专题11-7 参数方程与极坐标（练）-2018年高考数学一轮复习讲练测（江苏版） 9页

‎ ‎ ‎1.选修4—4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系中，直线过点，倾斜角为﹒以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆﹒若直线与圆相交于两点，求的值．‎ ‎【答案】1‎ ‎2.【选修4-4：坐标系与参数方程】（本小题满分10分）‎ 在极坐标系中，直线的极坐标方程为，以极点为原点，极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系，曲线的参数方程为（为参数），求直线与曲线交点的直角坐标 ‎【答案】(0，0).‎ ‎【解析】直线的普通方程为，① ……………………3分 曲线的直角坐标方程为，② ……………………6分 联立①②解方程组得 或 根据x的范围应舍去 故P点的直角坐标为(0，0). ……………………10分 ‎3.【选修4-4：坐标系与参数方程】（本小题满分10分）‎ 在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）以原点为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为.若直线与曲线交于，求线段的长.‎ ‎【答案】‎ ‎4.（选修4—4：坐标系与参数方程）‎ 已知直线的参数方程为，曲线的极坐标方程为，试判断直线与曲线的位置关系.‎ ‎【答案】相交 ‎【解析】直线的普通方程为；‎ 曲线的直角坐标方程为：，它表示圆. …………………4分 ‎ 由圆心到直线的距离，得直线与曲线相交. ………10分 ‎5.直角坐标系内，直线的参数方程为参数），以为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为,确定直线和圆C的位置关系.‎ ‎【答案】直线与圆相交．‎ ‎【解析】‎ ‎6. 在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为 ‎(t为参数)，曲线C的参数方程为(θ为参数)．试求直线l和曲线C的普通方程，并求出它们的公共点的坐标．‎ ‎【答案】 ‎【解析】解：因为直线l的参数方程为(t为参数)，‎ 由x＝t＋1得t＝x－1，代入y＝2t，‎ 得到直线l的普通方程为2x－y－2＝0.‎ 同理得到曲线C的普通方程为y2＝2x.‎ 解方程组 ‎7.如图，已知曲线C的极坐标方程为ρ＝4cos θ，以极点为原点，极轴为x轴正半轴建立平面直角坐标系，设直线l的参数方程为(t为参数)．‎ ‎(1)求曲线C的直角坐标方程与直线l的普通方程；‎ ‎(2)设曲线C与直线l相交于P，Q两点，以PQ为一条边作曲线C的内接矩形，求该矩形的面积．‎ ‎【答案】3.‎ ‎8.在直角坐标系xOy中，圆C1和C2的参数方程分别是(φ为参数)和(φ为参数)．以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系． ‎ ‎(1)求圆C1和C2的极坐标方程；‎ ‎(2)射线OM：θ＝α与圆C1的交点为O，P，与圆C2的交点为O，Q，求|OP|·|OQ|的最大值．‎ ‎【答案】4‎ ‎【解析】解：(1)圆C1和圆C2的普通方程分别是(x－2)2＋y2＝4和x2＋(y－1)2＝1，‎ 所以圆C1和C2的极坐标方程分别是 ρ＝4cos θ和ρ＝2sin θ.‎ ‎(2)依题意得，点P，Q的极坐标分别为P(4cos α，α)，‎ Q(2sin α，α)，所以|OP|＝|4cos α|，|OQ|＝|2sin α|.‎ 从而|OP|·|OQ|＝|4sin 2α|≤4，‎ 当且仅当sin 2α＝±1时，上式取“＝”，‎ 即|OP|·|OQ|的最大值是4.‎ ‎9. 以平面直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．‎ ‎(1)试分别将曲线C1的极坐标方程ρ＝sin θ－cos θ和曲线C2的参数方程(t为参数)化为直角坐标方程和普通方程；‎ ‎(2)若红蚂蚁和黑蚂蚁分别在曲线C1和曲线C2上爬行，求红蚂蚁和黑蚂蚁之间的最大距离(视蚂蚁为点)．‎ ‎【答案】2.‎ ‎10.如图，在极坐标系中，圆C的圆心坐标为(1,0)，半径为1.