
【考点】双曲线的简单性质.
【分析】根据双曲线的定义,以及余弦定理建立方程关系即可得到结论.
【解答】解:∵双曲线C的离心率为2,
∴e=,即c=2a,
点A在双曲线上,
则|F1A|﹣|F2A|=2a,
又|F1A|=2|F2A|,
∴解得|F1A|=4a,|F2A|=2a,||F1F2|=2c,
则由余弦定理得cos∠AF2F1===.
故选:A.
5.命题“∃x0∈R,2x0﹣3>1”的否定是( )
A.∃x0∈R,2x0﹣3≤1 B.∀x∈R,2x﹣3>1
C.∀x∈R,2x﹣3≤1 D.∃x0∈R,2x0﹣3>1
【考点】命题的否定.
【分析】直接利用特称命题的否定是全称命题,写出结果即可.
【解答】解:因为特称命题的否定是全称命题,所以,命题“∃x0∈R,2x0﹣3>1”的否定是:∀x∈R,2x﹣3≤1.
故选:C.
6.已知f(x)=xln x,若f′(x0)=2,则x0等于( )
A.e2 B.e C. D.ln 2
【考点】导数的运算.
【分析】先对函数进行求导,然后根据f′(x0)=2,建立等式关系,解之即可求得答案.
【解答】解:∵f(x)=xln x,(x>0)
∴f′(x)=lnx+1,
∵f′(x0)=2,
∴f′(x0)=lnx0+1=2,
解得x0=e,
∴x0的值等于e.
故选:B.
7.抛物线y=ax2的准线方程是y=2,则a的值为( )
A. B. C.8 D.﹣8
【考点】抛物线的定义.
【分析】首先把抛物线方程转化为标准方程x2=my的形式,再根据其准线方程为y=﹣即可求之.
【解答】解:抛物线y=ax2的标准方程是x2=y,
则其准线方程为y=﹣=2,
所以a=﹣.
故选B.
8.下列说法中正确的是( )
A.一个命题的逆命题为真,则它的逆否命题一定为真
B.“a>b”与“a+c>b+c”不等价
C.“a2+b2=0,则a,b全为0”的逆否命题是“若a,b全不为0,则a2+b2≠0”
D.一个命题的否命题为真,则它的逆命题一定为真
【考点】命题的真假判断与应用.
【分析】由四种命题的等价关系可判断A,D;利用等价命题的定义,可判断B;写出原命题的逆否命题,可判断C;
【解答】解:一个命题的逆命题为真,则它的否命题一定为真,一个命题为真,则它的逆否命题一定为真,但一个命题的逆命题为真,则它的逆否命题不一定为真,故A错误,D正确;
“a>b”⇔“a+c>b+c”,故B错误;
“a2+b2=0,则a,b全为0”的逆否命题是“若a,b不全为0,则a2+b2≠0”,故C错误;
故选:D
9.函数f(x)=ax3+bx2+cx+d的图象如图,则函数y=ax2+bx+的单调递增区间是( )
A.(﹣∞,2] B.,+∞) C.[﹣2,3] D.,+∞)
【考点】利用导数研究函数的单调性;函数的图象;二次函数的性质.
【分析】由图象知a>0,d=0,不妨取a=1,先对函数f(x)=x3+bx2+cx+d进行求导,根据x=﹣2,x=3时函数取到极值点知f'(﹣2)=0 f'(3)=0,故可求出b,c的值,再根据函数单调性和导数正负的关系得到答案.
【解答】解:不妨取a=1,
∵f(x)=x3+bx2+cx,∴f'(x)=3x2+2bx+c
由图可知f'(﹣2)=0,f'(3)=0
∴12﹣4b+c=0,27+6b+c=0,∴b=﹣1.5,c=﹣18
∴y=x2﹣x﹣6,y'=2x﹣,当x>时,y'>0
∴y=x2﹣x﹣6的单调递增区间为:[,+∞)
故选D.
10.在下列结论中,正确的结论是( )
①“p∧q”为真是“p∨q”为真的充分不必要条件;
②“p∧q”为假是“p∨q”为真的充分不必要条件;
③“p∨q”为真是“¬p”为假的必要不充分条件;
④“¬p”为真是“p∧q”为假的必要不充分条件.
A.①② B.①③ C.②④ D.③④
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断;复合命题的真假.
【分析】先判断命题的正误,可知①③是正确的,②④是假命题,然后再根据¬p,必要条件、充分条件和充要条件的定义进行判断.
【解答】解:①③是正确的,②④是假命题,
其中②中,“p∧q”为假是“p∨q”为真的既不充分也不必要条件,
④“¬p”为真,“p”为假,
∴“¬p”为真是“p∧q”为假的充分不必要条件.
