专题24 直线方程易错点概全-名师揭秘2019高考数学（文）命题热点全覆盖 16页

专题25 直线方程易错点概全 一．【学习目标】‎ ‎1.理解直线的倾斜角、斜率、截距等概念，掌握直线的斜率计算公式.‎ ‎2.掌握直线方程的点斜式、两点式和一般式方程，了解直线方程的斜截式和截距式，能根据已知条件，选择恰当形式熟练地求出直线的方程.‎ ‎3.了解斜截式与一次函数的关系.‎ ‎4.掌握两直线平行、垂直、相交的条件，能灵活运用点到直线的距离公式及两直线平行、垂直的条件解决有关问题.‎ ‎5.掌握中心对称、轴对称等问题的几何特征和求解的基本方法.并能利用图形的对称性解决有关问题.‎ 二．【方法规律总结】‎ ‎1.直线的倾斜角、斜率及直线在坐标轴上的截距是刻画直线位置状态的基本量，应正确理解.‎ ‎(1)要善于结合图形进行倾斜角与斜率间的相互转化.‎ ‎①由倾斜角α探究斜率k须分α∈和α∈两类讨论.‎ ‎②由斜率k探究倾斜角须分k≥0和k<0两类讨论.‎ ‎(2)“截距”与“距离”是两个不同的概念.‎ ‎2.因为确立一条直线需两个独立的条件，所以直线方程也需要两个独立条件，其方法一般有两种：‎ ‎(1)直接法：直接选用直线方程的四种形式(点斜式、斜截式、两点式、截距式)，写出适当的直线方程.‎ ‎(2)待定系数法：先由直线满足的一个条件设出直线方程，方程中含有一待定系数，再由题给的另一条件求出待定系数，最后将求得的系数代入所设方程，即得所求直线方程，概括起来三句话：设方程，求系数，代入.‎ ‎3.由于直线方程有多种形式，各种形式适用的条件、范围不同，在具体求直线方程时，可能产生遗漏情况，尤其是选择点斜式、斜截式时一定要注意斜率不存在的情况.选择截距式时，注意截距为零的情况.‎ ‎4.判断两条直线平行或垂直时，不要忘记考虑两条直线中有一条或两条直线均无斜率的情形.在两条直线斜率都存在的条件下，才有l1∥l2⇔k1＝k2且b1≠b2与l1⊥l2⇔k1k2＝－1.‎ ‎5.在运用公式d＝求平行直线间的距离时，一定要注意两直线的x，y项系数对应相等.‎ ‎6.求对称点的步骤：‎ ‎(1)设点——设对称点为(x，y)；‎ ‎(2)列式——利用中点公式(中心对称情况)或垂直、平分的条件(轴对称情形)来列关于x，y的方程组；‎ ‎(3)求解——解所列方程组，求到的解就是所求对称点的坐标.‎ ‎7.求对称曲线的步骤：‎ ‎(1)设点——设所求曲线上的点为P(x，y)；‎ ‎(2)求点——求出P点的对称点为Q(x′，y′)，即用x，y来表示x′，y′；‎ ‎(3)代入——将Q点坐标代入已知曲线的方程，所得的x，y的关系式就是所求对称曲线的方程.‎ 注意记住几种特殊的对称性结论：①对称中心是特殊点(如原点)；②对称轴是特殊直线(如x轴，y轴，y＝x＋b，y＝－x＋b等直线)，求对称点和对称曲线可采用代入法直接求解.‎ 三．【典例分析及训练】‎ 例1．下列叙述中不正确的是(　　)‎ A．若直线的斜率存在，则必有倾斜角与之对应 B．每一条直线都有唯一对应的倾斜角 C．与坐标轴垂直的直线的倾斜角为0°或90°‎ D．若直线的倾斜角为α，则直线的斜率为tanα ‎【答案】D ‎【解析】由α＝90°时，斜率不存在．∴选D．‎ 练习1．直线的倾斜角的取值范围是 A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】设直线的倾斜角为．则， ，，‎ ‎，即，解得．故选：D．‎ 练习2．已知点，，直线与线段相交，则实数的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】解：∵直线l的方程0可化为 k（x﹣1） +1＝0，‎ ‎∴直线l过定点P（1，1），且与线段AB相交，如图所示；‎ 则直线PA的斜率是kPA4，‎ 直线PB的斜率是kPB，‎ 则直线l与线段AB相交时，它的斜率k的取值范围是 ‎．‎ 故选：A．‎ 例2．在直角坐标平面上，点的坐标满足方程，点的坐标满足方程则的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 点的坐标满足方程，‎ 在圆上，‎ 在坐标满足方程，‎ 在圆上，‎ 则作出两圆的图象如图，‎ 设两圆内公切线为与，‎ 由图可知，‎ 设两圆内公切线方程为，‎ 则，‎ 圆心在内公切线两侧，，‎ 可得，，‎ 化为，，‎ 即，‎ ‎，‎ 的取值范围，故选B.