浙江省丽水市2018-2019高二（下）3月段考数学试卷 Word版含解析x 20页

2018-2019 学年浙江省丽水市高二（下）3 月段考数学试 卷 一、选择题（本大题共 12 小题，共 60.0 分） 1. 直线 x+3y-3=0 的倾斜角为（ ） A. B. C. ᦙ D. 香 2. 如果方程 ᦙ ᦙ 表示焦点在 y 轴上的椭圆，则 m 的取值范围是（ ） A. ൏ ൏ B. ൏ ൏ C. ᦙ D. ൏ ൏ 3. 下列四个命题为真命题的是（ ） A. “若 ，则 x，y 互为相反数”的逆命题 B. “全等三角形的面积相等”的否命题 C. “若 ，则 ᦙ ᦙ 无实根”的逆否命题 D. “不等边三角形的三个内角相等”逆命题 4. 下列求导结果正确的是（ ） A. ᦙ ̵ ᦙ B. cos ̵ sin C. lnᦙ̵ ᦙ D. ̵ ᦙ 5. “a=1”是“直线 ax+y-2=0 和直线（a-2）x+ay+1=0 垂直”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分又不必要条件 6. 已知 m，n 是两条不同直线，α，β，γ是三个不同平面，则下列命题中正确的是 （ ） A. 若 ‸‸⸳ ， ⸳ ，则 ‸‸B. 若 ‸ 〶 ， ‸ 〶 ，则 ‸‸C. 若 ‸ ， ⸳ ‸ ， ， ⸳ 〶 ，则 ‸‸〶D. 若 ‸‸ ， ⸳‸‸ ，则 m，n 平行、相交、异面均有可能 7. 已知点 M（a，b）在圆 O：x2+y2=1 外，则直线 ax+by=1 与圆 O 的位置关系是（ ） A. 相切 B. 相交 C. 相离 D. 不确定 8. 已知圆 C1：（x-2）2+（y-3）2=1，圆 C2：（x-3）2+（y-4）2=9，M，N 分别是圆 C1，C2 上的动点，P 为 x 轴上的动点，则|PM|+|PN|的最小值为（ ） A. B. 香 ᦙ C. ᦙ ᦙ D. 9. 如图，在棱长为 2 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，点 E， F 分别是棱 BC，CC1 的中点，P 是侧面 BCC1B1 内一点， 若 A1P 平行于平面 AEF，则线段 A1P 长度的最小值为 （ ） A. ᦙB. ᦙ ᦙC. D. 香 10. 已知 F1，F2 为双曲线 ᦙ ᦙ ᦙ ᦙ =1（a＞0，b＞0）的左右焦点，过 F1 的直线交双曲线 左支于 P，Q 两点，若|PF2|=|F1F2|，且 5|PF1|=4|QF1|，则双曲线离心率为（ ） A. B. C. ᦙ D. 香 ᦙ 11. 已知函数 f（x）与 f′（x）的图象如图所示，则 g（x）= （ ） A. 在区间 上是减函数 B. 在区间 上是减函数 C. 在区间 上是减函数 D. 在区间 上是减函数 12. 已知三棱柱 ABC-A'B'C'，AA'⊥平面 ABC，P 是 △ A'B'C'内一点，点 E，F 在直线 BC 上运动，若直线 PA 和 AE 所成角的最小值与直线 PF 和平面 ABC 所成角的最大值 相等，则满足条件的点 P 的轨迹是（ ） A. 圆的一部分 B. 椭圆的一部分 C. 抛物线的一部分 D. 双曲线的一部分 二、填空题（本大题共 7 小题，共 34.0 分） 13. 双曲线 x2 ᦙ =1 的焦距是______，焦点到渐近线的距离是______． 14. 《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”，已知某“堑堵”的 三视图如图所示，俯视图中虚线平分矩形的面积，则该“堑堵”的体积是______，表 面积是______． 15. 