‎ ‎(1)求圆C的极坐标方程；‎ ‎(2)若以极点O为原点，极轴所在直线为x轴建立平面直角坐标系．已知直线l的参数方程为(t为参数)，试判断直线l与圆C的位置关系．‎ ‎【答案】(1) ρ＝2cos θ(2) 相切 ‎ ‎【解析】解：(1)如图，设M(ρ，θ)为圆C上除点O，B外的任意一点，连结OM，BM，在Rt△OBM中，‎ ‎|OM|＝|OB|cos ∠BOM，‎ 所以ρ＝2cos θ.‎ 可以验证点O(0，)，B(2,0)也满足ρ＝2cos θ，‎ 故ρ＝2cos θ为所求圆的极坐标方程．‎ ‎(2)由(t为参数)，‎ 得直线l的普通方程为y＝(x＋1)，‎ 即直线l的普通方程为x－y＋1＝0.‎ 由ρ＝2cos θ，得圆C的直角坐标方程为(x－1)2＋y2＝1.‎ 因为圆心C到直线l的距离d＝＝1，‎ 所以直线l与圆C相切．‎ ‎11. 在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知射线l：θ＝与曲线C：(t为参数)相交于A，B两点．‎ ‎(1)写出射线l的参数方程和曲线C的直角坐标方程；‎ ‎(2)求线段AB中点的极坐标．‎ ‎【答案】(1) y＝x(x≥0)，y＝(x－2)2. (2) (，)．‎ ‎12.在直角坐标系xOy中，直线l经过点P(－1，0)，其倾斜角为α.以原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴，与直角坐标系xOy取相同的长度单位，建立极坐标系．设曲线C的极坐标方程为ρ2－6ρcos θ＋5＝0.‎ ‎(1)若直线l与曲线C有公共点，求α的取值范围；‎ ‎(2)设M(x，y)为曲线C上任意一点，求x＋y的取值范围．‎ ‎【答案】(1) [0，]∪[，π) (2) [3－2，3＋2]．‎ ‎【解析】解：(1)将曲线C的极坐标方程ρ2－6ρcos θ＋5＝0化为直角坐标方程为x2＋y2－6x＋5＝0.‎ 直线l的参数方程为(t为参数)．‎ 将(t为参数)代入x2＋y2－6x＋5＝0整理得，t2－8tcos α＋12＝0.‎ ‎∵直线l与曲线C有公共点，∴Δ＝64cos2α－48≥0，‎ ‎13. 已知曲线C的参数方程是(φ为参数，a>0)，直线l的参数方程是(t为参数)，曲线C与直线l有一个公共点在x轴上，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立坐标系．‎ ‎(1)求曲线C的普通方程；‎ ‎(2)若点A(ρ1，θ)，B(ρ2，θ＋)，C(ρ3，θ＋)在曲线C上，求＋＋的值．‎ ‎【答案】(1) ＋＝1. (2) .‎ ‎【解析】解：(1)直线l的普通方程为x＋y＝2，与x轴的交点为(2,0)．又曲线C的普通方程为＋＝1，所以a＝2，故所求曲线C的普通方程是＋＝1.‎ ‎(2)因为点A(ρ1，θ)，B，C在曲线C上，即点A(ρ1cos θ，ρ1sin θ)，Bρ2cos，ρ2sin(θ＋，Cρ3cos，ρ3sin在曲线C上．‎ 故＋＋＝＋＋ ‎＝cos2θ＋cos2＋cos2＋sin2θ＋sin2θ＋＋sin2 ‎＝＋＋＋＋＋ ‎＝×＋×＝.‎ ‎14.在极坐标系下，已知圆O：ρ＝cos θ＋sin θ和直线l：ρsin＝.‎ ‎(1)求圆O和直线l的直角坐标方程；‎ ‎(2)当θ∈(0，π)时，求直线l与圆O公共点的一个极坐标．‎ ‎【答案】(1) ρsin θ－ρcos θ＝1 (2) .‎ ‎15.在极坐标系中，曲线C1，C2的极坐标方程分别为ρ＝－2cos θ，ρcos ＝1.‎ ‎(1)求曲线C1和C2的公共点的个数；‎ ‎(2)过极点作动直线与曲线C2相交于点Q，在OQ上取一点P，使|OP|·|OQ|＝2，求点P的轨迹，并指出轨迹是什么图形．‎ ‎【答案】(1)0,(2) 圆 ‎【解析】解：(1)C1的直角坐标方程为(x＋1)2＋y2＝1，它表示圆心为(－1,0)，半径为1的圆，C2的直角坐标方程为x－y－2＝0，所以曲线C2为直线，由于圆心到直线的距离为d＝>1，所以直线与圆相离，即曲线C1和C2没有公共点．‎ ‎(2)设Q(ρ0，θ0)，P(ρ，θ)，则即①‎ 因为点Q(ρ0，θ0)在曲线C2上，‎ 所以ρ0cos＝1，②‎ 将①代入②，得cos＝1，‎ 即ρ＝2cos为点P的轨迹方程，化为直角坐标方程为2＋2＝1，因此点P的轨迹是以为圆心，1为半径的圆．‎ ‎ ‎