【数学】2019届一轮复习人教A版第8章立体几何初步第6课时空间向量在立体几何中的应用学案 17页

第6课时　空间向量在立体几何中的应用（对应学生用书（理）123 125页）‎ ‎
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‎ 理解直线的方向向量与平面的法向量的意义；会用待定系数法求平面的法向量.能用向量语言表述线线、线面、面面的垂直和平行关系.体会向量方法在研究几何问题中的作用.‎ ‎　　能用向量方法判断一些简单的空间线线、线面、面面的垂直和平行关系；能用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的计算问题.‎ ‎
‎ ‎1. （选修21P89练习3改编）在平行六面体ABCDA1B‎1C1D1中，点M为AC和BD的交点.若＝a，＝b，＝c，则＝　　　　Ｗ.‎ 答案：－a＋b＋c 解析：＝＋＝c＋＝c＋＝c＋b－a＝－a＋b＋c.‎ ‎2. （选修21P105练习1（4）改编）已知平面α内有一个点M（1，－1，2），平面α的一个法向量为n＝（6，－3，6）.若点P（x，3，3）也在平面α内，则x＝　　　　Ｗ.‎ 答案：2‎ 解析：由题意可知，＝（x－1，4，1），∵ n·＝0，∴ 6（x－1）－12＋6＝0，∴ x＝2.‎ ‎3. （选修21P105练习1 （5） 改编）已知平面α的一个法向量为n＝（1，2，－2），平面β的一个法向量为m＝（－2，－4， ）.若α⊥β，则实数 的值为　　　　Ｗ.‎ 答案：－5‎ 解析：由α⊥β得m·n＝－2－8－2 ＝0，则 ＝－5.‎ ‎4. （选修21P111练习2改编）若直线l的方向向量为a＝（－2，3，1），平面α的一个法向量为n＝（1，0，1），则直线l与平面α所成角的正弦值等于　　　　Ｗ.‎ 答案： 解析：∵ cos〈a，n〉＝＝－，∴ 直线l与平面α所成角的正弦值sin θ＝|cos〈a，n〉|＝.‎ ‎5. 如图，在直三棱柱ABCA1B‎1C1中，∠ACB＝90°，AA1＝2，AC＝BC＝1，则异面直线A1B与AC夹角的余弦值为　　　　Ｗ.‎ ‎
‎ 答案： 解析：以点C为坐标原点，分别以CA，CB，CC1所在直线为x轴，y轴， 轴建立空间直角坐标系，则C（0，0，0），A（1，0，0），B（0，1，0），A1（1，0，2）.于是得＝（－1‎ ‎，1，－2），＝（－1，0，0），所以cos〈，〉＝＝＝，所以异面直线A1B与AC夹角的余弦值为.‎ ‎
‎ ‎1. 空间向量及其有关概念 语言描述 共线向量（平行向量）‎ 表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合 共面向量 能平移到同一个平面内的向量 共线向量定理 对空间任意两个向量a，b（a≠0），‎ b与a共线⇔存在λ∈R，使b＝λa 共面向量定理 若两个向量a，b不共线，向量p与向量a，b共面⇔存在有序实数组（x，y），使得p＝xa＋yb 空间向量基本定理 定理：如果三个向量e1，e2，e3不共面，那么对空间任一向量p，存在惟一的有序实数组（x，y， ），使得p＝xe1＋ye2＋ e3推论：设O，A，B，C是不共面的四点，则对空间任意一点P都存在惟一的有序实数组（x，y， ），使得＝x＋y＋ ‎2. 