数学（理）卷·2018届湖南省衡阳市第八中学高三（实验班）上学期第一次质检（2017 16页

衡阳八中2018届高三年级实验班第一次质检试卷 理科数学（试题卷）‎ 注意事项：‎ ‎1.本卷为衡阳八中高三年级实验班第一次质检试卷，分两卷。其中共23题，满分150分，考试时间为120分钟。‎ ‎2.考生领取到试卷后，应检查试卷是否有缺页漏页，重影模糊等妨碍答题现象，如有请立即向监考老师通报。开考15分钟后，考生禁止入场，监考老师处理余卷。‎ ‎3.请考生将答案填写在答题卡上，选择题部分请用2B铅笔填涂，非选择题部分请用黑色‎0.5mm签字笔书写。考试结束后，试题卷与答题卡一并交回。‎ ‎★预祝考生考试顺利★‎ 第I卷 选择题（每题5分，共60分）‎ 本卷共12题，每题5分，共60分，在每题后面所给的四个选项中，只有一个是正确的。‎ ‎1.设集合A={x||x﹣1|＜2}，B={y|y=2x，x∈[0，2]}，则A∩B=（　　）‎ A．[0，2] B．（1，3） C．[1，3） D．（1，4）‎ ‎2.在复平面内，复数对应的点到直线y=x+1的距离是（　　）‎ A． B．‎2 ‎C． D．‎ ‎3.已知甲，乙两辆车去同一货场装货物，货场每次只能给一辆车装货物，所以若两辆车同时到达，则需要有一车等待．已知甲、乙两车装货物需要的时间都为30分钟，倘若甲、乙两车都在某1小时内到达该货场，则至少有一辆车需要等待装货物的概率是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎4.中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题；“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见末日行里数，请公子仔细算相还．”其意思为：“有一个人走了378里路，第一天健步走行，从第二天起脚痛每天走的路程且前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问题第六天走了”（　　）‎ A．96里 B．48里 C．12里 D．6里 ‎5.已知y=f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＜0时f（x）=则方程f（x﹣2）=﹣（x﹣2）的实数根的个数为（　　）‎ A．8 B．‎7 ‎C．6 D．5‎ ‎6.设x，y满足约束条件，若z=的最小值为，则a的值为（　　）‎ A．1 B．‎2 ‎C．3 D．4‎ ‎7.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是（　　）‎ A．4+2 B．4+ C．4+2 D．4+‎ ‎8.阅读如右图所示的程序框图，则输出的值是（　　）‎ A．6 B．‎18 ‎C．27 D．124‎ ‎9.已知函数f（x）=2sinωx在区间[]上的最小值为﹣2，则ω的取值范围是（　　）‎ A． B． ‎ C．（﹣∞，﹣2]∪[6，+∞） D．‎ ‎10.椭圆C：的左、右顶点分别为A1、A2，点P在C上且直线PA2斜率的取值范围是[﹣2，﹣1]，那么直线PA1斜率的取值范围是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎11.在平面直角坐标系中，当P（x，y）不是原点时，定义P的“伴随点”为；当P是原点时，定义P的“伴随点”为它自身，平面曲线C上所有点的“伴随点”所构成的曲线C′定义为曲线C的“伴随曲线”，现有下列命题：‎ ‎①若点A的“伴随点”是点A′，则点A′的“伴随点”是点A；‎ ‎②若曲线C关于x轴对称，则其“伴随曲线”C′关于y轴对称；‎ ‎③单位圆的“伴随曲线”是它自身；‎ ‎④一条直线的“伴随曲线”是一条直线．‎ 其中真命题的个数为（　　）‎ A．1 B．‎2 ‎C．3 D．4‎ ‎12.若存在两个正实数x，y，使得等式3x+a（2y﹣4ex）（lny﹣lnx）=0成立，其中e为自然对数的底数，则实数a的取值范围是（　　）‎ A．（﹣∞，0） B． C． D．‎ 第II卷 非选择题（共90分）‎ 二.填空题（每题5分，共20分）‎ ‎13.的展开式的常数项是　 　．‎ ‎14.