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- 2021-06-23 发布
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2018年高考数学讲练测【浙江版】【讲】第七章 不等式与证明
第06节 数学归纳法
【考纲解读】
考 点
考纲内容
五年统计
分析预测
数学归纳法
了解数学归纳原理，会用数学归纳法证明简单的数学命题.
2017浙江22
利用数学归纳法证明数列问题.
备考重点：
1.数学归纳法原理；
2.数学归纳法的简单应用.
【知识清单】
数学归纳法
1.证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：
(1)(归纳奠基)证明当n取第一个值n0(n0∈N*)
时命题成立．
(2)(归纳递推)假设n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立．
只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立．
2.数学归纳法的框图表示
对点练习
【2018届浙江省温州市高三9月一模】已知数列an中，a1=12，an+1=1+anan+12（n∈N*）．
（1）求证：12≤an<1；
（2）求证：1an-1是等差数列；
（3）设bn=n(1+a1)(1+a2)…(1+an)，记数列bn的前n项和为Sn，求证：Sn<9415 ．
【答案】(1)证明见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析.
试题解析：（1）证明：当n=1时，a1=12，满足12≤an<1，
假设当n=k（k≥1）时，12≤an<1，则当n=k+1时，ak+1=12-ak ∈[23,1)，
即n=k+1时，满足12≤an<1；
所以，当n∈N*时，都有12≤an<1．
（2）由an+1=1+anan+12，得an+1=12-an，
所以an+1-1=12-an-1=-1+an2-an，
即1an+1-1=1an-1-1，
即1an+1-1-1an-1=-1，
所以，数列1an-1是等差数列．
（3）由（2）知，1an-1=-2+(n-1)(-1)=-n-1，
∴an=nn+1，
因此bn+1bn=n+1(1+an+1)n=n2+3n+22n2+3n，
当n≥2时，12n2+18n-(7n2+21n+14)=(5n+7)(n-2)≥0，
即n≥2时，bn+1bn=n2+3n+22n2+3n≤67，
所以n≥2时，bn≤67bn-1≤(67)2bn-2≤…≤(67)n-2b2，
显然bn>0，只需证明n≥3，Sn<9415即可．
当n≥3时，Sn=b1+b2+b3++bn≤23+b2+67b2+(67)2b2+…+(67)n-2b2 =23+45(1-(67)n-1)1-67 =23+285(1-(67)n-1) <23+285=9415．
【考点深度剖析】
数学归纳法是一种重要的数学方法，其应用主要体现在证明等式、证明不等式、证明整除性问题、归纳猜想证明等．浙江对数学归纳法的考查主要是与数列相结合.
【重点难点突破】
考点1利用数学归纳法证明等式
【1-1】．用数学归纳法证明“1＋2＋22＋…＋2n＋2＝2n＋3－1”，验证n＝1时，左边计算所得的式子为( )
A. 1 B. 1＋2 C. 1＋2＋22 D. 1＋2＋22＋23
【答案】D
【解析】左边的指数从0开始，依次加1，直到n＋2，所以当n＝1时，应加到23，故选D.
【1-2】观察下列等式：
；
；
；
；
………
（1）照此规律，归纳猜想出第个等式；
（2）用数学归纳法证明（1）中的猜想.
【答案】（1） （）；（2）见解析.
试题解析：
（1）第个等式为 （）；
（2）用数学归纳法证明：
①当时，等式显然成立；
②假设当（）时，等式成立，
即
则当时，
所以当时，等式成立.
由①②知， （）
【领悟技法】
数学归纳法证明等式的思路和注意点
(1)思路：用数学归纳法证明等式问题，要“先看项”，弄清等式两边的构成规律，等式两边各有多少项，初始值n0是多少．
(2)注意点：由n＝k时等式成立，推出n＝k＋1时等式成立，一要找出等式两边的变化(差异)，明确变形目标；二要充分利用归纳假设，进行合理变形，正确写出证明过程，不利用归纳假设的证明，就不是数学归纳法．
【触类旁通】
【变式一】观察下列等式：
； ； ； ；
，
…………
(1)猜想第个等式；
(2)用数学归纳法证明你的猜想.
【答案】(1) .(2)答案见解析.
试题解析：
(1) .
(2)证明：(i)当时，等式显然成立.
(ii)假设时等式成立，即，
即.
那么当时，左边
，
右边.
所以当时，等式也成立.
综上所述，等式对任意都成立.
【变式二】已知数列中， ，
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）猜想的表达式，并用数学归纳法证明．
【答案】(I）；（II）见解析.
【解析】试题分析：（1）由已知直接求出的值；（2）猜想，注意数学归纳法的步骤。
试题解析：(1）；
（2）猜想：
证明：①当n=1时， ，猜想成立.
