专题05+平面向量测试题-2019年高考数学艺术生百日冲刺专题测试 11页

‎2019年艺术生百日冲刺专题测试 专题5平面向量测试题 命题报告：‎ 高频考点：平面向量的基本概念，平面向量的运算，平面向量的数量积的运算，平面向量是数量积运算，平面向量与三角函数、解析几何的综合，平面向量与平面几何的综合等。‎ 考情分析：本单元在高考中主要以客观题形式出现，难度较低，再解答题中，主要课程向量的工具性 的作用，一般在解答题中不单独命题。‎ 重点推荐：第12题，考查向量和不等式的交汇，有一定难度。考查学生解决问题的能力。‎ 一． 选择题 ‎1. （2018•洛阳三模）已知平面向量，，，若，则实数k的值为（　　）‎ A． B． C．2 D．‎ ‎【答案】：B ‎【解析】∵平面向量，，，‎ ‎∴=（2+k，﹣1+k），∵，‎ ‎∴，解得k=．∴实数k的值为．故选：B．‎ ‎2. 已知A，B，C为圆O上的三点，若=，圆O的半径为2，则=（　　）‎ A．﹣1 B．﹣2 C．1 D．2‎ ‎【答案】：D ‎【解析】如图所示，‎ ‎=，‎ ‎∴平行四边形OABC是菱形，且∠AOC=120°，又圆O的半径为2，‎ ‎∴=2×2×cos60°=2．故选：D．‎ ‎3. （2018•宝鸡三模）已知不共线向量，，，则=（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】：A ‎【解析】∵，∴﹣=﹣4=1，∴=5，‎ ‎∴==4﹣2×5+9=3，∴=，故选：A．‎ ‎4.（2018•安宁区校级模拟）已知向量=（1，1），=（2，﹣3），若k﹣2与垂直，则实数k的值为（　　）‎ A．﹣1 B．1 C．2 D．﹣2‎ ‎【答案】：A ‎5. 设是非零向量，则是成立的（ ）‎ A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分又不必要条件 ‎【答案】B ‎【解析】由可知： 方向相同， 表示 方向上的单位向量 所以成立;反之不成立.故选B ‎6. （2018•西宁一模）如图在边长为1的正方形组成的网格中，平行四边形ABCD的顶点D被阴影遮住，请找出D点的位置，计算的值为（　　）‎ A．10 B．11 C．12 D．13‎ ‎【答案】：B ‎【解析】：以A为原点，建立如图所示的坐标系，则A（0，0），B（4，1），C（6，4），‎ 平行四边形ABCD，则=，设D（x，y），∴（4，1）=（6﹣x，4﹣y），‎ ‎∴4=6﹣x，1=4﹣y，解得x=2，y=3，∴D（2，3），∴•=2×4+3×1=11，故选：B． 格中的位置如图所示，则•（）=　　．‎ ‎【答案】：3‎ ‎【解析】如图建立平面直角坐标系，‎ 则=（1，3），=（3，﹣1）﹣（1，1）=（2，﹣2），=（（3，2）﹣（5，﹣1）=（﹣2，3），‎ ‎∴=（0，1），∴=（1，3）•（0，1）=3．故答案为：3．‎ ‎16. （2018•红桥区一模）在△ABC中，点D满足=，当点E在射线AD（不含点A）上移动时，若=λ+μ，则λ+的最小值为　　．‎ ‎【思路分析】根据题意画出图形，利用、表示出，再利用表示出，求出λ与μ，利用基本不等式求出的最小值．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】：如图所示，△ABC中，，‎ ‎∴=+=+=+（﹣）=+，又点E在射线AD（不含点A）上移动，设=k，k＞0，∴=+，‎ 又，‎ ‎∴，∴=+≥2=，当且仅当k=时取“=”；‎ ‎∴λ+的最小值为．故答案为：．‎ 三．解答题 ‎17. 如图，在△ABC中，AO是BC边上的中线；已知AO=1，BC=3．设=，=．‎ ‎（Ⅰ）试用，表示，；‎ ‎（Ⅱ）求AB2+AC2的值．‎ ‎【解析】：（Ⅰ）在△ABC中，AO是BC边上的中线，‎ 设=，=．‎ 所以：，‎ 则：=．‎ ‎=．…………4分 ‎18. 如图，已知向量．‎ ‎（1）若∥，求x与y之间的关系；‎ ‎（2）在（1）的条件下，若有，求x，y的值以及四边形ABCD的面积．‎ ‎【思路分析】（1）由∥，结合向量平行的坐标表示可得（x+4）y﹣（y﹣2）x=0，可求x，y的关系，‎ ‎（2）由有，结合（1）的关系式可求x，y的值，代入四边形的面积公式可求 ‎【解析】：（1）∵，‎ 又，∴x（y﹣2）﹣y（x+4）=0⇒x+2y=0①…………4分 ‎（2）∵，‎ 又⊥，∴（x+6）（x﹣2）+（y+1）（y﹣3）=0⇒x2+y2+4x﹣2y﹣15=0②；‎ 由①，②得或，‎ 当时，，，则；‎ 当时，，，‎ 则；‎ 综上知．