数学卷·2018届天津市静海一中高二上学期9月调研数学试卷（文科）（解析版） 20页

‎2016-2017学年天津市静海一中高二（上）9月调研数学试卷（文科）‎ ‎　‎ 一、选择题（本题共10小题，每小题6分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）‎ ‎1．以下四个命题中，正确的有（　　）‎ ‎①两个底面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台；‎ ‎②有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫做棱柱；‎ ‎③在圆台上、下两底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线；‎ ‎④一个棱锥的各条棱长都相等，那么这个棱锥一定不是六棱锥．‎ A．①②④ B．②③ C．④ D．②④‎ ‎2．以下关于斜二测画法作直观图的命题：‎ ‎①相等的角在直观图中仍相等；‎ ‎②相等的线段在直观图中长度仍相等；‎ ‎③平行四边形的直观图仍是平行四边形；‎ ‎④菱形的直观图仍是菱形．‎ 其中正确的个数是（　　）‎ A．0 B．1 C．2 D．3‎ ‎3．下列命题正确的是（　　）‎ A．若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行 B．若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行 C．若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行 D．若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行 ‎4．一个直角梯形的两底长分别为2和5，高为4，绕其较长的底旋转一周，所得的几何体的表面积为（　　）‎ A．52π B．34π C．45π D．37π ‎5．某四面体的三视图如图所示，该四面体四个面的面积中，最大的是（　　）‎ A．8 B． C．10 D．‎ ‎6．如图，在正三棱锥P﹣ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，O为顶点P在底面ABC内的投影，有下列三个论断：①AC⊥PB；②AC∥平面POD；③AB⊥平面POD，其中正确论断的个数为（　　）‎ A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 ‎7．已知正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=4，AB=2，E是AA1的中点，则异面直线D1C与BE所成角的余弦值为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎8．在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，各棱长相等，侧棱垂直于底面，点D是侧面BB1C1C的中心，则AD与平面BB1C1C所成角的大小是（　　）‎ A．30° B．45° C．60° D．90°‎ ‎9．如图正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，线段B1D1上有两个动点E、F，且EF=，则下列结论中错误的是（　　）‎ A．AC⊥BE B．EF∥平面ABCD C．三棱锥A﹣BEF的体积为定值 D．△AEF的面积与△BEF的面积相等 ‎10．在等腰梯形ABCD中，AB=2CD=2，∠DAB=60°，E是AB的中点，将△ADE与△BEC分别沿ED，EC向上折起，使A，B重合于点P，若三棱锥P﹣CDE的各个顶点在同一球面上，则该球的表面积为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎　‎ 二、填空题（本大题共6小题，每小题6分，共36分）‎ ‎11．如图是一个几何体的正视图、侧视图、俯视图，则该几何体的体积是　　．‎ ‎12．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=2，点E为AD的中点，点F在CD上，若EF∥平面AB1C，则线段EF的长度等于　　．‎ ‎13．据说伟大的阿基米德死了以后，敌军将领马塞拉斯给他建了一块墓碑．在墓碑上刻了一个如图所示的图案，图案中球的直径与圆柱底面的直径和圆柱的高相等，圆锥的顶点在圆柱上底面的圆心，圆锥的底面是圆柱的下底面．试计算出图形中圆锥、球、圆柱的体积比．‎ ‎14．如图正方形OABC的边长为1cm，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是　　cm．‎ ‎15．