已知等差数列{an}首项为a，公差为b，等比数列{bn}首项为b，公比为a，其中a，b都是大于1的正整数，且a1＜b1，b2＜a3，对于任意的n∈N，总存在m∈N，使得am+3=bn成立，则an=　　．‎ ‎15.已知AB是球O的直径，C，D为球面上两动点，AB⊥‎ CD，若四面体ABCD体积的最大值为9，则球O的表面积为　　．‎ ‎16.已知函数，点O为坐标原点，点，向量=（0，1），θn是向量与的夹角，则使得恒成立的实 数t的取值范围为　　．‎ 三.解答题（共8题，共70分）‎ ‎17.（本题满分12分）‎ 已知中，角的对边分别为，且．‎ ‎（1）求角；‎ ‎（2）若，求的取值范围．‎ ‎18.（本题满分12分）‎ 端午节即将到来，为了做好端午节商场促销活动，某商场打算将进行促销活动的礼品盒重新设计．方案如下：将一块边长为10的正方形纸片ABCD剪去四个全等的等腰三角形△SEE′，△SFF′，△SGG′，△SHH′再将剩下的阴影部分折成一个四棱锥形状的包装盒S﹣EFGH，其中A，B，C，D重合于点O，E与E′重合，F与F′重合，G与G′重合，H与H′重合（如图所示）．‎ ‎（Ⅰ）求证：平面SEG⊥平面SFH；‎ ‎（Ⅱ）当AE=时，求二面角E﹣SH﹣F的余弦值．‎ ‎19.（本题满分12分）‎ 某种产品的质量以其质量指标值衡量，并依据质量指标值划分等级如下表：‎ 质量指标值错误！未找到引用源。‎ 等级 三等品 二等品 一等品 从某企业生产的这种产品中抽取200件，检测后得到如下的频率分布直方图：‎ ‎（Ⅰ）根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“一、二等品至少要占全部产品92%”的规定？‎ ‎（Ⅱ）在样本中，按产品等级用分层抽样的方法抽取8件，再从这8件产品中随机抽取4件，求抽取的4件产品中，一、二、三等品都有的概率；‎ ‎（Ⅲ）该企业为提高产品质量，开展了“质量提升月”活动，活动后在抽样检测，产品质量指标值错误！未找到引用源。近似满足错误！未找到引用源。，则“质量提升月”活动后的质量指标值的均值比活动前大约提升了多少？‎ ‎20.（本题满分12分）‎ 已知P（0，﹣1）是椭圆C的下顶点，F是椭圆C的右焦点，直线PF与椭圆C的另一个交点为Q，满足．‎ ‎（1）求椭圆C的标准方程；‎ ‎（2）如图，过左顶点A作斜率为k（k＞0）的直线l交椭圆C于点D，交y轴于点B．已知M为AD的中点，是否存在定点N，使得对于任意的k（k＞0）都有OM⊥BN，若存在，求出点N的坐标，若不存在，说明理由．‎ ‎21.（本题满分12分）‎ 已知函数f（x）=lnx+．‎ ‎（1）当a=2时，证明对任意的x∈（1，+∞），f（x）＞1；‎ ‎（2）求证：ln（n+1）＞（n∈N）．‎ ‎（3）若函数f（x）有且只有一个零点，求实数a的取值范围．‎ 选做题：考生从22、23题中任选一题作答，共10分。‎ ‎22.（选修4-4.坐标系与参数方程）‎ 已知直线l的参数方程为 （t为参数），若以直角坐标系xOy的O点为极点，Ox方向为极轴，选择相同的长度单位建立极坐标系，得曲线C的极坐标方程为ρ=2cos（θ﹣）．‎ ‎（1）求直线l的倾斜角和曲线C的直角坐标方程；‎ ‎（2）若直线l与曲线C交于A，B两点，设点P（0，），求|PA|+|PB|．‎ ‎23.（选修4-5.不等式选讲）‎ 设函数f（x）=|x﹣a|，a∈R．‎ ‎（Ⅰ）当a=2时，解不等式：f（x）≥6﹣|2x﹣5|；‎ ‎（Ⅱ）若关于x的不等式f（x）≤4的解集为[﹣1，7]，且两正数s和t满足2s+t=a，求证：．‎ 衡阳八中2018届高三年级实验班第一次质检参考答案理科数学 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 C D D D B A A C D B B D ‎13.3‎ ‎14.5n-3‎ ‎15.36π ‎16.t≥‎ ‎17.‎ 即的取值范围是．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分 ‎18.‎ ‎（1）证明：∵折后A，B，C，D重合于一点O，‎ ‎∴拼接成底面EFGH的四个直角三角形必为全等的等腰直角三角形，‎ ‎∴底面EFGH是正方形，故EG⊥FH，‎ ‎∵在原平面EFGH是正方形，故EG⊥FH，‎ ‎∵在原平面图形中，等腰三角形△SEE′≌△SGG′，‎ ‎∴SE=SG，∴EG⊥SO，‎ 又∵SO、FH⊂平面SFH，SO∩FH=O，‎ ‎∴EC⊥平面SFH，‎ 又∵EG⊂平面SEC，∴平面SEG⊥平面SFH．