高中数学选修2-2教学课件第一章 习题课1 31页

习题 课 　 综合法和分析法 明目标 知重点 填要点 记疑点 探题型 提能力 内容 索引 01 02 03 04 加深对综合法、分析法的理解，应用两种方法证明数学问题 . 明目标 、知重点 填 要点 · 记疑点 1. 对综合法的理解 综合法是中学数学证明中最常用的方法，它是从已知到未知，从题设到结论的逻辑推理方法，即从题设中的已知条件或已证的真实判断出发，经过一系列的中间推理，最后导出所要求证的命题 . 综合法是一 种 的 证明方法 . 综合法的证明步骤用符号表示是 ： P 0 ( 已知 ) ⇒ P 1 ⇒ P 2 ⇒ … ⇒ P n ( 结论 ) 由因导果 2. 对分析法的认识 分析法是指从需证的问题出发，分析出使这个问题成立的充分条件，使问题转化为判定那些条件是否具备，其特点可以描述为 “ ” ，即从未知看需知，逐步靠拢已知 . 分析法的书写形式一般为 “ 因为 …… ，为了证明 …… ，只需证明 …… ，即 …… ，因此，只需证明 …… ，因为 …… 成立，所以 …… ，结论成立 ”. 执果索因 分析法的证明步骤用符号表示是： P 0 ( 已知 ) ⇐ … ⇐ P n － 2 ⇐ P n － 1 ⇐ P n ( 结论 ) 分析法属逻辑方法范畴，它的严谨性体现在分析过程步步可逆 . 探题型 · 提能力 题型一　选择恰当的方法证明不等式 例 1 　 设 a ， b ， c 为任意三角形三边长， I ＝ a ＋ b ＋ c ， S ＝ ab ＋ bc ＋ ca ，试证： 3 S ≤ I 2 <4 S . 证明　 I 2 ＝ ( a ＋ b ＋ c ) 2 ＝ a 2 ＋ b 2 ＋ c 2 ＋ 2 ab ＋ 2 bc ＋ 2 ca ＝ a 2 ＋ b 2 ＋ c 2 ＋ 2 S . 欲证 3 S ≤ I 2 <4 S ， 即证 ab ＋ bc ＋ ca ≤ a 2 ＋ b 2 ＋ c 2 <2 ab ＋ 2 bc ＋ 2 ca . 先证明 ab ＋ bc ＋ ca ≤ a 2 ＋ b 2 ＋ c 2 ， 只需证 2 a 2 ＋ 2 b 2 ＋ 2 c 2 ≥ 2 ab ＋ 2 bc ＋ 2 ca ， 即 ( a － b ) 2 ＋ ( a － c ) 2 ＋ ( b － c ) 2 ≥ 0 ，显然成立 ； 再证明 a 2 ＋ b 2 ＋ c 2 <2 ab ＋ 2 bc ＋ 2 ca ， 只需证 a 2 － ab － ca ＋ b 2 － ab － bc ＋ c 2 － bc － ca <0 ， 即 a ( a － b － c ) ＋ b ( b － a － c ) ＋ c ( c － b － a )<0 ， 只需证 a < b ＋ c ，且 b < c ＋ a ，且 c < b ＋ a ， 由于 a 、 b 、 c 为三角形的三边长， 上述三式显然成立，故有 3 S ≤ I 2 <4 S . 反思与感悟　 本题要证明的结论要先进行转化，可以使用分析法 . 对于连续不等式的证明，可以分段来证，使证明过程层次清晰 . 证明不等式所依赖的主要是不等式的基本性质和已知的重要不等式，其中常用的有如下几个： (1) a 2 ≥ 0( a ∈ R ). (4) a 2 ＋ b 2 ＋ c 2 ≥ ab ＋ bc ＋ ca ( a ， b ， c ∈ R ). 跟踪训练 1 　已知 a ， b 是正数，且 a ＋ b ＝ 1 ，求证 ： ≥ 4. 证明　 方法一　 ∵ a ， b 是正数且 a ＋ b ＝ 1 ， 方法二　 ∵ a ， b 是正数， 当且仅当 a ＝ b 时，取 “ ＝ ”. 题型二　选择恰当的方法证明等式 例 2 　 已知 △ ABC 的三个内角 A ， B ， C 成等差数列，对应的三边为 a ， b ， c ，求证： 而由题意知 A ＋ C ＝ 2 B ， ∴ b 2 ＝ a 2 ＋ c 2 － ac ， 反思与感悟　 综合法推理清晰，易于书写，分析法从结论入手易于寻找解题思路 . 在实际证明命题时，常把分析法与综合法结合起来使用，称为分析综合法，其结构特点是：根据条件的结构特点去转化结论，得到中间结论 Q ；根据结论的结构特点去转化条件，得到中间结论 P ；若由 P 可推出 Q ，即可得证 . 