设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为a，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为　　．‎ ‎16．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ACB=90°，AC=6，BC=CC1=，P是BC1上一动点，则|CP|+|PA1|的最小值是　　．‎ ‎　‎ 三、解答题：本大题共4小题，共54分）‎ ‎17．如图，在△ABC中，∠ABC=45°，∠BAC=90°，AD是BC上的高，沿AD把是BC上的△ABD折起，使∠BDC=90°．‎ ‎（Ⅰ）证明：平面ADB⊥平面BDC；‎ ‎（Ⅱ）设BD=1，求三棱锥D﹣ABC的表面积．‎ ‎18．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC=3，BC=4，AB=5，AA1=4，点D为AB的中点．‎ ‎（Ⅰ）求证AC⊥BC1；‎ ‎（Ⅱ）求证AC1∥平面CDB1；‎ ‎（Ⅲ）求异面直线AC1与B1C所成角的余弦值．‎ ‎19．如图所示的三棱柱ABE﹣DCF中，AB=AF，BE=EF=2．‎ ‎（Ⅰ）证明：AE⊥BF；‎ ‎（Ⅱ）若∠BEF=60°，AE=AB=2，求三棱柱ABE﹣DFC的体积．‎ ‎20．如图，正方形ABCD、ABEF的边长都是1，且∠CBE=90°，点M在AC上移动，点N在BF上移动，若CM=BN=a（0＜a＜）‎ ‎（1）能否说明对任意a，恒有MN∥平面CBE？‎ ‎（2）当a为何值时，MN的长最短？‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年天津市静海一中高二（上）9月调研数学试卷（文科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题（本题共10小题，每小题6分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）‎ ‎1．以下四个命题中，正确的有（　　）‎ ‎①两个底面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台；‎ ‎②有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫做棱柱；‎ ‎③在圆台上、下两底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线；‎ ‎④一个棱锥的各条棱长都相等，那么这个棱锥一定不是六棱锥．‎ A．①②④ B．②③ C．④ D．②④‎ ‎【考点】构成空间几何体的基本元素．‎ ‎【分析】根据多面体的性质和几何体的定义来判断，采用举反例的方法来以及对概念的理解进行否定 ‎【解答】解：对于①，棱台还要求侧棱的延长线交于一点，故①错误，‎ 对于②，有两个面平行其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱错误，即②错误，反例如图：‎ 对于③，以直角梯形垂直于底边的腰所在直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫做圆台．旋转轴叫做圆台的轴．直角梯形上、下底旋转所成的圆面称为圆台的上、下底面，另一腰旋转所成的曲面称为圆台的侧面，侧面上各个位置的直角梯形的腰称为圆台的母线，故③错误 对于④，以为正六棱锥的底面是个正六边形，正六边形共由6个等边三角形构成，设每个等边三角形的边长为 r，‎ 正六棱锥的高为h，正六棱锥的侧棱长为 l，由正六棱锥的高 h、底面的半径 r、侧棱长l构成直角三角形得，‎ ‎ h2+r2=l2，故侧棱长 l和底面正六边形的边长 r不可能相等，故④正确，‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎2．以下关于斜二测画法作直观图的命题：‎ ‎①相等的角在直观图中仍相等；‎ ‎②相等的线段在直观图中长度仍相等；‎ ‎③平行四边形的直观图仍是平行四边形；‎ ‎④菱形的直观图仍是菱形．‎ 其中正确的个数是（　　）‎ A．0 B．1 C．2 D．3‎ ‎【考点】平面图形的直观图．‎ ‎【分析】根据空间几何体的直观图及斜二测画法，对题目中的命题进行分析、判断正误即可．‎ ‎【解答】解：对于①，相等的角在直观图中不一定相等，‎ 如一个等腰直角三角形，画出直观图后不是等腰直角三角形，故①错误；‎ 对于②，相等的线段在直观图中不一定相等，‎ 如正方形在直观图中是平行四边形，邻边不相等，故②错误；‎ 对于③，平行四边形的直观图仍是平行四边形；‎ 由于斜二测画法的法则是平行于x的轴的线平行性与长度都不变；‎ 平行于y轴的线平行性不变，长度变为原长度的一半，故③正确；‎ 对于④，菱形的直观图不一定是菱形，也可能是矩形，故④错误．