数量积及坐标运算 ‎（1） 两个向量的数量积：‎ ‎① a·b＝|a||b|cos〈a，b〉；‎ ‎② a⊥b⇔a·b＝0（a，b为两个非零向量）；‎ ‎③ |a|2＝a2，|a|＝.‎ ‎（2） 向量的坐标运算：‎ a＝（a1，a2，a3），b＝（b1，b2，b3）‎ 向量和 a＋b＝（a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3）‎ 向量差 a－b＝（a1－b1，a2－b2，a3－b3）‎ 数量积 a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3‎ 共线 a∥b⇒a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3（λ∈R，b≠0）‎ 垂直 a⊥b⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0‎ 夹角公式 cos〈a，b〉＝ ‎3. 直线的方向向量与平面的法向量 ‎（1） 直线l上的向量e（e≠0）以及与e共线的非零向量叫做直线l的方向向量.‎ ‎（2） 如果表示非零向量n的有向线段所在直线垂直于平面α，那么称向量n垂直于平面α，记作n⊥αＷ.此时把向量n叫做平面α的法向量.‎ ‎4. 空间线面关系的判定 设空间两条直线l1，l2的方向向量分别为e1，e2，两个平面α1，α2的法向量分别为n1，n2，则有下表：‎ 平行 垂直 l1与l2‎ e1∥e2‎ e1⊥e2‎ l1与α1‎ e1⊥n1‎ e1∥n1‎ α1与α2‎ n1∥n2‎ n1⊥n2‎ ‎5. 利用空间向量求空间角 ‎（1） 两条异面直线所成的角 ‎① 范围：两条异面直线所成的角θ的取值范围是Ｗ.‎ ‎② 向量求法：设直线a，b的方向向量为a，b，其夹角为φ，则有cos θ＝|cos φ|Ｗ.‎ ‎（2） 直线与平面所成的角 ‎① 范围：直线和平面所成的角θ的取值范围是Ｗ.‎ ‎② 向量求法：设直线l的方向向量为a，平面的法向量为u，直线与平面所成的角为θ，a与u的夹角为φ，则有sin θ＝|cos φ|或cos θ＝sin φ.‎ ‎（3） 二面角 ‎① 二面角的取值范围是[0，π]Ｗ.‎ ‎② 二面角的向量求法 ‎（ⅰ） 若AB，CD分别是二面角αlβ的两个面内与棱l垂直的异面直线，则二面角的大小就是向量AB与CD的夹角（如图①）.‎ ‎
‎ ‎（ⅱ） 设n1，n2分别是二面角αlβ的两个面α，β的法向量，则向量n1与n2的夹角（或其补角）的大小就是二面角的大小（如图②③）.[备课札记]‎ ‎
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,　　　　　　　　　1　空间向量的基本运算)‎ ‎
,　　　　　1)　已知四边形ABCD是边长为1的正方形，SA⊥底面ABCD，SA＝2，设点G是△ABC的重心，点E是SD上的一点，且SE＝3ED.‎ ‎（1） 试用基底{，，}表示向量；‎ ‎（2） 求线段GE的长.‎ ‎
‎ 解：（1） 连结AG，并延长AG交BC于点F，则点F是BC的中点，又＝－＝（＋）－ ‎＝＋－（＋）‎ ‎＝＋（－）－（＋＋）‎ ‎＝－＋＋.‎ ‎（2） 因为||2＝·＝（－＋＋）·（－＋＋）‎ ‎＝·＋·＋· ‎＝＋＋＝，所以||＝.‎ 如图，在平行六面体ABCDA1B‎1C1D1中，＝，＝2，设＝a，＝b，＝c，用基底{a，b，c}表示向量.‎ ‎