②假设n=k时成立，即，
则当n=k+1时，由得
所以n=k+1时，等式成立.
所以由①②知猜想成立.
考点2 利用数学归纳法证明不等式
【2-1】【．用数学归纳法证明（， ）成立时，第二步归纳假设的正确写法为（ ）
A. 假设时，命题成立 B. 假设（）时，命题成立
C. 假设（）时，命题成立 D. 假设（）时，命题成立
【答案】C
【2-2】【2017浙江卷22】已知数列满足：
证明：当时
（I）;
（II）；
(III)
【答案】（I）见解析；（II）见解析；（Ⅲ）见解析.
【解析】试题分析：（Ⅰ）用数学归纳法可证明；（Ⅱ）由（Ⅰ）可得， 构造函数，利用函数的单调性可证； （Ⅲ）由及，递推可得
那么n=k+1时，若，则，矛盾，故．
因此．
所以，
因此．
（Ⅱ）由得，
．
记函数，
，
函数f(x)在[0，+∞）上单调递增，所以=0，因此
，
故．
（Ⅲ）因为，
所以，
由，得，
所以，
故．
综上， ．
【领悟技法】
数学归纳法证明不等式的适用范围及关键
(1)适用范围：当遇到与正整数n有关的不等式证明时，若用其他办法不容易证，则可考虑应用数学归纳法．
(2)关键：由n＝k时命题成立证n＝k＋1时命题也成立，在归纳假设使用后可运用比较法、综合法、分析法、放缩法等来加以证明，充分应用均值不等式、不等式的性质等放缩技巧，使问题得以简化
【触类旁通】
【变式一】设正项数列{an}的前n项和Sn，且满足Sn=12an2+n2(n∈N*).
（Ⅰ）计算a1,a2,a3的值，猜想{an}的通项公式，并证明你的结论；
（Ⅱ）设Tn是数列{1an2}的前n项和，证明：Tn<4n2n+1.
【答案】(1) an=n（2）见解析
试题解析：（Ⅰ）解：当n=1时，a1=S1=12a12+12，得a1=1；a1+a2=S2=12a22+1，得a2=2；
a1+a2+a3=S3=12a32+32，得a3=3.
猜想an=n
证明：（ⅰ）当n=1时，显然成立.
（ⅱ）假设当n=k时，ak=k
则当n=k+1时，
ak+1=Sk+1-Sk=12ak+12+k+12-(12ak2+k2)=12ak+12+k+12-(12k2+k2)
结合an>0，解得ak+1=k+1
于是对于一切的自然数n∈N*，都有an=n
（Ⅱ）证法一：因为1n2<1n2-14=2(12n-1-12n+1)，
Tn=112+122+⋯+1n2<2(1-13+13-15+⋯+12n-1-12n+1)=2(1-12n+1)=4n2n+1
证法二：数学归纳法
证明：（ⅰ）当n=1时，T1=112=1，4×12×1+1=43，1<43
（ⅱ）假设当n=k时，Tk<4k2k+1
则当n=k+1时，Tk+1=Tk+1(k+1)2<4k2k+1+1(k+1)2
要证：Tk+1<4(k+1)2(k+1)+1只需证：4k2k+1+1(k+1)2<4(k+1)2(k+1)+1
由于4(k+1)2(k+1)+1-4k2k+1=4(2k+3)(2k+1)=4(2k+2)2-1>1(k+1)2
所以4k2k+1+1(k+1)2<4(k+1)2(k+1)+1
于是对于一切的自然数n∈N*，都有Tn<4n2n+1.
【变式二】求证：＋＋…＋＞(n≥2，n∈N*).
【答案】见解析
＋＋…＋＋＋＋
＝＋＋…＋＋(＋＋－)
＞＋(＋＋－)
＞＋(3×－)＝.
∴当n＝k＋1时不等式亦成立．
∴原不等式对一切n≥2，n∈N*均成立.
考点3 归纳、猜想、证明
【3-1】给出下列不等式：
1>12，
1+12+13>1，
1+12+13+14+15+16+17>32，
1+12+13+⋯⋯+115>2，
1+12+13+⋯⋯+131>52，……
（1）根据给出不等式的规律，归纳猜想出不等式的一般结论；
（2）用数学归纳法证明你的猜想.
【答案】（1）1+12+13+14+⋯⋯+12n-1>n2n∈N+；（2）详见解析.
试题解析：
（1）观察不等式左边最后一个数分母的特点：
1=21-1,3=22-1,7=23-1,15=24-1，
……猜想不等式左边最后一个数分母2n-1，对应各式右端为n2，
所以，不等式的一般结论为：1+12+13+14+⋯⋯+12n-1>n2n∈N+.