‎ 综上，正确的命题是③．只有1个．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎3．下列命题正确的是（　　）‎ A．若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行 B．若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行 C．若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行 D．若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行 ‎【考点】空间中直线与平面之间的位置关系；命题的真假判断与应用．‎ ‎【分析】利用直线与平面所成的角的定义，可排除A；利用面面平行的位置关系与点到平面的距离关系可排除B；利用线面平行的判定定理和性质定理可判断C正确；利用面面垂直的性质可排除D．‎ ‎【解答】解：A、若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行、相交或异面，故A错误；‎ B、若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行或相交，故B错误；‎ C、设平面α∩β=a，l∥α，l∥β，由线面平行的性质定理，在平面α内存在直线b∥l，在平面β内存在直线c∥l，所以由平行公理知b∥c，从而由线面平行的判定定理可证明b∥β，进而由线面平行的性质定理证明得b∥a，从而l∥a，故C正确；‎ D，若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行或相交，排除D．‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎4．一个直角梯形的两底长分别为2和5，高为4，绕其较长的底旋转一周，所得的几何体的表面积为（　　）‎ A．52π B．34π C．45π D．37π ‎【考点】组合几何体的面积、体积问题．‎ ‎【分析】确定几何体的形状，根据已知条件所给数据，求出组合体的表面积即可．‎ ‎【解答】解：直角梯形绕其较长的底旋转一周后，所得的几何体是半径为4、高为2的圆柱和半径为4、高为3的圆锥组成；‎ 所以，表面积=πR2+2πRH+πR=πx4x[4+2x2+]=52π，‎ 故选A．‎ ‎　‎ ‎5．某四面体的三视图如图所示，该四面体四个面的面积中，最大的是（　　）‎ A．8 B． C．10 D．‎ ‎【考点】由三视图求面积、体积．‎ ‎【分析】三视图复原的几何体是一个三棱锥，根据三视图的图形特征，判断三棱锥的形状，三视图的数据，求出四面体四个面的面积中，最大的值．‎ ‎【解答】解：三视图复原的几何体是一个三棱锥，如图，四个面的面积分别为：8，6，，10，‎ 显然面积的最大值，10．‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎6．如图，在正三棱锥P﹣ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，O为顶点P在底面ABC内的投影，有下列三个论断：①AC⊥PB；②AC∥平面POD；③AB⊥平面POD，其中正确论断的个数为（　　）‎ A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 ‎【考点】棱锥的结构特征．‎ ‎【分析】由P﹣ABC是正三棱锥，可知底面△ABC是正三角形，且顶点P在底面ABC内的投影O是底面三角形的中心，然后利用线面垂直的判定可得AC⊥平面PBE，AB⊥平面POD，可知①③正确；由AC∩平面POD=C知②错误．‎ ‎【解答】解：∵P﹣ABC是正三棱锥，∴底面△ABC是正三角形，‎ 且顶点P在底面ABC内的投影O是底面三角形的中心，‎ 又D，E分别是AB，AC的中点，则BE∩CD于O，且BE⊥AC，CD⊥AB．‎ 又PO⊥底面ABC，∴PO⊥AC，PO⊥AB，则AC⊥平面PBE，‎ 有AC⊥PB，故①正确；‎ AB⊥平面PCD，即AB⊥平面POD，故③正确；‎ AC∩平面POD=C，故②错误．‎ ‎∴正确论断的个数为2个．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎7．已知正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=4，AB=2，E是AA1的中点，则异面直线D1C与BE所成角的余弦值为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】异面直线及其所成的角．‎ ‎【分析】首先把空间问题转化为平面问题，通过连结A1B得到：A1B∥CD1进一步解三角形，利用余弦定理求出结果．