‎ 解：如图，连结AN，则＝＋.‎ ‎
‎ 由四边形ABCD是平行四边形可知，＝＋＝a＋b.‎ 又＝，故＝－＝－（a＋b）.‎ ‎∵ ＝2，∴ ＝＋＝－＝－＝（c＋2b），∴ ＝＋＝－（a＋b）＋（c＋2b）＝（－a＋b＋c）.‎ ‎
,　　　　　　　　　2　空间中的平行与垂直)‎ ‎
,　　　　　2)　在直三棱柱ABCA1B‎1C1中，∠ABC＝90°，BC＝2，CC1＝4，点E为BB1上的一点，且EB1＝1，点D，F，G分别为CC1，C1B1，C‎1A1的中点.求证：‎ ‎（1） B1D⊥平面ABD；‎ ‎（2） 平面EGF∥平面ABD.‎ ‎
‎ 证明：（1） 以点B为坐标原点，BA，BC，BB1所在的直线分别为x轴、y轴、 轴建立空间直角坐标系，如图，‎ 则B（0，0，0），D（0，2，2），B1（0，0，4），‎ 设BA＝a，则A（a，0，0），‎ 所以＝（a，0，0），＝（0，2，2），＝（0，2，－2），‎ 所以·＝0＋0＋0＝0，·＝0＋4－4＝0，‎ 即B1D⊥BA，B1D⊥BD.‎ 又BA∩BD＝B，‎ 所以B1D⊥平面ABD.‎ ‎（2） 由（1）知，E（0，0，3），G，F（0，1，4），‎ 则＝，＝（0，1，1），‎ ·＝0＋2－2＝0，‎ ·＝0＋2－2＝0，‎ 即B1D⊥EG，B1D⊥EF.‎ 又EG∩EF＝E，所以B1D⊥平面EGF.‎ 由（1）可知，B1D⊥平面ABD，所以平面EGF∥平面ABD.‎ ‎
变式训练 如图，在四棱锥PABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，点E是PC的中点.求证：‎ ‎
‎ ‎（1） AE⊥CD；‎ ‎（2） PD⊥平面ABE.‎ 证明：（1） 由题意知AB，AD，AP两两垂直，以A点为坐标原点，AB，AD，AP所在的直线分别为x轴、y轴、 轴建立空间直角坐标系，如图，设PA＝AB＝BC＝1，则P（0，0，1）.‎ 因为∠ABC＝60°，AB＝BC，‎ 所以△ABC为正三角形，‎ ‎
‎ 所以C，E.‎ 设D（0，y，0），则＝，＝.‎ 由AC⊥CD，得·＝0，‎ 即y＝，则D，‎ 所以＝.‎ 又＝，‎ 所以·＝－×＋×＋0×＝0，‎ 所以⊥，即AE⊥CD.‎ ‎（2） 因为P（0，0，1），所以＝.‎ 又·＝×0＋×＋×（－1）＝0，‎ 所以⊥，即PD⊥AE.‎ 因为＝（1，0，0），所以·＝0.‎ 所以PD⊥AB，又AB∩AE＝A，‎ 所以PD⊥平面ABE.‎ ‎
,　　　　　　　　　3　空间的角的计算)‎ ‎
,　　　　　3)　如图，已知在正四棱锥PABCD中，PA＝AB＝2，点M，N分别在PA，BD上，且＝＝.‎ ‎（1） 求异面直线MN与PC所成角的大小；‎ ‎（2） 求二面角NPCB的余弦值.‎ ‎
‎ 解：（1） 设AC，BD交于点O，连结OP，在正四棱锥PABCD中，OP⊥平面ABCD.又PA＝AB＝2，所以OP＝.以O为坐标原点，，，的方向分别为x轴、y轴、 轴的正方向，建立空间直角坐标系Oxy ，如图，‎ ‎
‎ 则A（1，－1，0），B（1，1，0），C（－1，1，0），D（－1，－1，0），P（0，0，）.‎ 故＝＋＝＋＝，＝＝，‎ 所以＝，＝（－1，1，－），‎ cos〈，〉＝＝，‎ 所以异面直线MN与PC所成角的大小为.‎ ‎（2） ＝（－1，1，－），＝（2，0，0），＝.‎ 设m＝（x，y， ）是平面PCB的一个法向量，则m·＝0，m·＝0，‎ 可得 令 ＝1，得y＝，故m＝（0，，1）.‎ 设n＝（x1，y1， 1）是平面PCN的一个法向量，则n·＝0，＝0，‎ 可得 令x1＝2，得y1＝4， 1＝，故n＝（2，4，）.‎ cos〈m，n〉＝＝＝，‎ 则二面角NPCB的余弦值为.‎ ‎