‎ ‎【点睛】本题主要考查直线的斜率、直线与圆的位置关系以及数形结合思想的应用，属于综合题. 数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法，尤其在解决选择题、填空题时发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度.运用这种方法的关键是运用这种方法的关键是正确作出曲线图象，充分利用数形结合的思想方法能够使问题化难为简，并迎刃而解.‎ 练习1．已知集合A={（x，y）|=2}，集合B={（x，y）|ax-y-2=0}，且A∩B=∅，则a=（　　）‎ A．2 B． C．和2 D．和2‎ ‎【答案】D ‎【解析】①集合，由于直线不经过点，所以．‎ 集合，且，‎ ‎，可得，解得．‎ ‎②直线化为：，与直线平行时， 满足，‎ ‎．‎ 综上可得：或．‎ 故选：．‎ 练习2．已知实数、满足，若恒成立，那么的取值范围是 A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】作出不等式组对应的平面区域如图，‎ 则由图象知x≥0，‎ 由不等式恒成立，‎ 得k（x+1）≤1+y，即k，‎ 设z，‎ 则z的几何意义是区域内的点到定点A（﹣1，﹣1）的斜率，‎ 由图象知AN的斜率最小，此时z的最小值为z，即k，‎ 即实数k的取值范围是（﹣∞，]，‎ 故答案为：D ‎（三）直线方程的几种形式 例3．若点（5，b）在两条平行直线6x-8y+1=0与3x-4y+5=0之间，则整数b的值为 A．4 B． C．5 D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】设过点（5，b）且与两直线平行的直线的方程为3x﹣4y+c＝0，‎ 把点（5，b）代入直线的方程解得c＝4b﹣15，‎ ‎∴过点（5，b）且与两直线平行的直线的方程为3x﹣4y+4b﹣15＝0，‎ 由题意知，直线在y轴上的截距满足：，‎ ‎∴b＜5，又b是整数，∴b＝4．故选：A．‎ 练习1．圆：和圆：=0交于A，B两点，则AB的垂直平分线的方程是( )‎ A．x+y+3=0 B．2x-y-5=0 C．3x-y-9=0 D．4x-3y+7=0‎ ‎【答案】C 练习2．下列说法的正确的是 A．经过定点的直线的方程都可以表示为 B．经过定点的直线的方程都可以表示为 C．不经过原点的直线的方程都可以表示为 D．经过任意两个不同的点的直线的方程都可以表示为 ‎ ‎【答案】D ‎【解析】经过定点的直线的方程都可以表示为但斜率不存在时，无法表示，故A错，同理B错。斜率不存在和平行于x轴的直线也无法表示，故C错。所以D正确。故选D。‎ 练习3．经过点且在两坐标轴上截距相等的直线是（ ）‎ A． B． C．或 D．或 ‎【答案】C ‎【解析】当直线过原点时，斜率为1，由点斜式求得直线的方程是 y-1=x-1，即y=x；‎ 当直线不过原点时，设直线的方程是：，把点M（1，1）代入方程得 a=2，直线的方程是 x+y=2．‎ 综上，所求直线的方程为y=x或x+y=2‎ 故选C.‎ ‎（四）直线过定点问题 例4．方程所确定的直线必经过点( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】此方程表示过一个定点的直线束，将此方程转化为关于k的方程，即，令，则，可联立解得，则直线必经过点．‎ 练习1．已知点在动直线上的投影为点，若点，那么的最小值为 A．2 B． C．1 D．‎ ‎【答案】D 练习2．已知点，，，，直线将四边形分割为面积相等的两部分，则的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】如图，当时，因为三角形与三角形全等，‎ 所以直线将四边形分割为面积相等的两部分，‎ 所以的值始终为，排除；‎ 当时，与轴交于点，‎ 直线将四边形分割为面积相等的两部分，‎ 计算得，，‎ 进一步，当时，直线将四边形分割为面积相等的两部分，直线与轴的交点必须在点上方，排除；所以一定正确. ‎ ‎ ‎ 故选D.‎ ‎（五）直线的对称问题 例5．若圆x2＋y2＝4和圆x2＋y2＋4x－4y＋4＝0关于直线l对称，则直线l的方程为(　　)‎ A．x＋y＝0 B．x＋y－2＝0‎ C．x－y－2＝0 D．x－y＋2＝0‎ ‎【答案】D ‎【解析】l为两圆圆心连线的垂直平分线，(0,0)与(－2,2)的中点为(－1,1)，kl＝1，‎ ‎∴y－1＝x＋1，即x－y＋2＝0．