‎ ‎【解答】解：在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，‎ 连结A1B，根据四棱柱的性质A1B∥CD1‎ ‎∵AA1=4，AB=2，∴AE=2，A1B=2，BE=2‎ 在△A1BE中，利用余弦定理求得：cos∠A1BE=‎ 即异面直线BE与CD1所成角的余弦值为：．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎8．在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，各棱长相等，侧棱垂直于底面，点D是侧面BB1C1C的中心，则AD与平面BB1C1C所成角的大小是（　　）‎ A．30° B．45° C．60° D．90°‎ ‎【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．‎ ‎【分析】本题考查的知识点是线面夹角，由已知中侧棱垂直于底面，我们过D点做BC的垂线，垂足为E，则DE⊥底面ABC，且E为BC中点，则E为A点在平面BB1C1C上投影，则∠ADE即为所求线面夹角，解三角形即可求解．‎ ‎【解答】解：如图，取BC中点E，连接DE、AE、AD，‎ 依题意知三棱柱为正三棱柱，‎ 易得AE⊥平面BB1C1C，故∠ADE为AD与平面BB1C1C所成的角．‎ 设各棱长为1，则AE=，‎ DE=，tan∠ADE=，‎ ‎∴∠ADE=60°．‎ 故选C ‎　‎ ‎9．如图正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，线段B1D1上有两个动点E、F，且EF=，则下列结论中错误的是（　　）‎ A．AC⊥BE B．EF∥平面ABCD C．三棱锥A﹣BEF的体积为定值 D．△AEF的面积与△BEF的面积相等 ‎【考点】空间中直线与直线之间的位置关系．‎ ‎【分析】连结BD，则AC⊥平面BB1D1D，BD∥B1D1，点A、B到直线B1D1的距离不相等，由此能求出结果．‎ ‎【解答】解：连结BD，则AC⊥平面BB1D1D，BD∥B1D1，‎ ‎∴AC⊥BE，EF∥平面ABCD，三棱锥A﹣BEF的体积为定值，‎ 从而A，B，C正确．‎ ‎∵点A、B到直线B1D1的距离不相等，‎ ‎∴△AEF的面积与△BEF的面积不相等，‎ 故D错误．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎10．在等腰梯形ABCD中，AB=2CD=2，∠DAB=60°，E是AB的中点，将△ADE与△BEC分别沿ED，EC向上折起，使A，B重合于点P，若三棱锥P﹣CDE的各个顶点在同一球面上，则该球的表面积为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】球的体积和表面积．‎ ‎【分析】判定三棱锥的形状，然后求出它的外接球的半径，再求表面积．‎ ‎【解答】解：易证所得三棱锥为正四面体，它的棱长为1，‎ 故外接球半径为，外接球的表面积为：4π=，‎ 故选：D．‎ ‎　‎ 二、填空题（本大题共6小题，每小题6分，共36分）‎ ‎11．如图是一个几何体的正视图、侧视图、俯视图，则该几何体的体积是　12　．‎ ‎【考点】由三视图求面积、体积．‎ ‎【分析】由三视图知几何体是由两个相同的直三棱柱构成，且三棱柱的高为4，三棱柱的底面三角形为直角三角形，两直角边分别为2，，把数据代入棱柱的体积公式计算．‎ ‎【解答】解：由三视图知几何体是由两个相同的直三棱柱构成，且三棱柱的高为4，‎ 三棱柱的底面三角形为直角三角形，两直角边长分别为2，，‎ ‎∴底面三角形的底面积S=×2×=，‎ ‎∴几何体的体积V=2××4=12．‎ 故答案为：12．‎ ‎　‎ ‎12．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=2，点E为AD的中点，点F在CD上，若EF∥平面AB1C，则线段EF的长度等于　　．‎ ‎【考点】直线与平面平行的性质．‎ ‎【分析】根据已知EF∥平面AB1C和线面平行的性质定理，证明EF∥AC，又点E为AD的中点，点F在CD上，以及三角形中位线定理可知点F是CD的中点，从而求得线段EF的长度．‎ ‎【解答】解：∵EF∥平面AB1C，EF⊆平面AC，平面AB1C∩平面AC=AC，‎ ‎∴EF∥AC，‎ 又点E为AD的中点，点F在CD上，‎ ‎∴点F是CD的中点，‎ ‎∴EF=．‎ 故答案为．‎ ‎　‎ ‎13．据说伟大的阿基米德死了以后，敌军将领马塞拉斯给他建了一块墓碑．在墓碑上刻了一个如图所示的图案，图案中球的直径与圆柱底面的直径和圆柱的高相等，圆锥的顶点在圆柱上底面的圆心，圆锥的底面是圆柱的下底面．试计算出图形中圆锥、球、圆柱的体积比．