（5分）‎ ‎（Ⅱ）解：过O作OM⊥SH交SH于M点，连EM，‎ ‎∵EO⊥平面SFH，‎ ‎∴EO⊥SH，‎ ‎∴SH⊥面EMO，‎ ‎∴∠EMO为二面角E﹣SH﹣F的平面角．（8分）‎ 当AE=时，即OE=‎ Rt△SHO中，SO=5，SH=，∴OM==，‎ Rt△EMO中，EM==，‎ ‎∴cos∠EMO==，‎ ‎∴所求二面角的余弦值为．（12分）‎ ‎19.‎ ‎（Ⅰ）根据抽样调查数据，一、二等品所占比例的估计值为错误！未找到引用源。 错误！未找到引用源。，由于该估计值小于0.92，故不能认为该企业生产的这种产品符合“一、二等品至少要占全部产品92%”的规定.（3分）‎ ‎（7分）‎ ‎（12分）20.‎ ‎（1）∵P（0，﹣1）是椭圆C的下顶点，可设椭圆的标准方程为： +y2=1．‎ 右焦点F（c，0）．‎ 由，可得Q，代入椭圆C的方程可得： +=1，‎ ‎∴‎4c2=‎3a2，又b2=a2﹣c2=1，解得a=2．‎ ‎∴椭圆C的标准方程为=1．（4分）‎ ‎（2）直线l的方程为：y=k（x+2），联立，消去y化为：（x+2）[4k2（x+2）+（x﹣2）]=0，（6分）‎ ‎∴x1=﹣2，x2=．‎ 由xD=，可得yD=k（xD+2）=．∴D（，）．（8分）‎ 由点M为AD的中点，可得M，可得kOM=﹣．‎ 直线l的方程为：y=k（x+2），令x=0，解得y=2k，可得B（0，2k）．‎ 假设存在定点N（m，n）（m≠0），使得OM⊥BN，则kOM•kBN=﹣1，‎ ‎∴=﹣1，化为（‎4m+2）k﹣n=0恒成立，‎ 由，解得，‎ 因此存在定点N．使得对于任意的k（k＞0）都有OM⊥BN．（12分）‎ ‎21.‎ ‎（1）证明：当a=2时，f（x）=lnx+，‎ 令h（x）=lnx+﹣1，则＞0‎ ‎∴h（x）在（1，+∞）上单调递增，‎ ‎∴h（x）＞h（1）=0，‎ ‎∴对任意的x∈（1，+∞），f（x）＞1；（3分）‎ ‎（2）证明：由（1）知x∈（1，+∞），lnx+＞1，‎ 即lnx＞，‎ 令x=，则，∴，‎ ‎∴ln（n+1）=＞；（7分）‎ ‎（3）解：f′（x）=．‎ 令f′（x）=0，则x2﹣（a﹣2）x+1=0，△=（a﹣2）2﹣4=a（a﹣4）．‎ ‎①0≤a≤4时，f′（x）≥0，函数在（0，+∞）上递增，函数只有一个零点；‎ ‎②a＜0时，f′（x）＞0，函数在（0，+∞）上递增，函数只有一个零点；‎ ‎③当a＞4时，△＞0，设f'（x）=0的两根分别为x1与x2，‎ 则x1+x2=a﹣2＞0，x1•x2=1＞0，不妨设0＜x1＜1＜x2‎ 当x∈（0，x1）及x∈（x2，+∞）时，f'（x）＞0，当x∈（x1，x2）时，f'（x）＜0，‎ ‎∴函数f（x）在（0，x1），（x2，+∞）上递增，在（x1，x2）上递减，‎ 而 ‎∴x∈（x1，+∞）时，f（x）＞0，且f（x1）＞0‎ 因此函数f（x）在（0，x1）有一个零点，而在（x1，+∞）上无零点；‎ 此时函数f（x）只有一个零点；‎ 综上，函数f（x）只有一个零点时，实数a的取值范围为R．（12分）‎ ‎        ‎ ‎22.‎ ‎（1）直线的斜率为，直线l倾斜角为 （2分）‎ 由曲线C的极坐标方程得到：ρ2=2ρcos（θ﹣），利用ρ2=x2+y2，得到曲线C的直角坐标方程为（x﹣）2+（y﹣）2=1 （4分）‎ ‎（2）点P（0，）在直线l上且在圆C内部，所以|PA|+|PB|=|AB| （6分）‎ 直线l的直角坐标方程为y=x+…（8分）‎ 所以圆心（，）到直线l的距离d=．所以|AB|=，即|PA|+|PB|= （10分）‎ ‎23.‎ ‎（Ⅰ）解：当a=2时，不等式：f（x）≥6﹣|2x﹣5|，可化为|x﹣2|+|2x﹣5|≥6．‎ ‎①x≥2.5时，不等式可化为x﹣2+2x﹣5≥6，∴x≥；‎ ‎②2≤x＜2.5，不等式可化为x﹣2+5﹣2x≥6，∴x∈∅；‎ ‎③x＜2，不等式可化为2﹣x+5﹣2x≥6，∴x≤，（5分）‎ 综上所述，不等式的解集为（﹣]；‎ ‎（Ⅱ）证明：不等式f（x）≤4的解集为[a﹣4，a+4]=[﹣1，7]，∴a=3，‎ ‎∴=（）（2s+t）=（10++）≥6，当且仅当s=，t=2时取等号．（10分）‎