‎ 练习1．已知直线和单位圆相交于不同两点，其中点在第一象限，且点关于轴的对称点为，则（ ）‎ A．0 B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】如图所示，‎ 设直线与轴交于点，‎ 设，，‎ 因为直线的斜率为1，则.‎ 又，即，‎ 由三角形内角和得到，，‎ 则，‎ 所以.‎ 故选A.‎ 练习2．若直线与直线关于点（2，1）对称，则直线恒过定点( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】由题意，设直线上的任意一点，则点A关于点的对称点为，‎ 又由点在直线上，即，‎ 整理得，令，即时，，‎ 可得直线过定点，故选B.‎ 练习3．在等腰直角三角形ABC中，，点P是边AB边上异于AB的一点，光线从点P出发，经BC，CA反射后又回到点如图，若光线 QR经过的重心，则AP等于　　‎ A．2 B．1 C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】建立如图所示的坐标系：‎ 可得B（4，0），C（0，4），故直线BC的方程为x+y＝4，‎ ‎△ABC的重心为（，），设P（a，0），其中0＜a＜4，‎ 则点P关于直线BC的对称点P1（x，y），满足，‎ 解得，即P1（4，4﹣a），易得P关于y轴的对称点P2（﹣a，0），‎ 由光的反射原理可知P1，Q，R，P2四点共线，‎ 直线QR的斜率为k，故直线QR的方程为y（x+a），‎ 由于直线QR过△ABC的重心（，），代入化简可得3a2﹣4a＝0，‎ 解得a，或a＝0（舍去），故P（，0），故AP 故选：D．‎ ‎（六）最值问题 例1．已知实数满足,那么的最小值为(   )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】依题意可知表示直线上的点到原点的距离，故原点到直线的距离为最小值，即最小值为，故选A.‎ 练习1．直线是圆在处的切线，点是圆上的动点，则点到直线的距离的最小值等于（ ）‎ A．1 B． C． D．2‎ ‎【答案】C ‎【解析】圆在处的切线的斜率为-=，所以切线方程为y-1=(x+),‎ 方程为：，圆的圆心到直线的距离为，所以点到直线的距离最小值等于，‎ 故选C.‎ 练习2．已知点P(m，n)是直线2x＋y＋5＝0上的任意一点，则的最小值为( )‎ A．5 B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】∵点P(m，n)是直线2x＋y＋5＝0上的任意一点，‎ ‎∴的最小值是点(1，－2)到直线2x＋y＋5＝0的距离，‎ ‎∴的最小值d＝＝.‎ 故选C．‎ 练习3．设直线l：，圆C：，若在直线l上存在一点M，使得过M的圆C的切线MP，Q为切点满足，则a的取值范围是　　‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】C 练习4．若P为曲线y＝lnx上一动点，Q为直线y＝x＋1上一动点，则|PQ|min＝(　　)‎ A．0 B．‎ C． D．2‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 如图所示，直线l与y＝lnx相切且与y＝x＋1平行时，切点P到直线y＝x＋1的距离|PQ|‎ 即为所求最小值．(lnx)′＝，令＝1，得x＝1.故P(1,0)．由点到直线的距离公式得|PQ|min=＝，‎ 故选C.‎ ‎（七）直线的平行与垂直 例7．设 的一个顶点是，的平分线方程分别为，则直线的方程为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】∵∠B、∠C的平分线分别是x＝0，y＝x，∴AB与BC对于x＝0对称，AC与BC对于y＝x对称．A（-3， 1）关于x＝0的对称点A'（3，1）在直线BC上，‎ A关于y＝x的对称点A''（1，-3）也在直线BC上．由两点式，所求直线BC的方程：y＝2x-5．‎ 故选：B．‎ 练习1．已知直线，，若，则之间的距离为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】由于两条直线平行，属于，解得，当时，两直线方程都是故两直线重合，不符合题意.