高中数学 1_7 定积分的简单应用同步练习 新人教A版选修2-2 7页

选修2-2 1.7 定积分的简单应用 ‎ 一、选择题 ‎1．如图所示，阴影部分的面积为(　　)‎ A.f(x)dx　　　　　　　 B.g(x)dx C.[f(x)－g(x)]dx D.[g(x)－f(x)]dx ‎[答案]　C ‎[解析]　由题图易知，当x∈[a，b]时，f(x)>g(x)，所以阴影部分的面积为[f(x)－g(x)]dx.‎ ‎2．如图所示，阴影部分的面积是(　　)‎ A．2 B．2－ C. D. ‎[答案]　C ‎[解析]　S＝－3(3－x2－2x)dx 即F(x)＝3x－x3－x2，‎ 则F(1)＝3－1－＝，‎ F(－3)＝－9－9＋9＝－9.‎ ‎∴S＝F(1)－F(－3)＝＋9＝.故应选C.‎ ‎3．由曲线y＝x2－1、直线x＝0、x＝2和x轴围成的封闭图形的面积(如图)是(　　)‎ A.(x2－1)dx B．|(x2－1)dx|‎ C.|x2－1|dx D.(x2－1)dx＋(x2－1)dx ‎[答案]　C ‎[解析]　y＝|x2－1|将x轴下方阴影反折到x轴上方，其定积分为正，故应选C.‎ ‎4．设f(x)在[a，b]上连续，则曲线f(x)与直线x＝a，x＝b，y＝0围成图形的面积为(　　)‎ A.f(x)dx B．|f(x)dx|‎ C.|f(x)|dx D．以上都不对 ‎[答案]　C ‎[解析]　当f(x)在[a，b]上满足f(x)<0时，f(x)dx<0，排除A；当阴影有在x轴上方也有在x轴下方时，f(x)dx是两面积之差，排除B；无论什么情况C对，故应选C.‎ ‎5．曲线y＝1－x2与x轴所围图形的面积是(　　)‎ A．4　　　　 B．3　　　　‎ C．2　　　　 D. ‎[答案]　B ‎[解析]　曲线与x轴的交点为， 故应选B.‎ ‎6．一物体以速度v＝(3t2＋2t)m/s做直线运动，则它在t ‎＝0s到t＝3s时间段内的位移是 ‎(　　)‎ A．‎31m　　　 B．‎36m　　　‎ C．‎38m　　　 D．‎‎40m ‎[答案]　B ‎[解析]　S＝(3t2＋2t)dt＝(t3＋t2)＝33＋32＝36(m)，故应选B.‎ ‎7．(2010·山东理，7)由曲线y＝x2，y＝x3围成的封闭图形面积为(　　)‎ A.　 　　 B.　　 　‎ C.　 　　 D. ‎[答案]　A ‎[解析]　由得交点为(0,0)，(1,1)．‎ ‎∴S＝(x2－x3)dx＝＝.‎ ‎8．一物体在力F(x)＝4x－1(单位：N)的作用下，沿着与力F相同的方向，从x＝1运动到x＝3处(单位：m)，则力F(x)所做的功为(　　)‎ A．8J　 　 　 B．10J　　　‎ C．12J　　　 D．14J ‎[答案]　D ‎[解析]　由变力做功公式有：W＝(4x－1)dx＝(2x2－x)＝14(J)，故应选D.‎ ‎9．若某产品一天内的产量(单位：百件)是时间t的函数，若已知产量的变化率为a＝，那么从3小时到6小时期间内的产量为(　　)‎ A. B．3－ C．6＋3 D．6－3 ‎[答案]　D ‎[解析]　dt＝＝6－3，故应选D.‎ ‎10．过原点的直线l与抛物线y＝x2－2ax(a>0)所围成的图形面积为a3，则直线l的方程为(　　)‎ A．y＝±ax B．y＝ax C．y＝－ax D．y＝－5ax ‎[答案]　B ‎[解析]　设直线l的方程为y＝kx，‎ 由得交点坐标为(0,0)，(2a＋k,2ak＋k2)‎ 图形面积S＝∫[kx－(x2－2ax)]dx ‎＝ ‎＝－＝＝a3‎ ‎∴k＝a，∴l的方程为y＝ax，故应选B.‎ 二、填空题 ‎11．由曲线y2＝2x，y＝x－4所围图形的面积是________．‎ ‎[答案]　18‎ ‎[解析]　如图，为了确定图形的范围，先求出这两条曲线交点的坐标，解方程组得交点坐标为(2，－2)，(8,4)．