数学理卷·2017届北京市石景山区高三3月统一练习（2017 10页

石景山区2017年高三统一练习 数学（理）试卷 第一部分（选择题 共40分）‎ 一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．‎ ‎1．已知集合，，那么等于（ ）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎2．已知实数满足，则的最大值是（ ）‎ A．4 B．6 C．10 D．12‎ ‎3．直线被圆所截得的弦长为（ ）‎ A．1 B． C．2 D．4 ‎ ‎4．设，“”是“”的（ ）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 ‎ C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎5．我国南宋数学家秦九韶（约公元1202—1261年）给出了求次多项式当时的值的一种简捷算法，该算法被后人命名为“秦九韶算法”．‎ 例如，可将3次多项式改写为：之后进行求值．运行如图所示的程序框图，能求得多项式（ ）的值．‎ A．‎ B．‎ C．‎ D．‎ ‎6．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是（ ）‎ A． B． C． D．5‎ ‎7．如图，在矩形中，，，点为的中点，点在边 上，若，则的值是（ ）‎ A． B．1 C． D．2‎ ‎8．如图，将正三角形分割成个边长为1的小正三角形和一个灰色菱形，这个灰色菱形可以分割成个边长为1的小正三角形．若，则三角形的边长是（ ）‎ A．10 B．11 C．12 D．13‎ 第二部分（非选择题 共110分）‎ 二、填空题共6小题，每小题5分，共30分.‎ ‎9．若复数是纯虚数，则实数 ．‎ ‎10．在数列中，，，那么等于 ．‎ ‎11．若抛物线的焦点与双曲线的右顶点重合，则 ．‎ ‎12．如果将函数的图象向左平移个单位所得到的图象关于原点对称，那么 ．‎ ‎13．将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名学生，则不同的分法的总数是 ．（用数字做答）‎ ‎14．已知．‎ ‎①当时，，则 ；‎ ‎②当时，若有三个不等实数根，且它们成等差数列，则 ．‎ 三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． ‎ ‎15．已知分别是的三个内角的三条对边，且．‎ ‎（Ⅰ）求角的大小；‎ ‎（Ⅱ）求的最大值． ‎ ‎16．某超市从现有甲、乙两种酸奶的日销售量（单位：箱）的1200个数据（数据均在区间内）中，按照5%的比例进行分层抽样，统计结果按，，，，分组，整理如下图：‎ ‎（Ⅰ）写出频率分布直方图（图乙）中的值；记所抽取样本中甲种酸奶与乙种酸奶日销售量的方差分别为，，试比较与的大小（只需写出结论）；‎ ‎（Ⅱ）从甲种酸奶日销售量在区间的数据样本中抽取3个，记在内的数据个数为，求的分布列；‎ ‎（Ⅲ）估计1200个日销售量数据中，数据在区间中的个数．‎ ‎17．《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．‎ 如图，在阳马中，侧棱底面，且，为中点，点在上，且平面，连接，．‎ ‎（Ⅰ）证明：平面；‎ ‎（Ⅱ）试判断四面体是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角（只需写出结论）；若不是，说明理由；‎ ‎（Ⅲ）已知，，求二面角的余弦值．‎ ‎18．已知函数．‎ ‎（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；‎ ‎（Ⅱ）求证：当时，；‎ ‎（Ⅲ）若对任意恒成立，求实数的最大值．‎ ‎19．已知椭圆过点，且离心率为．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）设直线与椭圆交于、两点，以为对角线作正方形，记直线与轴的交点为，问、两点间距离是否为定值？如果是，求出定值；如果不是，请说明理由．‎ ‎20．已知集合．对于，，定义与之间的距离为．‎ ‎（Ⅰ）写出中的所有元素，并求两元素间的距离的最大值；‎ ‎（Ⅱ）若集合满足：，且任意两元素间的距离均为2，求集合中元素个数的最大值并写出此时的集合；‎ ‎（Ⅲ）设集合，中有个元素，记中所有两元素间的距离的平均值为 ‎，证明．‎ 试卷答案 一、选择题 ‎1-5:DCBAA 6-8:BCC ‎ 二、填空题 ‎9．1 10．-2 11．4 12． 13．36 14．4，‎ 三、解答题 ‎15．解：（Ⅰ）因为，所以．‎ 又因为，所以．‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知，又，‎ 所以且，‎ 故 ‎．‎ 又，，‎ 所以当即时，的最大值为1．‎ ‎16．解：（Ⅰ）由图（乙）知，解得，．‎ ‎（Ⅱ）的所有可能取值1，2，3．‎ 则，，，‎ 其分布列如下：‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎（Ⅲ）由图（甲）知，甲种酸奶的数据共抽取个，‎ 其中有4个数据在区间内，‎ 又因为分层抽样共抽取了个数据，‎ 乙种酸奶的数据共抽取个，‎ 由（Ⅰ）知，乙种酸奶的日销售量数据在区间内的频率为0.1，‎ 故乙种酸奶的日销售量数据在区间内有个．‎ 故抽取的60个数据，共有个数据在区间内．‎ 所以，在1200个数据中，在区间内的数据有160个．‎ ‎17．（Ⅰ）因为面，面，所以．‎ 因为四边形为矩形，所以．‎ ‎，所以面．‎ 面，，‎ 在中，，为中点，所以．‎ ‎，‎ 所以面．‎ ‎（Ⅱ）四面体是鳖臑，其中， ．‎ ‎（Ⅲ）以，，所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系．，， ，，．‎ 设，则．‎ 得解得．所以．‎ 设平面的法向量，‎ ‎ 令得，．‎ 平面的法向量，‎ 平面的法向量，‎ ‎，．‎ 二面角的余弦值为．‎ ‎18．解:（Ⅰ），，‎ 又，所以切线方程为；‎ ‎（Ⅱ）由题意知，令．‎ 令，解得．‎ 易知当时，，易知当时，．‎ 即在单调递减，在单调递增 所以， ‎ 即，即．‎ ‎（Ⅲ）设，依题意，对于任意，恒成立．‎ ‎，‎ 时，，在上单调递增，‎ 当时，，满足题意．‎ 时，随变化，，的变化情况如下表：‎ ‎—‎ ‎0‎ ‎+‎ ‎↘‎ 极小值 ‎↗‎ 在上单调递减，所以 即当时，总存在，不合题意．‎ 综上所述，实数的最大值为1．‎ ‎19．解：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为．‎ 因为点在椭圆上，所以．故．‎ 又因为，所以，．‎ 所以椭圆的标准方程为: ．‎ ‎（Ⅱ）设，，线段中点为．‎ 联立和，得: ．‎ 由，可得．‎ 所以，．‎ 所以中点为．‎ 弦长，‎ 又直线与轴的交点，‎ 所以．‎ 所以．‎ 所以、两点间距离为定值．‎ ‎20．解：（Ⅰ），‎ ‎，．‎ ‎（Ⅱ）中含有8个元素，可将其看成正方体的8个顶点，已知集合中的元素所对应的点，应该两两位于该正方体面对角线的两个端点，所以 或，‎ 集合中元素个数最大值为4．‎ ‎（Ⅲ），其中表示中所有两个元素间距离的总和．‎ 设中所有元素的第个位置的数字中共有个1，个0，则 由于 所以 从而 ‎【注:若有其它解法，请酌情给分】‎