跟踪训练 2 　 设实数 a ， b ， c 成等比数列，非零实数 x ， y 分别为 a 与 b ， b 与 c 的等差中项，试证 ： ＝ 2 . 证明　 由已知条件得 b 2 ＝ ac ， ① 2 x ＝ a ＋ b, 2 y ＝ b ＋ c . ② 只需证 ay ＋ cx ＝ 2 xy ， 只需证 2 ay ＋ 2 cx ＝ 4 xy . 由 ①② 得 2 ay ＋ 2 cx ＝ a ( b ＋ c ) ＋ c ( a ＋ b ) ＝ ab ＋ 2 ac ＋ bc ， 4 xy ＝ ( a ＋ b )( b ＋ c ) ＝ ab ＋ b 2 ＋ ac ＋ bc ＝ ab ＋ 2 ac ＋ bc ， 所以 2 ay ＋ 2 cx ＝ 4 xy . 命题 得证 . 题型三　立体几何中位置关系的证明 例 3 　 如图，在四棱锥 P － ABCD 中， PA ⊥ 底面 ABCD ， AB ⊥ AD ， AC ⊥ CD ， ∠ ABC ＝ 60° ， PA ＝ AB ＝ BC ， E 是 PC 的中点 . (1) 证明： CD ⊥ AE ； 证明　 在四棱锥 P － ABCD 中 ， ∵ PA ⊥ 底面 ABCD ， CD 底面 ABCD ， ∴ PA ⊥ CD . ∵ AC ⊥ CD ， PA ∩ AC ＝ A ， ∴ CD ⊥ 平面 PAC ，而 AE 平面 PAC ， ∴ CD ⊥ AE . (2) 证明： PD ⊥ 平面 ABE . 证明　 由 PA ＝ AB ＝ BC ， ∠ ABC ＝ 60° ， 可得 AC ＝ PA ， ∵ E 是 PC 的中点 ， ∴ AE ⊥ PC . 由 (1) 知， AE ⊥ CD ，且 PC ∩ CD ＝ C ， ∴ AE ⊥ 平面 PCD . ∴ AE ⊥ PD . ∵ PA ⊥ 底面 ABCD ， ∴ PA ⊥ AB ，又 AB ⊥ AD ， ∴ AB ⊥ 平面 PAD ， ∴ AB ⊥ PD ，又 AB ∩ AE ＝ A ， 综 上得 PD ⊥ 平面 ABE . 反思与感悟　 综合法证明线面之间的垂直关系是高考考查的重点，利用垂直的判定定理和性质定理可以进行线线、线面以及面面之间垂直关系的转化 . 另外，利用一些 常见的结论还常常可以将线面间的垂直与平行进行转化 . 比如：两条平行线中一条垂直于平面 α ，则另外一条也垂直于平面 α ；垂直于同一条直线的两个平面相互平行等 . 跟踪训练 3 　如图，正方形 ABCD 和四边形 ACEF 所在的平面互相垂直， EF ∥ AC ， AB ＝ ， CE ＝ EF ＝ 1. (1) 求证： AF ∥ 平面 BDE ； 证明　 如 图，设 AC 与 BD 交于点 G . 因为 EF ∥ AG ，且 EF ＝ 1 ， 所以四边形 AGEF 为平行四边形 . 所以 AF ∥ EG . 因为 EG 平面 BDE ， AF 平面 BDE ， 所以 AF ∥ 平面 BDE . (2) 求证： CF ⊥ 平面 BDE . 证明　 连接 FG . 因为 EF ∥ CG ， EF ＝ CG ＝ 1 ，且 CE ＝ 1 ， 所以四边形 CEFG 为菱形 . 所以 CF ⊥ EG . 因为四边形 ABCD 为正方形， 所以 BD ⊥ AC . 又因为平面 ACEF ⊥ 平面 ABCD ，且平面 ACEF ∩ 平面 ABCD ＝ AC ， 所以 BD ⊥ 平面 ACEF . 所以 CF ⊥ BD . 又 BD ∩ EG ＝ G ， 所以 CF ⊥ 平面 BDE . 呈 重点、现 规律 1. 综合法的特点：从已知看可知，逐步推出未知 . 2. 分析法的特点：从未知看需知，逐步靠拢已知 . 3. 分析法和综合法各有优缺点 . 分析法思考起来比较自然，容易寻找到解题的思路和方法，缺点是思路逆行，叙述较繁；综合法从条件推出结论，较简捷地解决问题，但不便于思考 . 实际证题时常常两法兼用，先用分析法探索证明途径，然后再用综合法叙述出来 . 更多精彩内容请 登录 http ://www.91taoke.com 谢谢观看