11.若不等式2xlnx≥﹣x2+ax﹣3对x∈(0,+∞)恒成立,则实数a的取值范围是( )
A.(﹣∞,0) B.(0,+∞) C.(﹣∞,4] D.[4,+∞)
【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用.
【分析】由已知条件推导出a≤x+2lnx+,x>0,令y=x+2lnx+,利用导数性质求出x=1时,y取最小值4,由此能求出实数a的取值范围.
【解答】解:∵2xlnx≥﹣x2+ax﹣3对x∈(0,+∞)恒成立,
∴a≤x+2lnx+,x>0,
令y=x+2lnx+,
则=,
由y′=0,得x1=﹣3,x2=1,
x∈(0,1)时,y′<0;
x∈(1,+∞)时,y′>0.
∴x=1时,ymin=1+0+3=4.
∴a≤4.
∴实数a的取值范围是(﹣∞,4].
故选:C.
12.定义在R上的函数f(x)满足:f′(x)>f(x)恒成立,若x1<x2,则f(x2)与f(x1)的大小关系为( )
A. f(x2)>ex2f(x1)
B. f(x2)<f(x1)
C. f(x2)=f(x1)
D. f(x2)与f(x1)的大小关系不确定
【考点】函数恒成立问题.
【分析】构造函数g(x)=,可得g′(x)=>0,于是函数g(x)在R上单调递增,进而得出.
【解答】解:构造函数g(x)=,则g′(x)=>0,因此函数g(x)在R上单调递增,
∵x1<x2,∴g(x1)<g(x2),即<,
因此: f(x2)>f(x1).
故选:A.
二、填空题(20分,每题5分)
13.在△ABC中,若角A,B,C成等差数列,且边a=2,c=5,则S△abc= .
【考点】正弦定理;等差数列的通项公式.
【分析】在△ABC中,由角A,B,C依次成等差数列并结合三角形内角和公式求得B=,进而利用三角形的面积公式即可计算得解.
【解答】解:在△ABC中,由角A,B,C依次成等差数列,可得A+C=2B,
再由三角形内角和公式求得B=.
由于a=2,c=5,
故S△ABC=acsinB==.
故答案为:.
14.已知{an}的前项之和Sn=2n+1,则此数列的通项公式为 .
【考点】等比数列的前n项和.
【分析】根据题意和公式,化简后求出数列的通项公式
【解答】解:当n=1时,a1=S1=2+1=3,
当n≥2时,an=Sn﹣Sn﹣1=2n+1﹣(2n﹣1+1)=2n﹣2,
又21﹣1=1≠3,所以,
故答案为:.
15.已知Sn为等差数列{an}的前n项和,a1=25,a4=16,当n= 9 时,Sn取得最大值 117 .
【考点】等差数列的性质.
【分析】由等差数列通项公式求出公差d,由此能求出an=28﹣3n<0,得n>,由此能求出n=9时,Sn取得最大值.
【解答】解:∵{an}是等差数列,其中a1=25,a4=16,
∴由a4=a1+3d,得16=25+3d,解得d=﹣3.
∴an=a1+(n﹣1)d=25﹣3(n﹣1)=28﹣3n.
由an<0,得28﹣3n<0,
解得n>.
∴a1>a2>…>a9>0>a10>a11>…
故n=9时,Sn最大值=9×25+×(﹣3)=117.
故答案是:9;117.
16.在数列{an}中,a1=2,an+1=an+ln(1+),则an= 2+lnn .
【考点】数列递推式.
【分析】由n=1,2,3,分别求出a1,a2,a3,a4,总结规律,猜想出an.
【解答】解:a1=2+ln1,
a2=2+ln2,
,
,
由此猜想an=2+lnn.
用数学归纳法证明:
①当n=1时,a1=2+ln1,成立.
②假设当n=k时等式成立,即ak=2+lnk,
则当n=k+1时, =2+lnk+ln=2+ln(k+1).成立.
由①②知,an=2+lnn.
故答案为:2+lnn.
三、解答题
17.设△ABC的内角A,B,C所对边分别为a,b,c,且a+c=6,b=2,cosB=.
(1)求a,c的值;
(2)求sin(A﹣B)的值.
【考点】余弦定理;同角三角函数间的基本关系;两角和与差的正弦函数;正弦定理.
【分析】(1)利用余弦定理列出关系式,将b与cosB的值代入,利用完全平方公式变形,求出acb的值,与a+c的值联立即可求出a与c的值即可;
(2)先由cosB的值,利用同角三角函数间的基本关系求出sinB的值,再由a,b及sinB的值,利用正弦定理求出sinA的值,进而求出cosA的值,所求式子利用两角和与差的正弦函数公式化简后,将各自的值代入计算即可求出值.