当时，，，故两平行直线的距离为.故选A.‎ 练习2．两条直线与的交点坐标就是方程组的实数解，给出以下三种说法：‎ ‎①若方程组无解，则两直线平行；‎ ‎②若方程组只有一解，则两直线相交；‎ ‎③若方程组有无数多解，则两直线重合．‎ 其中说法正确的个数为（ ）‎ A．1 B．2 C．3 D．0‎ ‎【答案】C ‎【解析】①若方程组无解，则两条直线无交点，两直线平行；正确；②若方程组只有一解，说明两条直线只有一个交点，则两直线相交；正确；③若方程组有无数多解，说明两条直线有无数多个交点，则两直线重合．正确.‎ 故答案为：C.‎ ‎【点睛】在同一平面内，两条直线有三种位置关系，即相交、平行、重合．相应地由直线的方程组成的二元一次方程组的解有三种情况，即有唯一解、无解、有无数解．当的解只有一组时，这两条直线和有一个公共点，它们的位置关系为相交．当的解有无数组时，这两条直线和有无数个公共点，它们的位置关系为重合．当无解时，这两条直线和没有公共点，它们的位置关系为平行．‎ ‎（八）直线的综合问题 例8．若直线将圆平分，且不通过第四象限，则直线斜率的取值范围是( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】由圆的方程，可知圆心坐标为，‎ 因为直线将圆平分，所以直线过圆心，又由直线不经过第四象限，‎ 所以直线的斜率的最小值为，斜率的最大值为，‎ 所以直线的斜率的取值范围是，故选B.‎ ‎【点睛】本题主要考查了直线的斜率的取值范围的求法，以及直线与圆的位置关系的应用，其中解答中认真审题，得到直线必过圆的圆心，再根据斜率公式求解是解答的关键，同时属于圆的性质的合理运用，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.‎ 练习1．‎ 数学家默拉在1765年提出定理，三角形的外心,重心,垂心(外心是三角形三条边的垂直平分线的交点重心是三角形三条中线的交点,垂心是三角形三条高的交点)依次位于同一直线上,且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半,这条直线被后人称之为三角形的欧拉线,已知△ABC的顶点B(-1,0),C(0,2),AB=AC,则△ABC的欧拉线方程为（ ）‎ A．2x-4y-3=0 B．2x+4y+3=0‎ C．4x-2y-3=0 D．2x+4y-3=0‎ ‎【答案】D 练习2．圆x2＋y2＋2x－6y＋1＝0关于直线ax－by＋3＝0(a>0，b>0)对称，则的最小值是(　　)‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】圆x2＋y2＋2x－6y＋1＝0的圆心（-1,3）‎ 因为圆x2＋y2＋2x－6y＋1＝0关于直线ax－by＋3＝0(a>0，b>0)对称 所以圆心在直线ax－by＋3＝0(a>0，b>0)上 即a+3b=3 ‎ ‎（a+3b）（）=（10+）‎ 当且仅当b=等号成立.‎ 故选D 练习3．，动直线：过定点，动直线：过定点，若与交于点（异于点，），则的最大值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D 点睛：本题是直线和不等式的综合考查，特别是“两条直线相互垂直”这一特征是本题解答的突破口，从而有是个定值，再由基本不等式求解得出，直线位置关系和不等式相结合，不容易想到，是个灵活的好题.‎ 练习4．在平面直角坐标系中， 是坐标原点，设函数的图象为直线，且与轴、轴分别交于、两点，给出下列四个命题：‎ ‎①存在正实数，使的面积为的直线仅有一条；‎ ‎②存在正实数，使的面积为的直线仅有二条；‎ ‎③存在正实数，使的面积为的直线仅有三条；‎ ‎④存在正实数，使的面积为的直线仅有四条．‎ 其中，所有真命题的序号是（ ）．‎ A．①②③ B．③④ C．②④ D．②③④‎ ‎【答案】D ‎【解析】∵直线与轴， 轴交点的坐标分别是：，，∴，当时，，∵，当且仅当时取等号，∴，当且仅当时取等号，∴当，在时， 有两个值；当时，‎ ‎，∵，当且仅当时取等号，∴，当且仅当时取等号，当时，在时， 有两个值；∴当时，仅有一条直线使的面积为，故①不正确；当时，仅有两条直线使的面积为，故②正确；当时，仅有三条直线使的面积为，故③正确；当时，仅有四条直线使的面积为，故④正确；综上所述，真命题的序号是②③④，故选D.‎