变式训练 如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB＝，AF＝1，点M是线段EF的中点.‎ ‎（1） 求二面角ADFB的大小；‎ ‎（2） 试在线段AC上确定一点P，使PF与BC所成的角是60°.‎ ‎
‎ 解：（1） 以，，的方向分别为x轴、y轴、 轴，建立空间直角坐标系，则E（0，0，1），D（，0，0），F（，，1），B（0，，0），A（，，0），＝（，－，0），＝（，0，1）.‎ 平面ADF的一个法向量t＝（1，0，0），‎ 设平面DFB的一个法向量n＝（a，b，c），‎ 则n·＝0，n·＝0，‎ 所以令a＝1，得b＝1，c＝－，‎ 所以n＝（1，1，－）.‎ 设二面角ADFB的大小为θ，从而cos θ＝|cos〈n，t〉|＝，所以θ＝60°，‎ 故二面角ADFB的大小为60°.‎ ‎（2） 依题意，设P（m，m，0）（0≤m≤），则＝（－m，－m，1），＝（0，，0）.‎ 因为〈，〉＝60°，‎ 所以cos 60°＝＝，解得m＝，‎ 所以点P应在线段AC的中点处.‎ ‎
‎ ‎1. 如图，已知斜三棱柱ABCA1B‎1C1，点M，N分别在AC1和BC上，且满足＝ ，＝ （0≤ ≤1）.求证：向量与向量，共面.‎ ‎
‎ 证明：因为＝ ，＝ （0≤ ≤1），‎ 所以＝＋＋＝ ＋＋ ‎＝ （＋）＋＝ （＋）＋ ‎＝ ＋＝－ ＝－ （＋）‎ ‎＝（1－ ）－ ，‎ 所以由共面向量定理知，向量与向量，共面.‎ ‎2. 如图，在直四棱柱ABCDA1B‎1C1D1中，底面四边形ABCD为菱形，A‎1A＝AB＝2，∠ABC＝‎ ，点E，F分别是BC，A‎1C的中点.‎ ‎（1） 求异面直线EF，AD所成角的余弦值；‎ ‎（2） 点M在线段A1D上，A‎1M＝λA1D.若CM∥平面AEF，求实数λ的值.‎ ‎
‎ 解：（1） 因为四棱柱ABCDA1B‎1C1D1为直四棱柱，‎ 所以A‎1A⊥平面ABCD.‎ 又AE⊂平面ABCD，AD⊂平面ABCD，‎ 所以A‎1A⊥AE，A‎1A⊥AD.‎ 在菱形ABCD中∠ABC＝，连结AC，则△ABC是等边三角形.‎ 因为点E是BC中点，所以BC⊥AE.‎ 因为BC∥AD，所以AE⊥AD，所以AE，AD，AA1两两垂直.‎ ‎
‎ 如图，以A点为坐标原点，AE，AD，AA1所在的直线分别为x轴、y轴、 轴建立空间直角坐标系，则A（0，0，0），C（，1，0），D（0，2，0），‎ A1（0，0，2），E（，0，0），‎ F.‎ ＝（0，2，0），＝，‎ cos〈，〉＝＝＝，‎ 所以异面直线EF，AD所成角的余弦值为.‎ ‎（2） 设M（x，y， ），由于点M在线段A1D上，‎ 且A‎1M＝λA1D，‎ 则（x，y， －2）＝λ（0，2，－2），‎ 则M（0，2λ，2－2λ），＝（－，2λ－1，2－2λ）.‎ 设平面AEF的一个法向量为n＝（x0，y0， 0）.‎ 因为＝（，0，0），＝，‎ 由得x0＝0，y0＋ 0＝0.‎ 取y0＝2，则 0＝－1，‎ 则平面AEF的一个法向量为n＝（0，2，－1）.‎ 由于CM∥平面AEF，则n·＝0，即2（2λ－1）－（2－2λ）＝0，解得λ＝.‎ ‎3. 如图，在棱长为3的正方体ABCDA1B‎1C1D1中，A1E＝CF＝1.‎ ‎（1） 求两条异面直线AC1与BE所成角的余弦值；‎ ‎（2） 求直线BB1与平面BED‎1F所成角的正弦值.‎ ‎
