2018-2019学年广东省蕉岭县蕉岭中学高二上学期第一次质量检测数学（理）试题 Word版 9页

蕉岭中学2018-2019学年第一学期 高二级第一次质检理科数学试题2018.10‎ 命题人：古建宏 审题人：林皇干 ‎ 第一部分 选择题（共60分）‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. ‎ ‎1．已知集合， 则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎2．在△ABC中，已知内角成等差数列，则角B为： （ ）‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎3．某学校高一年级共有480名学生，为了调查高一学生的数学成绩，计划用系统抽样的方法抽取30名学生作为调查对象：将480名学生随机从1～480编号，按编号顺序平均分成30组(1～16号，17～32号，…，465～480号)，若从第1组中用抽签法确定的号码为5，则第8组中被抽中学生的号码是 (　　　)‎ A. 25 B. 133　　C. 117 D. 88‎ ‎4．在三角形ABC中，如果，那么A等于（　　）‎ A．　　 B．　　 C． D．‎ ‎5．《张丘建算经》是我国北魏时期数学家张丘建所著，现传本有92问，比较突出的成就有最大公约数与最小公倍数的计算，各种等差数列问题的解决、某些不定方程问题求解等。“《张丘建算经》卷上第22题为：“今有女善织，日益功疾（注：从第二天起，每天比前一天多织相同量的布），第一天织5尺布，现有一月（按30天计），共织390尺布”，则从第二起每天比前一天多织（ 　 ）尺布。‎ A． B． C． D．‎ ‎6. 已知向量，若，那么=：（　）‎ A. —2 B. —1 C. 1 D.2 ‎ ‎7．已知直线过点且与点，等距离，则直线的方程为（ ）‎ A． B．‎ C．或 D．或 ‎8．涂老师将5个不同颜色的球分给甲、乙、丙、丁、戊五位同学，每人分得1个，则事件“甲分得红色球”与“乙分得红色球”是 (　 　)‎ A. 对立事件 B. 不可能事件 C. 互斥但不对立事件 D. 不是互斥事件 ‎9．有如下四个游戏盘，撒一粒黄豆，若落在阴影部分，则可以中奖，小明希望中奖，则他应该选择的游戏是（ ）‎ ‎10．如图所示的程序框图，若输出的，则判断框内实数的取值范围为（ ）‎ A. 　　B. 　　C. 　　D. ‎ ‎11.已知直三棱柱中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎12．设x、y、z为正数，且，则（ ）‎ A．2x<3y<5z B．5z<2x<3y C．3y<5z<2x D．3y<2x<5z 第二部分 非选择题（共90分）‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答卷相应题号的位置上.‎ ‎13.若cos α＝，且α是第四象限角，则cos＝________.‎ ‎14. 已知为等差数列，若，，则________：‎ ‎15.一个正三棱柱的侧棱长和底面边长相等，体积为2，它的三视图中的俯视图如右图所示，左视图是一个矩形，则这个矩形的面积是________．‎ ‎16.已知是锐角三角形的外接圆的圆心，且若，则 .‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算过程，把答案填在答卷相应题号的位置上．‎ ‎17．（本题满分10分）‎ 已知等差数列的前项和为, .‎ ‎ （1）求数列的通项公式;‎ ‎ （2）当为何值时, 取得最大值.‎ ‎18. （本题满分12分）‎ 已知是三内角的对边，且 ‎（1）求角B的大小 ‎（2）若，且的面积为，求 ‎（i）周长；（ii）AC边的中线BD的长度。‎ ‎19．（本题满分12分）‎ 已知圆M的方程为x2＋ (y－2)2＝1，直线l的方程为x－2y＝0，点P在直线l上，过P点作圆M的切线PA，PB，切点为A，B.‎ ‎(1)若∠APB＝60°，试求点P的坐标；‎ ‎ (2)若点P的坐标为(2,1)，过P作直线与圆M交于C，D两点，当CD＝时，求直线CD的方程．‎ ‎20．（本题满分12分）‎ 在“魅力红谷滩”才艺展示评比中，参赛选手成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的损坏，可见部分如图所示．