在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中，AD=AA1=1，AB=2，点 E 在棱 AB 上移动，则直线 D1E 与 A1D 所成角的大小是______，若 D1E⊥EC，则 AE=______． 16. 若曲线 f（x）=ax2+lnx 存在垂直于 y 轴的切线，则实数 a 的取值范围是______． 17. 已知抛物线 y2=2px 的焦点为 F，过点 F 的直线交抛物线于 A，B 两点．若 =3 ， 则直线 AB 的斜率为______； 18. 已知点 P（1，1），圆 C：x2+y2-4x=2，过点 P 的直线 l 与圆 C 交于 A，B 两点，线 段 AB 的中点为 M（M 不同于 P），若|OP|=|OM|，则 l 的方程是______． 19. 如图，在矩形 ABCD 中，AB=2，AD=1，M 为 AB 的中点，将 △ ADM 沿 DM 翻折．在 翻折过程中，当二面角 A-BC-D 的平面角最大时，其正切值为______． 三、解答题（本大题共 4 小题，共 56.0 分） 20. 已知函数 f（x）=x3-2x2+x+1． （Ⅰ）求函数 f（x）的单调区间； （Ⅱ）若关于 x 的方程 f（x）-m=0（m∈R）恰有两个不同的解，求 m 的值． 21. 如图，空间几何体中，四边形 ABCD 是边长为 2 的正 方形，AB∥EF，AF=EF=BE=1， 香 ． （1）求证：BF⊥平面 ADF； （2）求直线 BF 与平面 DCEF 所成角的正弦值． 22. 设 f（x）=x- -alnx（a∈R）． （Ⅰ）当 a=1 时，求曲线 y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程； （Ⅱ）当 a＜1 时，在[ ， ]内是否存在一实数 x0，使 f（x0）＞e-1 成立？请说明理 由． 23. 已知 F1，F2 分别是椭圆 ᦙ ᦙ ᦙ ᦙ =1（a＞b＞0）的左，右焦点，A，B 分别为椭圆的 上，下顶点．过椭圆的右焦点 F2 的直线在 y 轴右侧交椭圆于 C，D 两点，且 △ F1CD 的周长为 8， △ F2AB 的周长为 6． （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）设四边形 ABCD 的面积为 S，求 S 的最大值． 答案和解析 1.【答案】D 【解析】 解：直线 x+3y-3=0 化成斜截式，得 y=- x+1， ∴直线的斜率 k=- ． ∵设直线的倾斜角为α，∴tanα=- ，结合α∈[0，180°），得α=150°． 故选：D． 由直线方程求出直线的斜率，再由斜率等于倾斜角的正切值求解． 本题考查直线的倾斜角，考查倾斜角与斜率的关系，是基础题． 2.【答案】C 【解析】 解：∵方程 表示焦点在 y 轴上的椭圆， ∴m-3＞4，即 m＞7． 故选：C． 由题意可得，m-3＞4，求解得答案． 本题考查椭圆的标准方程与简单性质，是基础题． 3.【答案】A 【解析】 解：选项 A 的逆命题为“若 x，y 互为相反数，则 x+y=0”，显然为真命题； 选项 B 的否命题“不全等三角形的面积不相等”，不全等三角形的面积也可以 相等，为假命题； 选项 C 的逆否命题“若 x2+2x+q=0 有实根，则 q＞1”，当 x2+2x+q=0 有实根， 则 △ =4-4q≥0，解得 q≤1，所以 C 为假命题； 选项 D 的逆命题为“若三角形的三个内角相等，则该三角形是不等边三角形”， 显然为假命题． 故选：A． 对四个选项分写出相应的命题，并判断真假． 本题考查命题的四种形式和命题真假性的判断，属于基础题目． 4.【答案】D 【解析】 解：对于 A，（1-x2）′=-2x，∴A 式错误； 对于 B，（cos30°）′=0，∴B 式错误； 对于 C，[ln（2x）]′= ×（2x）′= ，∴C 式错误； 对于 D， = = = ，∴D 式正确． 