【解答】解:(1)∵a+c=6①,b=2,cosB=,
∴由余弦定理得:b2=a2+c2﹣2accosB=(a+c)2﹣2ac﹣ac=36﹣ac=4,
整理得:ac=9②,
联立①②解得:a=c=3;
(2)∵cosB=,B为三角形的内角,
∴sinB==,
∵b=2,a=3,sinB=,
∴由正弦定理得:sinA===,
∵a=c,即A=C,∴A为锐角,
∴cosA==,
则sin(A﹣B)=sinAcosB﹣cosAsinB=×﹣×=.
18.等差数列{an}中,a2=4,a4+a7=15.
(Ⅰ)求数列{an}的通项公式;
(Ⅱ)设bn=2+n,求b1+b2+b3+…+b10的值.
【考点】等差数列的性质.
【分析】(Ⅰ)建立方程组求出首项与公差,即可求数列{an}的通项公式;
(Ⅱ)bn=2+n=2n+n,利用分组求和求b1+b2+b3+…+b10的值.
【解答】解:(Ⅰ)设公差为d,则,
解得,
所以an=3+(n﹣1)=n+2;
(Ⅱ)bn=2+n=2n+n,
所以b1+b2+b3+…+b10=(2+1)+(22+2)+…+
=(2+22+…+210)+(1+2+…+10)
=+=2101.
19.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足向量=(cosA,cosB),=(a,2c﹣b),∥.
(I)求角A的大小;
(II)若a=2,求△ABC面积的最大值.
【考点】余弦定理;正弦定理.
【分析】(I)根据平面向量的共线定理,利用正弦定理,即可求出A的值;
(2)根据余弦定理,利用基本不等式,即可求出三角形面积的最大值.
【解答】解:(I)∵向量=(cosA,cosB),=(a,2c﹣b),∥,
∴(2c﹣b)cosA=acosB,
由正弦定理得:(2sinC﹣sinB)cosA=sinAcosB,
整理得2sinCcosA=sin(A+B)=sinC;
在△ABC中,sinC≠0,∴cosA=,
∵A∈(0,π),故;
(2)由余弦定理,cosA==,
又a=2,∴b2+c2﹣20=bc≥2bc﹣20,
得bc≤20,当且仅当b=c时取到“=”;
∴S△ABC=bcsinA≤5,
所以三角形面积的最大值为5.
20.如图,在△ABC中,B=,BC=2,点D在边AB上,AD=DC,DE⊥AC,E为垂足,
(1)若△BCD的面积为,求CD的长;
(2)若ED=,求角A的大小.
【考点】解三角形.
【分析】(1)利用三角形的面积公式,求出BD,再用余弦定理求CD;
(2)先求CD,在△BCD中,由正弦定理可得,结合∠BDC=2∠A,即可得结论.
【解答】解:(1)∵△BCD的面积为,,
∴
∴BD=
在△BCD中,由余弦定理可得==;
(2)∵,∴CD=AD==
在△BCD中,由正弦定理可得
∵∠BDC=2∠A
∴
∴cosA=,∴A=.
21.等差数列{an}中,Sn为其前n项和,已知a2=2,S5=15,数列{bn},b1=1,对任意n∈N+满足bn+1=2bn+1.
(Ⅰ)数列{an}和{bn}的通项公式;
(Ⅱ)设cn=,求数列{cn}的前n项和Tn.
【考点】数列的求和;等差数列的通项公式;数列递推式.
【分析】(I)利用等差数列的通项公式与求和公式可得an.bn+1=2bn+1,变形为bn+1+1=2(bn+1),利用等比数列的通项公式即可得出.
(II)cn==,利用“错位相减法”与等比数列的求和公式即可得出.
【解答】解:(Ⅰ)设等差数列{an}的公差为d,
由a2=2,S5=15,∴,解得a1=d=1,
∴an=n.
∵bn+1=2bn+1,
∴bn+1+1=2(bn+1),,∴.
(II)cn==,
∴,
,
两式相减得,.
22.设命题p:实数x满足x2﹣4ax+3a2<0,其中a>0,命题q:实数x满足.
(1)若a=1,且p∧q为真,求实数x的取值范围;
(2)若¬p是¬q的充分不必要条件,求实数a的取值范围.
【考点】复合命题的真假;必要条件、充分条件与充要条件的判断.
【分析】(1)现将a=1代入命题p,然后解出p和q,又p∧q为真,所以p真且q真,求解实数a的取值范围;(2)先由¬p是¬q的充分不必要条件得到q是p的充分不必要条件,然后化简命题,求解实数a的范围.
【解答】解:(1)当a=1时,p:{x|1<x<3},q:{x|2<x≤3},又p∧q为真,所以p真且q真,
由得2<x<3,所以实数x的取值范围为(2,3)
(2)因为¬p是¬q的充分不必要条件,所以q是p的充分不必要条件,
又p:{x|a<x<3a}(a>0),q:{x|2<x≤3},所以解得1<a≤2,
所以实数a的取值范围是(1,2]
2016年11月22日