‎ ‎（1）根据图中信息，将图乙中的频率分布直方图补充完整；‎ ‎（2）根据频率分布直方图估计选手成绩的平均值（同一组数据用该区间的中点值作代表）；‎ ‎（3）从成绩在[80，100]的选手中任选2人进行PK，求至少有1 人成绩在[90，100]的概率．‎ ‎21．（本题满分12分）‎ 在如右图所示的几何体中，四边形ABCD是等腰梯形，AB∥CD，∠DAB＝60°，FC⊥平面ABCD，AE⊥BD，CB＝CD＝CF.‎ ‎１! !‎ ‎(1)求证：BD⊥平面AED；‎ ‎(2)求二面角FBDC的余弦值．‎ ‎22．（本题满分12分）‎ 已知函数，，其中且，.‎ ‎（I）若，且时，的最小值是－2,求实数的值；‎ ‎（II）若，且时，有恒成立，求实数的取值范围.‎ 蕉岭中学高二年级第一次质检理科数学试题参考答案 一选择题 BBCCD BDCAC CD 二填空题 ‎13、 14. 12. 15.2 16.‎ 三、解答题（共6个小题，共70分）‎ ‎1７.解: （1） ， ……３分 　‎ 解得. …………４分 ‎ ‎．……５分 ‎ ‎（2） ……………７分 []‎ ‎．……９分 Ｎ,‎ ‎ 当或时, 取得最大值6. …1０分 ‎ ‎(2)解法二：由 ………8分 ‎ 解得: …………9分 Ｎ当或时, 取得最大值6. …………10分 ‎18.解：（1）由正弦定理： …………1分 ‎ ∵‎ ‎∴ …………3分又∵， ‎ ‎∴又∵，所以 …………5分 ‎（2）由余弦定理： (1) …………7分 ‎ 由三角形面积公式： …………8分 ‎ 即(2)由（1）（2）‎ 所以三角形周长为： …9分 ‎ 在中分别使用余弦定理：‎ ‎（3）‎ ‎（4）‎ 又因为，‎ ‎（3）+（4）得 所以 …………12分 ‎19．解：(1)设P(2m，m)，由题可知MP＝2，所以(2m)2＋(m－2)2＝4，解得m＝0或m＝，故所求点P的坐标为P(0,0)或P.…………6分 ‎(2)由题意易知k存在，设直线CD的方程为y－1＝k(x－2)，由题知圆心M到直线CD的距离为，所以＝，解得k＝－1或k＝－，故所求直线CD的方程为：x＋y－3＝0或x＋7y－9＝0. …………12分 ‎20．（1）由题图甲的茎叶图知，成绩在的人数为1，设参赛选手总人数为n，‎ 则∴ ………2分 由题图乙的频率分布直方图知，成绩在[90，100]的人数为 可得频率分布表如下所示．‎ 成绩分组 频数 ‎1‎ ‎3‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎4‎ ‎2‎ 频率 ‎0.04‎ ‎0.12‎ ‎0.28‎ ‎0.32‎ ‎0.16‎ ‎0.08‎ 所以，补全后的频率分布直方图如图所示．‎ ‎ ………5分 ‎（2）平均值=．…8分 ‎（3）成绩在[80，100]的选手共有6人，记成绩在的4位选手为，成绩在的2位选手为，‎ 则任选2人的所有可能情况为 共15种可能，其中至少有1人成绩在[90，100]有9种可能，故所求概率为． 12分 ‎21．解：(1)证明：因为四边形ABCD是等腰梯形，AB∥CD，∠DAB＝60°，所以∠ADC＝∠BCD＝120°.又CB＝CD，所以∠CDB＝30°，因此∠ADB＝90°，即AD⊥BD.‎ 又AE⊥BD，且AE∩AD＝A，AE，AD⊂平面AED，所以BD⊥平面AED. ………6分 ‎(2)如图，取BD的中点G，连接CG，FG，由于CB＝CD，因此CG⊥BD，‎ 又FC⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，所以FC⊥BD.由于FC∩CG＝C，‎ FC，CG⊂平面FCG，所以BD⊥平面FCG，故BD⊥FG，‎ 所以∠FGC为二面角FBDC的平面角．‎ 在等腰三角形BCD中，由于∠BCD＝120°，因此CG＝CB.‎ 又CB＝CF，所以GF＝＝CG，‎ 故cos ∠FGC＝，因此二面角FBDC的余弦值为.…………12分 ‎22．【解析】（I）∵，∴‎ ‎， ．．．．．．．．．．．．．．2分 易证在上单调递减，在上单调递增，且，‎ ‎∴，，．．．．．．．．．．．．．．4分 ‎∴当时，，由，解得（舍去）‎ 当时，，由，解得. ．．．．．．．．．．6分 综上知实数的值是. ．．．．．．．．．．．．．．7分 ‎（II）∵恒成立，即恒成立，‎ ‎∴. 又∵，，∴，‎ ‎∴恒成立，∴.．．．．．．．．．．．．．．10分 令，∴. ‎ 故实数的取值范围为.．．．．．．．．．．．．．．12分