故选：D． 按照基本初等函数的求导法则，求出 A、B、C、D 选项中正确的结果即可． 本题考查了基本初等函数求导问题，解题时应按照基本初等函数的求导法则 进行计算，求出正确的导数即可． 5.【答案】A 【解析】 解：若直线 ax+y-2=0 和直线（a-2）x+ay+1=0 垂直， 则 a（a-2）+1×a=0，得 a2-a=0，得 a=1 或 a=0， 则“a=1”是“直线 ax+y-2=0 和直线（a-2）x+ay+1=0 垂直”的充分不必要条件， 故选：A． 根据直线垂直的等价条件求出 a 的值，结合充分条件和必要条件的定义进行 判断即可． 本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合直线垂直的等价是解决本题 的关键． 6.【答案】D 【解析】 解：由 m，n 是两条不同直线，α，β，γ是三个不同平面，得： 在 A 中，若 m∥n，n α，则 m∥α或 m α，故 A 错误； 在 B 中，若α⊥γ，β⊥γ，则α与β相交或平行，故 B 错误； 在 C 中，若 m⊥α，n⊥α，m β，n γ，则β与γ相交或平行，故 C 错误； 在 D 中，若 m∥α，n∥α，则 m，n 平行、相交、异面均有可能，故 D 正确． 故选：D． 在 A 中，m∥α或 m α；在 B 中，α与β相交或平行；在 C 中，β与γ相交或平行； 在 D 中，m，n 平行、相交、异面均有可能． 本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基 础知识，考查运算求解能力，是中档题． 7.【答案】B 【解析】 解：∵M（a，b）在圆 x2+y2=1 外， ∴a2+b2＞1， ∴圆 O（0，0）到直线 ax+by=1 的距离 d= ＜1=r， 则直线与圆的位置关系是相交． 故选：B． 由 M 在圆外，得到|OM|大于半径，列出不等式，再利用点到直线的距离公式 表示出圆心 O 到直线 ax+by=1 的距离 d，根据列出的不等式判断 d 与 r 的大 小即可确定出直线与圆的位置关系． 此题考查了直线与圆的位置关系，以及点与圆的位置关系，涉及的知识有：圆 的标准方程，点到直线的距离公式，以及两点间的距离公式，熟练掌握公式 是解本题的关键． 8.【答案】B 【解析】 解：如图圆 C1 关于 x 轴的对称圆的圆心坐标 A （2，-3），半径为 1， 圆 C2 的圆心坐标（3，4），半径为 3， 由图象可知当 P，M，N，三点共线时，|PM|+|PN|取得最小值， |PM|+|PN|的最小值为圆 C3 与圆 C2 的圆心距减去两个圆的半径和， 即：|AC2|-3-1= -4= -4=5 -4． 故选：B． 求出圆 C1 关于 x 轴的对称圆的圆心坐标 A，以及半径，然后求解圆 A 与圆 C2 的圆心距减去两个圆的半径和，即可求出|PM|+|PN|的最小值． 本题考查圆的对称圆的方程的求法，两个圆的位置关系，两点距离公式的应 用，考查转化思想与计算能力． 9.【答案】B 【解析】 解：以 D 为原点，DA 为 x 轴，DC 为 y 轴，DD1 为 z 轴，建立空间直角坐标 系， A（2，0，0），E（1，2，0），F（0，2，1）， A1（2，0，2）， =（-1，2，0）， =（-2，2，1）， 设平面 AEF 的法向量 =（x，y，z）， 则 ，取 y=1，得 =（2，1，2）， 设 P（a，2，c），0≤a≤2，0≤c≤2，则 =（a-2，2，c-2）， ∵A1P 平行于平面 AEF， ∴ • =2（a-2）+2+2（c-2）=0，整理得 a+c=3， ∴线段 A1P 长度 | |= = = ， 当且仅当 a=c= 时，线段 A1P 长度取最小值 ． 