2019-2020学年河北省石家庄二中高一4月月考数学试题（解析版） 13页

石家庄二中2019-2020学年第二学期高一年级4月月考自主测试高一数学（‎4月6日）‎ 一、单选题（每小题5分，共计12个小题）‎ ‎1．已知中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c,且,则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2．在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若，则（ ）‎ A．30° B．60° C．120° D．150°‎ ‎3．在等差数列中，已知，则该数列前9项和（ ）‎ A．18 B．‎27 ‎C．36 D．45‎ ‎4．已知数列的奇数项依次成等差数列，偶数项依次成等比数列，且，，，，则（ ）‎ A． B．‎19 ‎C．20 D．23‎ ‎5．已知向量，，且，则的最小值是（ ）‎ A．7 B．‎8 ‎C．9 D．10‎ ‎6. 在空间中，下列命题正确的是（ ）‎ A．如果一个角的两边和另一角的两边分别平行,那么这两个角相等 B．两条异面直线所成的角的范围是 C．如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行 D．如果一条直线和平面内的一条直线平行,那么这条直线和这个平面平行 ‎7.如图，在正四面体中，是的中点，则与所成角的余弦值是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎8. 如图，在正方体中， 分别为的中点，点是底面内一点，且平面，则的最大值是（ ）‎ A． B．‎2 ‎C． D．‎ ‎9．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为（ ）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎10．如图，在正三棱柱中，,，，分别是棱，的中点，为棱上的动点，则的周长的最小值为( )‎ A． B． C． D．‎ ‎11．已知正方体的棱的中点为， 与交于点，平面过点且与直线垂直，若，则平面截该正方体所得截面图形的面积为( )‎ A． B． C． D．‎ ‎12．在棱长为的正方体中,点分别是线段（不包括端点）上的动点,且线段平行于平面,则四面体的体积的最大值是（ ）‎ A． B． C． D．‎ 二、填空题（每小题5分，共计4个小题）‎ ‎13．已知，，且，则的最大值为_________‎ ‎14．已知数列满足，则__________.‎ ‎15．如图，在正方体中，分别为棱的中点，则与平面所成角的余弦值为______.‎ ‎16．如图，M､N分别是边长为1的正方形ABCD的边BC､CD的中点，将正方形沿对角线AC折起，使点D不在平面ABC内，则在翻折过程中，有以下结论:‎ ‎①异面直线AC与BD所成的角为定值.‎ ‎②存在某个位置，使得直线AD与直线BC垂直.‎ ‎③存在某个位置，使得直线MN与平面ABC所成的角为45°.‎ ‎④三棱锥M-ACN体积的最大值为.‎ 以上所有正确结论的序号是__________.‎ 三、解答题 ‎17．（本题10分）的内角的对边分别为，已知．‎ ‎（1）求角；‎ ‎（2）若，的周长为，求的面积．‎ ‎18．（本题10分）已知{an}是等差数列，{bn}是各项均为正数的等比数列，且b1＝a1＝1，b3＝a4，b1＋b2＋b3＝a3＋a4.‎ ‎(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；‎ ‎(2)设cn＝anbn，求数列{cn}的前n项和Tn.‎ ‎19．（本题10分）如图，在直三棱柱ABC-A1B‎1C1中，D，E，F分别是B‎1C1，AB，AA1的中点.‎ ‎(1) 求证：EF∥平面A1BD；‎ ‎(2) 若A1B1＝A‎1C1，求证：平面A1BD⊥平面BB‎1C1C. ‎ ‎20．（本题10分）如图，四边形为正方形， 平面， ，点， 分别为， 的中点．‎ ‎（Ⅰ）证明： ;‎ ‎（Ⅱ）求点到平面的距离．‎ 高一数学4月月考自主测试（‎4月6日）‎ 参考答案 ‎1．A 由正弦定理，可得.‎ ‎2．C 由已知及余弦定理，得，所以．‎ ‎3．D 在等差数列中，，所以.‎ ‎4．D 设奇数项的公差为，偶数项的公比为，‎ 由，，得，，‎ 解得，，所以，故选D．‎ ‎5．C 因为，且向量，，所以，‎ 所以，当且仅当时，取等号.‎ ‎6. C 如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行,这两个角相等或互补,故A不正确； 两条异面直线所成的角不能是零度,故B不正确；根据两个平面平行的性质定理知C正确； 如果一条直线和一个平面内的一条直线平行,那么这条直线与这个平面平行或在这个平面内,故D不正确,综上可知只有C的说法是正确的,故选C.‎ ‎7. B 解:如图: ,‎ 取的中点,连接,,可得就是与所成的角,‎ 设,则,,‎ ‎,‎ ‎8. C 如图，取分别为与的中点，连接，设与的交点为，则平面平面，因为平面，点在线段上运动，，‎ 如果正方体的棱长为，要使取得最大值，最小，只需即可 此时点与点重合，，故选C.