‎ 因此所求图形的面积S＝－2(y＋4－)dy 取F(y)＝y2＋4y－，则F′(y)＝y＋4－，从而S＝F(4)－F(－2)＝18.‎ ‎12．一物体沿直线以v＝m/s的速度运动，该物体运动开始后10s内所经过的路程是________．‎ ‎13．由两条曲线y＝x2，y＝x2与直线y＝1围成平面区域的面积是________．‎ ‎[答案]　 ‎[解析]　如图，y＝1与y＝x2交点A(1,1)，y＝1与y＝交点B(2,1)，由对称性可知面积S＝2(x2dx＋dx－x2dx)＝.‎ ‎14．一变速运动物体的运动速度v(t)＝ 则该物体在0≤t≤e时间段内运动的路程为(速度单位：m/s，时间单位：s)______________________．‎ ‎[答案]　9－8ln2＋ ‎[解析]　∵0≤t≤1时，v(t)＝2t，∴v(1)＝2；‎ 又1≤t≤2时，v(t)＝at，‎ ‎∴v(1)＝a＝2，v(2)＝a2＝22＝4；‎ 又2≤t≤e时，v(t)＝，‎ ‎∴v(2)＝＝4，∴b＝8.‎ ‎∴路程为S＝2tdt＋2tdt＋dt＝9－8ln2＋ .‎ 三、解答题 ‎15．计算曲线y＝x2－2x＋3与直线y＝x＋3所围图形的面积．‎ ‎[解析]　由解得x＝0及x＝3.‎ 从而所求图形的面积 S＝(x＋3)dx－(x2－2x＋3)dx ‎＝[(x＋3)－(x2－2x＋3)]dx ‎＝(－x2＋3x)dx ‎＝＝.‎ ‎16．设y＝f(x)是二次函数，方程f(x)＝0有两个相等的实根，且f′(x)＝2x＋2.‎ ‎(1)求y＝f(x)的表达式；‎ ‎(2)若直线x＝－t(0＜t＜1)把y＝f(x)的图象与两坐标轴所围成图形的面积二等分，求t的值．‎ ‎[解析]　(1)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则f′(x)＝2ax＋b，‎ 又已知f′(x)＝2x＋2，∴a＝1，b＝2，‎ ‎∴f(x)＝x2＋2x＋c.‎ 又方程f(x)＝0有两个相等实根．‎ ‎∴判别式Δ＝4－‎4c＝0，即c＝1.‎ 故f(x)＝x2＋2x＋1.‎ ‎(2)依题意有(x2＋2x＋1)dx＝－t(x2＋2x＋1)dx，‎ ‎∴＝ 即－t3＋t2－t＋＝t3－t2＋t.‎ ‎∴2t3－6t2＋6t－1＝0，‎ ‎∴2(t－1)3＝－1，∴t＝1－ .‎ ‎17．A、B两站相距‎7.2km，一辆电车从A站开往B站，电车开出ts后到达途中C点，这一段速度为1.2t(m/s)，到C点的速度达‎24m/s，从C点到B站前的D点以等速行驶，从D点开始刹车，经ts后，速度为(24－1.2t)m/s，在B点恰好停车，试求：‎ ‎(1)A、C间的距离；‎ ‎(2)B、D间的距离；‎ ‎(3)电车从A站到B站所需的时间．‎ ‎[解析]　(1)设A到C经过t1s，‎ 由1.2t＝24得t1＝20(s)，‎ 所以AC＝∫1.2tdt＝0.6t2＝240(m)．‎ ‎(2)设从D→B经过t2s，‎ 由24－1.2t2＝0得t2＝20(s)，‎ 所以DB＝∫(24－1.2t)dt＝240(m)．‎ ‎(3)CD＝7200－2×240＝6720(m)．‎ 从C到D的时间为t3＝＝280(s)．‎ 于是所求时间为20＋280＋20＝320(s)．‎ ‎18．在曲线y＝x2(x≥0)上某一点A处作一切线使之与曲线以及x轴所围成的面积为，试求：‎ ‎(1)切点A的坐标；‎ ‎(2)过切点A的切线方程．‎ ‎[解析]　如图所示，设切点A(x0，y0)，由y′＝2x，过A点的切线方程为y－y0＝2x0(x－x0)，‎ 即y＝2x0x－x.‎ 令y＝0得x＝，即C.‎ 设由曲线和过A点的切线及x轴所围成图形的面积为S，‎ S＝S曲边△AOB－S△ABC.‎ S曲边△AOB＝∫x00x2dx＝x，‎ S△ABC＝|BC|·|AB|‎ ‎＝·x＝x，‎ 即S＝x－x＝x＝.‎ 所以x0＝1，从而切点A(1,1)，切线方程为y＝2x－1.‎ ‎ ‎