‎ ‎【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．‎ ‎【分析】设圆柱底面半径为r，则球的半径为r，圆柱和圆锥的高均为2r，代入几何体体积公式计算即可．‎ ‎【解答】解：设圆柱底面半径为r，则球的半径为r，圆柱和圆锥的高均为2r，‎ ‎∴V圆锥=×πr2×2r=，‎ V球=，‎ V圆柱=πr2×2r=2πr3，‎ ‎∴V圆锥：V球：V圆柱=：：2=1：2：3．‎ ‎　‎ ‎14．如图正方形OABC的边长为1cm，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是　8　cm．‎ ‎【考点】斜二测法画直观图．‎ ‎【分析】由斜二测画法的规则知在已知图形平行于x轴的线段，在直观图中画成平行于x'轴，长度保持不变，已知图形平行于y轴的线段，在直观图中画成平行于y'轴，且长度为原来一半．由于y'轴上的线段长度为，故在平面图中，其长度为2，且其在平面图中的y轴上，由此可以求得原图形的周长．‎ ‎【解答】解：由斜二测画法的规则知与x'轴平行的线段其长度不变以及与横轴平行的性质不变，正方形的对角线在y'轴上，‎ 可求得其长度为，故在平面图中其在y轴上，且其长度变为原来的2倍，长度为2，其原来的图形如图所示，则原图形的周长是：8cm．‎ 故答案为：8．‎ ‎　‎ ‎15．设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为a，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为　　．‎ ‎【考点】正弦定理的应用；棱柱的结构特征；球的体积和表面积．‎ ‎【分析】由题意可知上下底面中心连线的中点就是球心，求出球的半径，即可求出球的表面积．‎ ‎【解答】解：根据题意条件可知三棱柱是棱长都为a的正三棱柱，设上下底面中心连线EF的中点O，则O就是球心，‎ 则其外接球的半径为OA1，又设D为A1C1中点，在直角三角形EDA1中，EA1==‎ 在直角三角形OEA1中，OE=，由勾股定理 ‎∴，‎ 球的表面积为，‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ ‎16．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ACB=90°，AC=6，BC=CC1=，P是BC1上一动点，则|CP|+|PA1|的最小值是　　．‎ ‎【考点】多面体和旋转体表面上的最短距离问题．‎ ‎【分析】沿BC1将△CBC1展开与△A1BC1在同一个平面内，不难看出CP+PA1的最小值是A1C的连线．‎ ‎【解答】解：由题意，△A1C1B是直角三角形，沿BC1展开，△CC1B是等腰直角三角形，‎ 作CE⊥A1C1，CE=C1E=1，‎ ‎∴|CP|+|PA1|=|A1C|==5．‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ 三、解答题：本大题共4小题，共54分）‎ ‎17．如图，在△ABC中，∠ABC=45°，∠BAC=90°，AD是BC上的高，沿AD把是BC上的△ABD折起，使∠BDC=90°．‎ ‎（Ⅰ）证明：平面ADB⊥平面BDC；‎ ‎（Ⅱ）设BD=1，求三棱锥D﹣ABC的表面积．‎ ‎【考点】平面与平面垂直的判定；棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．‎ ‎【分析】（Ⅰ）翻折后，直线AD与直线DC、DB都垂直，可得直线与平面BDC垂直，再结合AD是平面ADB内的直线，可得平面ADB与平面垂直；‎ ‎（Ⅱ）根据图形特征可得△ADB、△DBC、△ADC是全等的等腰直角三角形，△ABC是等边三角形，利用三角形面积公式可得三棱锥D﹣ABC的表面积．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）∵折起前AD是BC边上的高，‎ ‎∴当△ABD折起后，AD⊥DC，AD⊥DB，‎ 又DB∩DC=D，‎ ‎∴AD⊥平面BDC，‎ ‎∵AD⊂平面ABD．‎ ‎∴平面ADB⊥平面BDC ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知，DA⊥DB，DB⊥DC，DC⊥DA，‎ ‎∵DB=DA=DC=1，∴AB=BC=CA=，‎ 从而 所以三棱锥D﹣ABC的表面积为：‎ ‎　‎ ‎18．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC=3，BC=4，AB=5，AA1=4，点D为AB的中点．‎ ‎（Ⅰ）求证AC⊥BC1；‎ ‎（Ⅱ）求证AC1∥平面CDB1；‎ ‎（Ⅲ）求异面直线AC1与B1C所成角的余弦值．‎ ‎【考点】用空间向量求直线间的夹角、距离；空间中直线与直线之间的位置关系；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定．