故选：B． 以 D 为原点，DA 为 x 轴，DC 为 y 轴，DD1 为 z 轴，建立空间直角坐标系，利 用向量法能求出线段 A1P 长度取最小值． 本题考查线段长的最小值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关 系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题． 10.【答案】A 【解析】 解：如图，∵|PF2|=|F1F2|=2c，且 5|PF1|=4|QF1|， ∴|PF1|=2c-2a，|QF1|= |PF1|= ， ∴|QF2|=|PF1|+2a= ， 取 PF1 的中点 M，则 F2M⊥QP． 在 Rt △ QMF2 中，|MF2|2=（2c）2-（c-a）2=3c2-a2+2ac， |QM|2=（ ）2= |QF2|2= + - ， ⇒ 9c2-20a+11a2=0 ⇒ a=c（舍去）或 9c=11a， ∴ 故选：A． 可得|PF1|=2c-2a，|QF1|= |PF1|= ，|QF2|=|PF1|+2a= ， 取 PF1 的中点 M，则 F2M⊥QP．在 Rt △ QMF2 中，利用勾股定理 ⇒ 9c2-20a+11a2=0 ⇒ a=c（舍去）或 9c=11a，即可求解 考查双曲线的定义，双曲线的离心率的概念，转化思想．属于中档题． 11.【答案】C 【解析】 解：结合图象：x∈（1，4）时，f（x）-f′（x）＜0， 而 g′（x）= ，而 f（2）=0， 故 g（x）在（1， ）递减， 故选：C． 结合函数图象求出 f（x）-f′（x）＜0 成立的 x 的范围即可． 本题考查了数形结合思想，考查函数的单调性问题，是一道基础题． 12.【答案】C 【解析】 解：设三棱柱的高为 h，P 在平面 ABC 上的射影为 P′， 则当 AP′E 共线时，直线 PA 和 AE 所成角取得最小值， 不妨设最小值为α，则 sinα= ， 当 PF⊥BC 时，直线 PF 和平面 ABC 所成角取得最大值，不妨设最大值为β， 则 sinβ= ， ∴当直线 PA 和 AE 所成角的最小值与直线 PF 和平面 ABC 所成角的最大值 相等时，PA=PF， 即 P 到 A 的距离等于 P 到直线 BC 的距离， 设 P 到 B′C′的距离为 d，则 PA′2+h2=d2+h2， ∴P 到 A′的距离等于 P 到 B′C′的距离， ∴P 的轨迹是以 A′为焦点，以 B′C′为准线的抛物线的一部分， 故选：C． 由题意可知 P 到 A 的距离等于 P 到 BC 的距离，故而 P 到 A′的距离等于 P 到 B′C 的距离，得出结论． 本题考查了圆锥曲线的定义，轨迹方程的求解，考查了空间想象与推理能力， 属于中档题． 13.【答案】4 【解析】 解：双曲线 x2 =1 中 a=1，b= ，c=2，所以双曲线的焦距为 2c=4；渐近线 方程为 y= x； 焦点到渐近线的距离为 ． 故答案为：4， ． 双曲线 x2 =1 中 a=1，b= ，c=2，即可求出双曲线的焦距；渐近线方程； 焦点到渐近线的距离． 本题考查双曲线的方程与性质，确定双曲线中 a，b，c 是关键． 14.【答案】2 ᦙ【解析】 解：由三视图还原原几何体如图， 该直三棱柱底面是等腰直角三角形，直角边长为 ，直三棱柱的高为 2． 则其体积 V= ； 表面积 S= ． 故答案为：2； ． 由三视图还原原几何体，该直三棱柱底面是等腰直角三角形，直角边长为 ， 直三棱柱的高为 2．再由体积与表面积公式求解． 本题考查由三视图求面积，体积，关键是由三视图还原原几何体，是中档题． 15.