‎ 解：（1） 以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x，y， 轴，建立空间直角坐标系Dxy ，如图，‎ ‎
‎ 则A（3，0，0），C1（0，3，3），＝（－3，3，3），B（3，3，0），E（3，0，2），＝（0，－3，2）.‎ 所以cos〈，〉＝＝＝－，‎ 故两条异面直线AC1与BE所成角的余弦值为.‎ ‎（2） B1（3，3，3），＝（0，0，3），＝（3，0，－1）.‎ 设平面BED‎1F的一个法向量为n＝（x，y， ），‎ 由得 所以则n＝（x，2x，3x），‎ 不妨取n＝（1，2，3）.‎ 设直线BB1与平面BED‎1F所成的角为α，‎ 则sin α＝|cos〈，n〉|＝＝.‎ 所以直线BB1与平面BED‎1F所成角的正弦值为.‎ ‎4. 如图，在直三棱柱ABCA1B‎1C1中，AB⊥AC，AB＝2，AC＝4，AA1＝2.设＝λ（λ∈R）.‎ ‎（1） 若λ＝1，求直线DB1与平面A‎1C1D所成角的正弦值；‎ ‎（2） 若二面角B‎1A1C1D的大小为60°，求实数λ的值.‎ ‎
‎ 解：（1） 以A点为原点，分别以AB，AC，AA1所在直线为x，y， 轴建立空间直角坐标系，‎ 则A（0，0，0），B（2，0，0），C（0，4，0），A1（0，0，2），B1（2，0，2），C1（0，4，2）.‎ 当λ＝1时，D为BC的中点，所以D（1，2，0），‎ ＝（1，－2，2），＝（0，4，0），＝（1，2，－2）.‎ 设平面A‎1C1D的一个法向量为n1＝（x，y， ），‎ 则所以可取n1＝（2，0，1）.‎ 又cos〈，n1〉＝＝＝，‎ 所以直线DB1与平面A‎1C1D所成角的正弦值为.‎ ‎（2） 因为＝λ，所以D，‎ 所以＝.‎ 设平面A‎1C1D的一个法向量n2＝（a，b，c），‎ 则 所以可取n2＝（λ＋1，0，1）.‎ 又平面A1B‎1C1的一个法向量为n3＝（0，0，1），‎ 由题意得|cos〈n2，n3〉|＝，‎ 所以＝，‎ 解得λ＝－1或λ＝－－1（不合题意，舍去），‎ 所以实数λ的值为－1.‎ ‎5. 如图，在四棱锥SABCD中，SD⊥平面ABCD，四边形ABCD是直角梯形，∠ADC＝∠DAB＝90°，SD＝AD＝AB＝2，DC＝1.‎ ‎
‎ ‎（1） 求二面角SBCA的余弦值；‎ ‎（2） 设P是棱BC上一点，点E是SA的中点.若PE与平面SAD所成角的正弦值为，求线段CP的长.‎ 解：（1） 以D点为坐标原点，DA，DC，DS所在的直线分别为x轴、y轴、 轴建立空间直角坐标系Dxy ，则D（0，0，0），B（2，2，0），C（0，1，0），S（0，0，2），‎ 所以＝（2，2，－2），＝（0，1，－2），＝（0，0，2）.‎ 设平面SBC的一个法向量为n1＝（x，y， ），‎ 由n1·＝0，n1·＝0，‎ 得2x＋2y－2 ＝0且y－2 ＝0.‎ 取 ＝1，得x＝－1，y＝2，‎ 所以n1＝（－1，2，1）是平面SBC的一个法向量.‎ 因为SD⊥平面ABC，所以平面ABC的一个法向量为n2＝（0，0，1）.