（2）证明：①当n=1,2时显然成立；
②假设n=k时结论成立，即：1+12+13+14+⋯⋯+12k-1>k2成立
1+12+13+14+⋯⋯+12k-1+12k+⋯⋯+12k+1-2+12k+1-1
当n=k+1时，>k2+12k+12k+1+⋯⋯+12k+1-2+12k+1-1
>k2+2k⋅12k+1-1=k2+12-12k>k2+12=k+12
即当n=k+1时结论也成立.由①②可知对任意n∈N+，结论都成立.
【3-2】【2017届浙江省嘉兴一中、杭州高级中学、宁波效实中学等五校联考】已知数列中，满足记为前n项和．
（I）证明： ；
（Ⅱ）证明：
（Ⅲ）证明： .
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析．
，化简可得。再由数列的前n项和及等比数列前n项和公式可得结论。
试题解析：证明：（I）因
故只需要证明即可 ……………………………………………………3分
下用数学归纳法证明：
当时， 成立
假设时， 成立，
那么当时， ，
所以综上所述，对任意， …………………………………………6分
（Ⅱ）用数学归纳法证明
当时， 成立
假设时，
那么当时，
所以综上所述，对任意， …………………………10分
（Ⅲ）得 …12分
故 ……15分
【领悟技法】
(1)“归纳——猜想——证明”的一般步骤
①计算(根据条件，计算若干项)．
②归纳猜想(通过观察、分析、综合、联想，猜想出一般结论)．
③证明(用数学归纳法证明)．
(2)与“归纳——猜想——证明”相关的常用题型的处理策略
①与函数有关的证明：由已知条件验证前几个特殊值正确得出猜想，充分利用已知条件并用数学归纳法证明．
②与数列有关的证明：利用已知条件，当直接证明遇阻时，可考虑应用数学归纳法．
【触类旁通】
【变式一】设等差数列{an}的公差d>0，且a1>0，记Tn=1a1a2+1a2a3+⋯+1anan+1.
（1）用a1,d分别表示T1,T2,T3，并猜想Tn；
（2）用数学归纳法证明你的猜想.
【答案】（1）Tn=na1(a1+nd).；（2）见解析.
试题解析：（1）T1＝＝；
T2＝＋＝×＝×＝；
T3＝＋＋＝×＝×＝
由此可猜想Tn＝.
（2）证明：①当n＝1时，T1＝，结论成立．
②假设当n＝k时(k∈N*)时结论成立，
即Tk＝.
则当n＝k＋1时，Tk＋1＝Tk＋＝＋＝＝.
即n＝k＋1时，结论成立．
由①②可知，Tn＝对于一切n∈N*恒成立．
【变式二】【2017届浙江省“超级全能生”3月联考来】已知每一项都是正数的数列满足， ．
（1）用数学归纳法证明： ；
（2）证明： ；
（3）记为数列的前项和，证明： ．
【答案】（1）见解析;（2）见解析;（3）见解析.
，（2）奇数项隔项递减，且最大值为，所以研究偶数项单调性：隔项递增，且最小值为，（同（1）的方法给予证明），最后需证明，根据归纳可借助第三量，作差给予证明；（3）先探求数列递推关系： ，再利用等比数列求和公式得.
试题解析：（1）由题知， ，
①当时， ， ，
， 成立；
②假设时，结论成立，即，
因为
所以
即时也成立，
由①②可知对于，都有成立.
（2）由（1）知， ，
所以，
同理由数学归纳法可证，
.
猜测： ，下证这个结论.
因为，
所以与异号.注意到，知， ，
即.
所以有，
从而可知.
（3）
所以
所以
【易错试题常警惕】
易错典例：【2017届山西省孝义市5月模拟】数列满足，且.
（1）写出的前3项，并猜想其通项公式；
（2）用数学归纳法证明你的猜想.
易错分析：对于归纳猜想证明类问题，有三个易错点.一是归纳结论不正确；二是应用数学归纳法，确认n的初始值n0不准确；三是在第二步证明中，忽视应用归纳假设.
题成立.
（2）①当时， 成立；
②假设时，猜想成立，即有，
由，，及，
得，即当时猜想成立，
由①②可知， 对一切正整数均成立.
温馨提示：1.数学归纳法证题时初始值n0不一定是1.
2.推证n＝k＋1时一定要用上n＝k时的假设，否则不是数学归纳法.
3.解“归纳——猜想——证明”题的关键是准确计算出前若干具体项，这是归纳、猜想的基础，否则将会做大量无用功.
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