…………12分 ‎19. 如图，直角梯形ABCD中，||=2，∠CDA=，=2，角B为直角，E为AB的中点，=λ（0≤λ≤1）．‎ ‎（1）当λ=时，用向量，表示向量；‎ ‎（2）求||的最小值，并指出相应的实数λ的值．‎ ‎【思路分析】（1）利用三角形法则即可得出结论；‎ ‎（2）表示出的表达式，结合二次函数的性质求出其模的最小值即可．‎ ‎【解析】：（1）当λ=时，直角梯形ABCD中，‎ ‎||=2，∠CDA=，=2，‎ 角B为直角，E为AB中点，=，‎ ‎∵=[（﹣）+（+）]‎ ‎=（﹣++）‎ ‎=+；…………5分 ‎（2）∵直角梯形ABCD，||=2，∠CDA=，=2，‎ 角B为直角，E为AB中点，=λ，（0≤λ≤1），‎ ‎∵=（+）=[（﹣）+（+）]‎ ‎=[﹣λ+（1﹣λ）+]‎ ‎=[+（1﹣2λ）]‎ ‎=+，‎ ‎∴=++（1﹣2λ）•‎ ‎=4λ2﹣7λ+=4+,∵0≤λ≤1，‎ ‎∴当λ=时，有最小值，‎ ‎∴||有最小值．…………12分 ‎20. （2018秋•新罗区校级月考）在如图所示的直角坐标系xOy中，点A，B是单位圆上的点，且A（1，0），．现有一动点C在单位圆的劣弧上运动，设∠AOC=α．‎ ‎（Ⅰ）若tanα=2，求的值；‎ ‎（Ⅱ）若，其中x，y∈R，求x+y的取值范围．‎ ‎【思路分析】（Ⅰ）利用三角函数的定义及向量数量积可求得；‎ ‎（Ⅱ）利用向量的坐标运算可将x和y用α表示，从而转化为三角函数求值域可求得．‎ ‎【解析】：（Ⅰ）∵且tanα=2，∴sinα=，cosα=‎ ‎∴•=|||cos∠BOC=cos（）‎ ‎=coscosα+sinsinα=﹣×+=；…………5分 ‎（Ⅱ）∵，∴B（﹣，），‎ 又∵∠AOC=α，∴C（cosα，sinα）‎ 由=x+y，得（cosα，sinα）=（x，0）+（﹣y，）=（x﹣y，y）‎ 得x﹣=cosα，=sinα，得x=+cosα，y=‎ ‎∴x+y=sinα+cosα=2sin（）‎ ‎∵，∴α+，‎ ‎∴‎ ‎∴x+y∈[1，2]．…………12分 ‎21. 在平面直角坐标系xOy中，已知向量=（λcosα﹣sinβ，λsinα+cosβ），向量=（﹣λcosα﹣sinβ，﹣λsinα+cosβ），λ＞0．‎ ‎（1）若向量与的夹角为，＜β＜α＜2π，求α﹣β的值；‎ ‎（2）若对任意实数α，β都使得|﹣|≥||成立，求实数λ的取值范围．‎ ‎【思路分析】（1）直接利用向量的数量的线性运算和向量的数量积的应用和三角函数关系式的恒等变变换求出夹角．‎ ‎（2）利用向量的夹角公式和恒成立问题求出参数的取值范围．‎ ‎【解析】：（1）已知向量=（λcosα﹣sinβ，λsinα+cosβ）①，‎ 向量=（﹣λcosα﹣sinβ，﹣λsinα+cosβ），则：==（﹣λcosα﹣sinβ，﹣λsinα+cosβ）②，‎ 由①②得：，，所以：，．设向量与的夹角为θ，‎ 所以： =sin（α﹣β），‎ 由于，所以：．由于：＜β＜α＜2π，所以：，则：．…………6分 ‎（2）由于对任意实数α，β都使得|﹣|≥||成立，‎ 而：，由于，所以对任意的实数α，β都成立．‎ 由于1﹣2λsin（α﹣β）≥0对任意的实数α，β都成立，‎ 所以：，所以：，解得：，所以：．…………12分 ‎22（2018春•江阴市校级期中）在△ABC中，，M是BC的中点．‎ ‎（1）若点O是线段AM上任意一点，且||=||=，求+的最小值；‎ ‎（2）若点P是∠BAC内一点，且=2=2，||=2，求|++|的最小值．‎ ‎【思路分析】（1）由题意可得△ABC为等腰直角三角形，以A为原点，AB，AC为x轴和y轴建立直角坐标系，如图所示，M是BC的中点，O是线段AM上任意一点，可设O（x，x），0≤x≤，根据向量的数量积和坐标运算可得关于x的二次函数，根据函数的性质求出最值即可；‎ ‎（2）设∠CAP=α，∠BAP=﹣α，0＜α＜，运用向量数量积的定义和性质，向量的平方即为模的平方，结合坐标法和三角函数的同角关系、以及基本不等式可得最小值．‎ ‎=4x2﹣2x=4（x﹣）2﹣，‎ 故当x=时，+的最小值为﹣；…………6分 ‎（2）设∠CAP=α，∠BAP=﹣α，0＜α＜，‎ 由=2=2，||=2，‎ 可得2||cosα=2，2||cos（﹣α）=1，‎ 即有||=，||=，‎ ‎|++|2=2+2+2+2•+2•+2•‎ ‎=++4+0+4+2‎ ‎=++10‎ ‎=+tan2α+≥2+=，‎ 当且仅当=tan2α，即tanα=时，|++|的最小值为．……12分