‎ 设二面角SBCA的大小为θ，‎ 所以|cos θ|＝＝＝，‎ 由图可知二面角SBCA为锐二面角，‎ 所以二面角SBCA的余弦值为.‎ ‎（2） 由（1）知E（1，0，1），＝（2，1，0），＝（1，－1，1）.‎ 设＝λ（0≤λ≤1），则＝λ（2，1，0）＝（2λ，λ，0），‎ 所以＝－＝（1－2λ，－1－λ，1）.‎ 由题意可知CD⊥平面SAD，所以＝（0，－1，0）是平面SAD的一个法向量.‎ 设PE与平面SAD所成的角为α，‎ 所以sin α＝＝ ‎＝，‎ 即＝，解得λ＝或λ＝（舍）.‎ 所以＝，＝，‎ 所以线段CP的长为.‎ ‎
‎ ‎1. 如图，在直三棱柱ABCA1B‎1C1中，底面△ABC是直角三角形，AB＝AC＝1，AA1＝2，点P是棱BB1上一点，满足＝λ（0≤λ≤1）.‎ ‎（1） 若λ＝，求直线PC与平面A1BC所成角的正弦值；‎ ‎（2） 若二面角PA1CB的正弦值为，求λ的值.‎ ‎
‎ 解：（1） 以A为坐标原点，分别以AB，AC，AA1所在直线为x轴、y轴、 轴，建立空间直角坐标系Axy .因为AB＝AC＝1，AA1＝2，则A（0，0，0），B（1，0，0），C（0，1，0），A1（0，0，2），B1（1，0，2），P（1，0，2λ）.‎ ＝（1，0，－2），＝（0，1，－2），‎ 由λ＝得，＝，‎ 设平面A1BC的一个法向量为n1＝（x1，y1， 1），‎ 由得 不妨取 1＝1，则x1＝y1＝2，‎ 所以平面A1BC的一个法向量为n1＝（2，2，1）.‎ 设直线PC与平面A1BC所成的角为θ，‎ 则sin θ＝|cos〈，n1〉|＝||＝，‎ 所以直线PC与平面A1BC所成角的正弦值为.‎ ‎（2） 设平面PA‎1C的一个法向量为n2＝（x2，y2， 2），‎ ＝（1，0，2λ－2），　‎ 由得 不妨取 2＝1，则x2＝2－2λ，y2＝2，‎ 所以平面PA‎1C的一个法向量为n2＝（2－2λ，2，1）.‎ 则cos〈n1，n2〉＝.‎ 因为二面角PA1CB的正弦值为，‎ 所以＝，‎ 化简得λ2＋8λ－9＝0，解得λ＝1或λ＝－9（舍去），‎ 故λ的值为1.‎ ‎2. 如图，在四棱柱ABCDA1B‎1C1D1中，侧面ADD‎1A1⊥底面ABCD，D‎1A＝D1D＝，底面ABCD为直角梯形，其中BC∥AD，AB⊥AD，AD＝2AB＝2BC＝2.‎ ‎
‎ ‎（1） 在平面ABCD内找一点F，使得D‎1F⊥平面AB‎1C；‎ ‎（2） 求二面角CB1AB的余弦值.‎ 解：（1） 如图，取A1D1的中点E，连结AE，则AE⊥A1D1，以A点为原点，AB，AD，AE所在直线为x，y， 轴建立空间直角坐标系，A（0，0，0），B（1，0，0），C（1，1，0），D1（0，1，1），B1（1，－1，1），设F（a，b，0），‎ ‎
‎ 则＝（a，b－1，－1），‎ ＝（1，1，0），‎ ＝（1，－1，1）.‎ 因为D‎1F⊥平面AB‎1C，所以 解得a＝b＝，‎ 所以F，即点F为AC的中点.‎ 所以存在AC中点F，使D‎1F⊥平面AB‎1C.‎ ‎（2） 由（1）可取平面B‎1AC的一个法向量n1＝＝.‎ 设平面B1AB的一个法向量为n2＝（x，y， ），因为＝（1，0，0），‎ 所以解得 可取n2＝（0，1，1），‎ 则cos〈n1，n2〉＝＝－.‎ 由题意可得二面角CB1AB为锐二面角，‎ 所以二面角CB1AB的余弦值为.‎ ‎3. 如图，以正四棱锥VABCD的底面中心O为坐标原点建立空间直角坐标系Oxy ，其中Ox∥BC，Oy∥AB，点E为VC中点，正四棱锥的底面边长为‎2a，高为h，且有cos〈，〉＝－.‎ ‎（1） 求的值；‎ ‎（2） 求二面角BVCD的余弦值.‎ ‎