【答案】90° 1 【解析】 解：∵在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中， AD=AA1=1，AB=2，点 E 在棱 AB 上移动， ∴以 D 为原点，DA 为 x 轴，DC 为 y 轴，DD1 为 z 轴，建立空间直角坐标系， 则 D（0，0，0），D1（0，0，1），A（1，0，0），A1 （1，0，1），C（0，2，0）， 设 E（1，t，0），0≤t≤2， 则 =（1，t，-1）， =（-1，0，-1）， ∴ • =-1+0+1=0， ∴直线 D1E 与 A1D 所成角的大小是 90°． ∵ =（1，t，-1）， =（-1，2-t，0），D1E⊥EC， ∴ =-1+t（2-t）+0=0， 解得 t=1，∴AE=1． 故答案为：900，1． 以 D 为原点，DA 为 x 轴，DC 为 y 轴，DD1 为 z 轴，建立空间直角坐标系，设 E（1，t，0），0≤t≤2，分别求出 和 ，由 • =0，能求出直线 D1E 与 A1D 所成角的大小；分别求出 ， ，由 =0，能求出 AE 的长． 本题考查异面直线所成角的大小的求法，考查线段长的求法，是基础题，解 题时要认真审题，注意向量法的合理运用． 16.【答案】{a|a＜0} 【解析】 解：由题意该函数的定义域 x＞0，由 ． 因为存在垂直于 y 轴的切线， 故此时斜率为 0，问题转化为 x＞0 范围内导函数 存在零点． 再将之转化为 g（x）=-2ax 与 存在交点．当 a=0 不符合题意， 当 a＞0 时，如图 1，数形结合可得显然没有交点， 当 a＜0 如图 2，此时正好有一个交点，故有 a＜0． 故答案为：{a|a＜0} 先求出函数的定义域，然后求出导函数，根据存在垂直于 y 轴的切线，得到此 时斜率为 0，问题转化为 x＞0 范围内导函数 存在零点，再将之转 化为 g（x）=-2ax 与 存在交点，讨论 a 的正负进行判定即可． 本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，函数零点等有关基础知 识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查数形结合思想、化归与转化思想， 属于基础题． 17.【答案】 【解析】 解：抛物线 y2=2px 的焦点为 F（ ）， 由题意可知直线 AB 的斜率存在，设直线方程为 ． 联立 ，得 ky2-2py-kp2=0． 设 A（x1，y1），B（x2，y2）． 则 ， ． 由 =3 ，得 ． ∴ = ， 解得：k= ． 故答案为： ． 设出直线方程，与抛物线方程联立，利用根与系数的关系及向量等式列式求 解． 本题考查抛物线的简单性质，考查直线与抛物线位置关系的应用，考查计算 能力，是中档题． 18.【答案】3x+y-4=0 【解析】 解：圆 C 的方程可化为（x-2）2+y2=6， 所以圆心为 C（2，0），半径为 ， 设 M（x，y），则 =（x-2，y）， =（1-x，1-y）， 由题设知 • =0， 故（x-2）（1-x）+y（1-y）=0， 即（x-1.5）2+（y-0.5）2=0.5． 由于点 P 在圆 C 的内部， 所以 M 的轨迹方程是（x-1.5）2+（y-0.5）2=0.5． M 的轨迹是以点 N（1.5，0.5）为圆心， 为半径的圆． 由于|OP|=|OM|，故 O 在线段 PM 的垂直平分线上， 又 P 在圆 N 上，从而 ON⊥PM． 因为 ON 的斜率为 ， 所以 l 的斜率为-3， 故 l 的方程为 y-1=-3（x-1），即 3x+y-4=0． 故答案为：3x+y-4=0． 圆 C 的方程可化为（x-2）2+y2=6，所以圆心为 C（2，0），半径为 ，设 M（x，y）， 运用 • =0，化简整理求出 M 的轨迹方程．