‎ ‎9．C 由三视图可知，该几何体是一个三棱锥，且同一个顶点处的三条棱两两垂直并且相等，如图所示 ‎ ‎ 该几何体是棱长为1的正方体中的三棱锥.‎ 所以该三棱锥的外接球即为此正方体的外接球，球的直径为正方体体对角线的长.‎ 即.所以外接球的表面积为.‎ ‎10．D 三棱柱为正三棱柱 为等边三角形且平面 平面 ‎ 把底面与侧面在同一平面展开，如下图所示：‎ 当三点共线时，取得最小值又，，‎ 周长的最小值为：‎ ‎11．A 如图所示，正方体中，为棱的中点，‎ ‎，则，，，‎ ‎，；又平面，‎ ‎，且，平面，且，‎ 即截该正方体所得截面图形的面积为.故选:.‎ ‎12．A 由题意在棱长为的正方体中，点分别是线段上的动点，‎ ‎ 且线段平行于平面， 设，即到平面的距离为， 所以四棱锥的体积为， 当时，体积取得最大值，故选A．‎ ‎ ‎ ‎13．‎ ‎∵，，∴，即，当且仅当，即时等号成立．‎ ‎14．‎ 因为所以又 所以数列为以 为首项，1为公差的等差数列。‎ 所以所以 ‎15．‎ 解：连结，则平面即为平面，过作于，则平面，即为与平面所成的角，设正方体棱长为2，则，. ‎ ‎16．．①③④‎ 设中点，连接，，正方形，，，‎ 所以，，平面，，‎ 所以平面，而平面，所以，‎ 即异面直线与所成的角为定值.故①正确. ‎ 若，而，平面，‎ 所以平面，而平面，所以，‎ 而中，，所以不可能为直角，故假设错误，‎ 所以②错误.因为､分别是､的中点，所以，‎ 所以与平面所成的角等于与平面所成的角，‎ 在平面的射影在上，所以是与平面所成的角，‎ 而，所以一定存在某个位置满足，‎ 即存在某个位置，使得直线MN与平面所成的角为45°.故③正确；‎ ‎，底面，所以当平面平面时，到平面的距离最大，此时三棱锥的体积最大，，‎ 所以此时，‎ 故④正确.‎ ‎17．‎ ‎（1）由正弦定理可得：‎ 即：‎ ‎ ，由得：..................5分 ‎（2），的周长为 ‎ 由余弦定理可得：‎ 的面积：........................10分 ‎18．‎ ‎ (1)设数列{an}的公差为d，{bn}的公比为q，q＞0‎ 依题意得解得d＝1，q＝2.‎ 所以an＝1＋(n－1)×1＝n，bn＝1×2n－1＝2n－1.....................................4分 ‎(2)由(1)知cn＝anbn＝n·2n－1，则 Tn＝1·20＋2·21＋3·22＋…＋n·2n－1，①‎ ‎2Tn＝2·20＋2·22＋…＋(n－1)·2n－1＋n·2n，②‎ ‎①－②得：－Tn＝1＋21＋22＋…＋2n－1－n·2n ‎＝－n·2n＝(1－n)·2n－1，‎ 所以Tn＝(n－1)·2n＋1.......................................................................10分 ‎19．‎ 因为E，F分别是AB，AA1的中点，‎ 所以EF∥A1B ‎ 因为EF⊄平面A1BD，A1B⊂平面A1BD，‎ 所以EF∥平面A1BD.............................. ......................... ......................... ............................4分 ‎(2)在直三棱柱ABCA1B‎1C1中，BB1⊥平面A1B‎1C1，‎ 因为A1D⊂平面A1B‎1C1，所以BB1⊥A1D. ‎ 因为A1B1＝A‎1C1，且D是B‎1C1的中点，‎ 所以A1D⊥B1C1. ......................... ................... ............... ............... ............... ....................6分 因为BB1B1C1＝B1，B1C1⊂平面BB1C1C，BB1⊂平面BB1C1C，‎ 所以A1D⊥平面BB‎1C1C. ........................ ............................................ ................. ............8分 因为A1D⊂平面A1BD，‎ 所以平面A1BD⊥平面BB‎1C1C............................ ............... ............... ..............................10分 ‎20．（Ⅰ）‎ 证明：取的中点，连接， ，‎ 则，且，‎ ‎∵且，‎ ‎∴且，‎ ‎∴四边形为平行四边形，‎ ‎∴中，，G为的中点，‎ ‎∴， ‎ ‎∴ ...........................................................5分 ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知平面，‎ 所以点到平面的距离与到平面的距离是相等的，‎ 故转化为求点到平面的距离，设为．‎ 利用等体积法： ，‎ 即， ‎ ‎，‎ ‎∵， ‎ ‎∴，∴．......................................10分