‎ ‎【分析】解法一：（1）：利用勾股定理的逆定理判断出AC⊥BC，同时因为三棱柱为直三棱柱，从而证出．‎ ‎（2）：因为D为AB的中点，连接C1B和CB1交点为E，连接DE，∵D是AB的中点，E是BC1的中点，根据三角形中位线定理得DE∥AC1，得到AC1∥平面CDB1；第三问：因为AC1∥DE，所以∠CED为AC1与B1C所成的角，求出此角即可．‎ 解法二：利用空间向量法．如图建立坐标系，‎ ‎（1）：证得向量点积为零即得垂直．‎ ‎（2）： =λ，与两个向量或者共线或者平行可得．第三问：‎ ‎【解答】证明：（Ⅰ）直三棱柱ABC﹣A1B1C1，底面三边长AC=3，BC=4，AB=5，‎ ‎∴AC⊥BC，且BC1在平面ABC内的射影为BC，∴AC⊥BC1；‎ ‎（Ⅱ）设CB1与C1B的交点为E，连接DE，‎ ‎∵D是AB的中点，E是BC1的中点，‎ ‎∴DE∥AC1，‎ ‎∵DE⊂平面CDB1，AC1⊂平面CDB1，‎ ‎∴AC1∥平面CDB1；‎ ‎（Ⅲ）∵DE∥AC1，∴∠CED为AC1与B1C所成的角，‎ 在△CED中，ED=AC1=，CD=AB=，CE=CB1=2，‎ ‎∴cos∠CED==，‎ ‎∴异面直线AC1与B1C所成角的余弦值．‎ 解法二：‎ ‎∵直三棱锥ABC﹣A1B1C1底面三边长AC=3，BC=4，AB=5，AC，BC，CC1两两垂直．‎ 如图建立坐标系，则C（0，0，0），A（3，0，0），C1（0，0，4），B（0，4，0），B1（0，4，4），D（，2，0）（Ⅰ）∵=（﹣3，0，0），=（0，4，4），‎ ‎∴•=0，‎ ‎∴⊥．‎ ‎（Ⅱ）设CB1与C1B的交点为E，则E（0，2，2）‎ ‎∵=（﹣，0，2），=（﹣3，0，4），‎ ‎∴=，∴∥‎ ‎∵DE⊂平面CDB1，AC1⊄平面CDB1，∴AC1∥平面CDB1．‎ ‎（Ⅲ）∵=（﹣3，0，4），=（0，4，4），‎ ‎∴cos＜，＞==，‎ ‎∴异面直线AC1与B1C所成角的余弦值为．‎ ‎　‎ ‎19．如图所示的三棱柱ABE﹣DCF中，AB=AF，BE=EF=2．‎ ‎（Ⅰ）证明：AE⊥BF；‎ ‎（Ⅱ）若∠BEF=60°，AE=AB=2，求三棱柱ABE﹣DFC的体积．‎ ‎【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．‎ ‎【分析】（I）连接EC，与BF相交于点O，连接AO．由平行四边形的性质可得点O是BF的中点，利用等腰三角形的性质可得OA⊥BF，EO⊥BF，即可证明BF⊥平面AEO，即可得出AE⊥BF．‎ ‎（II）由∠BEF=60°，BE=EF=2，可得△BEF是等边三角形，可得AB2+AF2=BF2，∠BAF=90°．可得OA2+OE2=AE2，由（I）可得：BF⊥平面AEO，于是VA﹣BEF=．可得三棱柱ABE﹣DFC的体积=3VA﹣BEF．‎ ‎【解答】（I）证明：连接EC，与BF相交于点O，连接AO．‎ ‎∵四边形BEFC是平行四边形，‎ ‎∴点O是BF的中点，‎ ‎∵AB=AF，BE=EF=2．‎ ‎∴OA⊥BF，EO⊥BF，‎ 又OA∩OE=O，‎ ‎∴BF⊥平面AEO，AE⊂平面OAE．‎ ‎∴AE⊥BF．‎ ‎（II）解：∵∠BEF=60°，BE=EF=2，‎ ‎∴△BEF是等边三角形，‎ ‎∴BF=2，OE=．‎ ‎∵AE=AB=2，∴AB==AF，‎ ‎∴AB2+AF2=BF2，∴∠BAF=90°．‎ ‎∴OA=OB=OF=1．‎ ‎∴OA2+OE2=AE2，∴∠AOE=90°．‎ 由（I）可得：BF⊥平面AEO，‎ ‎∴VA﹣BEF==×2=．‎ ‎∴三棱柱ABE﹣DFC的体积=3VA﹣BEF=．‎ ‎　‎ ‎20．如图，正方形ABCD、ABEF的边长都是1，且∠CBE=90°，点M在AC上移动，点N在BF上移动，若CM=BN=a（0＜a＜）‎ ‎（1）能否说明对任意a，恒有MN∥平面CBE？‎ ‎（2）当a为何值时，MN的长最短？‎ ‎【考点】点、线、面间的距离计算；直线与平面平行的判定．‎ ‎【分析】（1）作MP∥AB交BC于点P，NQ∥AB交BE于点Q，连接PQ，证明MNQP是平行四边形．然后证明MN∥平面CBE且与a的大小关系无关．‎ ‎（2）由（1）MN=PQ，CM=BN=a，脱光光，，求出MN的表达式，然后求解最小值．‎ ‎【解答】解：（1）作MP∥AB交BC于点P，NQ∥AB交BE于点Q，连接PQ，‎ 依题意可得MP∥NQ，且MP=NQ，即MNQP是平行四边形．‎ PQ⊂平面CBE，MN⊄平面CBE，MN∥平面CBE且与a的大小关系无关．‎ ‎（2）由（1）MN=PQ，CM=BN=a，AC=BF=，，，CP=BQ=‎ MN=PQ==，（0＜a＜）‎ ‎∴当a=，即当M、N分别为AC、BF的中点时，MN的长最小，最小值为．‎ ‎　‎ ‎2017年1月10日