由于|OP|=|OM|，故 O 在线段 PM 的垂直平分线上，可得ON⊥PM，由直线垂直的条件：斜率之积为-1，再由 点斜式方程可得直线 l 的方程． 本题主要考查圆和圆的位置关系，直线和圆相交的性质，属于基础题． 19.【答案】 ᦙ【解析】 解：取 CD 的中点 S，DM 的中 点为 N， ∵△ADM 是等腰三角形，∴ AN⊥DM，同理 SN⊥DM， AN∩SN=N， ∴DM⊥平面 ASN， ∵DM 平面 DMBC，∴平面 ANS⊥平面 DMBC， 在四棱锥 A-DMBC 中，过点 A 作 SN 的垂线，垂足为 O， 再过点 O 作 BC 的垂线，垂足为 T，连结 AT， ∵AO⊥SN，AO 平面 ANC，平面 ANS∩平面 DMBC=SN， ∴AO⊥平面 DMBC， ∵BC 平面 DMBC，∴AO⊥BC ∵OT⊥BC，AO∩OT=O，∴BC⊥平面 AOT， ∵AT 平面 AOT，∴AT⊥BC， ∴∠ATO 是二面角 A-BC-D 的平面角， 设∠ANS=α，则 AO= ，SO= （1-cosα）， OT=1+ （1-cosα）× = ， ∴tan∠ATO= ，其中α∈（0，π）， 令 f（α）= ，则 f′（α）= ， 令α0∈（0，π），且 cosα0= ， 当α∈（0，α0）时，f（α）＞0；当α∈（α0，π）时，f（α）＜0． ∴f（α）max=f（α0）= ， ∴（tan∠ATO）max= ． 故答案为： ． 取 CD 的中点 S，DM 的中点为 N，则有 DM⊥平面 ASN，过点 A 作 SN 的垂 线，垂足为 O，再过 O 作 BC 的垂线，垂足为 T，连结 AT，则∠ATO 是二面角 A-BC-D 的平面角，用∠ANS 的三角函数表示∠ATO 的正切值，利用导数可 求出其最大值． 本题考查二面角的正切值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关 系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题． 20.【答案】解（Ⅰ）f，（x）=3x2-4x+（12 分） ， ＞ ⇒ ＞ 或 ＜ ，所以 递增区间为 ， 或 ， ， ， ＜ ⇒ ＜ ＜ ，所以 递减区间为 ， （6 分） （Ⅱ）由 可知 递增区间为 ， 或 ， ，减区间为 ， 所以 f（x）极大值=f（1）=1， 极小值 = ᦙ ，（10 分） 所以 或 ᦙ 时方程有两解； （12 分） 【解析】 （Ⅰ）解 f′（x）＞0 和 f′（x）＜0 可得单调递增和递减区间； （Ⅱ）利用导数研究函数的单调性可求得极大极小值，结合 3 次函数的图象可 得． 本题考查了利用导数研究函数的单调性，属中档题． 21.【答案】证明：（1）等腰梯形 ABEF 中， ∵AB=2，EF=AF=BE=1，∴cos∠FAB= ， ∴BF= ᦙ ᦙ ݋ = ， ∴AF2+BF2=AB2，∴AF⊥BF， 在 △ DFB 中，BF2+DF2=BD2，BF⊥DF ∵AF∩DF=F，∴BF⊥平面 ADF． 解：（2）作 FO⊥AB 于 O，以 OF，OB 为 x，y 轴建立如图的空间直角坐标系， 则 ᦙ ， ， ， ， ᦙ ， ， ᦙ， ， ， ， ᦙ ， ᦙ =（0，1，0）， =（- ᦙ ， ᦙ ， ᦙ ）， 设平面 DCEF 的法向量 ⸳ =（x，y，z）， 则 ⸳ ⸳ ᦙ ᦙ ᦙ ， 取 x=2，得平面 DCEF 的法向量为 ⸳ ᦙ ， ， ᦙ ， 又 ᦙ ， ᦙ ， ∴cos＜ ， ⸳ ＞= ⸳ ⸳ = ᦙ ． ∴BF 与平面 DCEF 所成角的正弦值为 ᦙ ． 【解析】 （1）求出 cos∠FAB= ，BF= ，AF⊥BF，再求出 BF⊥DF，由此能证明 BF ⊥平面 ADF． （2）作 FO⊥AB 于 O，以 OF，OB 为 x，y 轴建立如图的空间直角坐标系，利用 向量法能求出 BF 与平面 DCEF 所成角的正弦值． 