‎ 解：（1） 由题意，可得B（a，a，0），C（－a，a，0），D（－a，－a，0），V（0，0，h），E，‎ ‎∴ ＝，＝，‎ 故cos〈，〉＝.‎ 又cos〈，〉＝－，∴ ＝－，解得＝；‎ ‎（2） 由＝，得＝，‎ ＝.‎ 且＝（‎2a，0，0），＝（0，‎2a，0）.‎ 设平面BVC的一个法向量为n1＝（x1，y1， 1），则 即取y1＝3，得n1＝（0，3，2）；‎ 同理可得平面DVC的一个法向量为n2＝（－3，0，2）.‎ ‎∴ cos〈n1，n2〉＝＝＝.‎ 由题意可得二面角BVCD为钝二面角，‎ ‎∴ 二面角BVCD的余弦值为－.‎ ‎4. 如图，圆锥的高PO＝4，底面半径OB＝2，点D为PO的中点，点E为母线PB的中点，F为底面圆周上一点，满足EF⊥DE.‎ ‎（1） 求异面直线EF与BD所成角的余弦值；‎ ‎（2） 求二面角ODFE的正弦值.‎ ‎
‎ 解：（1） 以O为原点，底面上过O点且垂直于OB的直线为x轴，OB所在的直线为y轴，OP所在的直线为 轴，建立空间直角坐标系，则B（0，2，0），P（0，0，4），D（0，0，2），E（0，1，2）.‎ 设F（x0，y0，0）（x0＞0，y0＞0），且x＋y＝4.‎ 则＝（x0，y0－1，－2），＝（0，1，0）.‎ ‎∵ EF⊥DE即⊥，则·＝y0－1＝0，故y0＝1.‎ ‎∴ F（，1，0），＝（，0，－2）.有＝（0，－2，2），‎ 设异面直线EF与BD所成角为α，‎ 则cos α＝||＝＝.‎ ‎（2） 设平面ODF的一个法向量为n1＝（x1，y1， 1），则即 令x1＝1，得y1＝－，则平面ODF的一个法向量为n1＝（1，－，0）.‎ 设平面DEF的一个法向量为n2＝（x2，y2， 2），‎ 同理可得平面DEF的一个法向量为n2＝.‎ 设二面角ODFE的大小为β，则|cos β|＝＝＝.∴ sin β＝.‎ ‎
‎ ‎1. 类比平面向量，掌握空间向量的线性运算、空间向量的数量积、空间向量的坐标运算.‎ ‎2. 用空间向量解答立体几何问题的一般步骤 ‎（1） 几何问题向量化：线线、线面、面面的平行、垂直、夹角等位置关系问题，利用立体几何中直线与平面的相关判定定理和性质定理，将问题转化为直线的方向向量或平面的法向量之间的平行、垂直、夹角关系.‎ ‎（2） 进行向量运算：通常需通过建立空间直角坐标系将问题转化为空间向量的坐标运算.‎ ‎（3） 回归几何问题：如利用法向量求二面角时，要注意两平面的法向量的方向，确定求得的角是二面角还是其补角.‎ ‎3. 空间的角的计算 ‎（1） 求异面直线所成角时易忽视角的范围而导致结论错误.‎ ‎（2） 求直线与平面所成角时，注意求出平面法向量与直线夹角的余弦值的绝对值应为线面角的正弦值.‎ ‎（3） 利用平面的法向量求二面角的大小时，当求出两半平面α，β的法向量n1，n2时，要根据向量坐标在图形中观察法向量的方向，从而确定二面角与向量n1，n2的夹角是相等（一个平面的法向量指向二面角的内部，另一个平面的法向量指向二面角的外部）还是互补（两个法向量同时指向二面角的内部或外部），这是利用向量求二面角的难点、易错点.‎ ‎[备课札记]‎