本题考查线面垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、 线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程 思想，是中档题． 22.【答案】解：（Ⅰ）当 a=1 时，f（x）=x-lnx，f（1）=1，∴切点为（1，1）， 又∵f′（x）= ． ∴曲线 y=f（x）在点（1，0）处的切线的斜率为 f′（1）=0． ∴所求切线方程为 y-1=0×（x-1），即 y=1； （Ⅱ）假设当 a＜1 时，在[ ， ]存在一点 x0，使 f（x0）＞e-1 成立， 则只需证明 x∈[ ， ]时，f（x）max＞e-1 即可． f′（x）= ᦙ ᦙ ᦙ ᦙ （x＞0）， 令 f′（x）=0 得，x1=1，x2=a-1，当 a＜1 时，a-1＜0， 当 x∈（ ， ）时，f′（x）＜0，当 x∈（1，e）时，f′（x）＞0． 函数 f（x）在（ ， ）上递减，在（1，e）上递增， ∴f（x）max=max{ ，f（e）}． 于是，只需证明 f（e）＞e-1 或 f（ ）＞e-1 即可． ∵f（e）-f（e-1）=e- -a-（e-1）= ＞0． ∴f（e）＞e-1 成立． ∴假设正确，即当 a＜1 时，在 x∈[ ， ]上至少存在一点 x0，使 f（x0）＞e-1 成立． 【解析】 （Ⅰ）当a=1时，f（x）=x-lnx，求得切点，得到曲线y=f（x）在点（1，0）处的切线的 斜率，再由直线方程点斜式求解； （Ⅱ）假设当 a＜1 时，在[ ]存在一点 x0，使 f（x0）＞e-1 成立，则只需证明 x ∈[ ]时，f（x）max＞e-1 即可．利用导数证明函数 f（x）在（ ）上递减，在（1， e）上递增，则 f（x）max=max{ ，f（e）}．于是，只需证明 f（e）＞e-1 或 f（ ） ＞e-1 即可．然后证明 f（e）＞e-1 成立，可得当 a＜1 时，在 x∈[ ]上至少存 在一点 x0，使 f（x0）＞e-1 成立． 本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查利用导数求最值， 考查数学转化思想方法，是中档题． 23.【答案】解：（Ⅰ）设 C（x1，y1），D（x2，y2），由题意得 A（0，b），B（0，-b）， 又 4a=8，即 a=2，2（a+b）=6，∴b=1． ∴椭圆的方程为 ᦙ ᦙ ； （Ⅱ）由（Ⅰ）知，F2（ ，0），故设直线 CD： ， 代入 ᦙ ᦙ 得 ᦙ ᦙ ᦙ ， 则 ᦙ ᦙ ᦙ ， ᦙ ᦙ ， ᦙ ᦙ ᦙ ，由 x1＞0，x2＞0 得 0≤m2＜3， ᦙ ᦙ ᦙ ᦙ ， ∴面积 S=S △ AOD+S △ BOC+S △ OCD= ᦙ ×1× ᦙ ᦙ ᦙ ᦙ = ᦙ ᦙᦙ ᦙ ． 令 ᦙ ᦙ ，t∈[3，4）， 则 S= ᦙ ᦙ ᦙ ᦙ 在 t∈[3，4）上递减， ∴m=0，t=3 时，S 最大值为 ᦙ ． 【解析】 （Ⅰ）设 C（x1，y1），D（x2，y2），由题意得 A（0，b），B（0，-b），结合已知求得 a， b 的值，则椭圆方程可求； （Ⅱ）由（Ⅰ）知，F2（ ，0），故设直线 CD： ，联立直线方程与椭圆 方程，化为关于 y 的一元二次方程，利用根与系数的关系求得面积 S=S △ AOD+S △ BOC+S △ OCD= ．令 ，t∈[3，4），再由 函数单调性求最值． 本题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆位置关系的应用，训练了利用换 元法求最值，考查计算能力，是中档题．