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- 2021-06-23 发布
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典型高考数学试题解读与变式2018版
考点48 正态分布
【考纲要求】
利用实际问题的直方图,了解正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义.
【命题规律】
在选择题、填空题考查较多,属容易题,分值5分,在解答题中结合其他知识考查属中等题.
【典型高考试题变式】
正态分布
例1.【2017课标1】为了监控某种零件的一条生产线的生产过程,检验员每天从该生产线上随机抽取
16个零件,并测量其尺寸(单位:cm).根据长期生产经验,可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布.
(1)假设生产状态正常,记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在之外的零件数,
求及的数学期望;
(2)一天内抽检零件中,如果出现了尺寸在之外的零件,就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况,需对当天的生产过程进行检查.
(ⅰ)试说明上述监控生产过程方法的合理性;
(ⅱ)下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸:
9.95 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92 9.98 10.04
10.26 9.91 10.13 10.02 9.22 10.04 10.05 9.95
经计算得,,其中为抽取的第个零件的尺寸,.用样本平均数作为的估计值,用样本标准差作为的估
计值,利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查?剔除之外的数据,用剩下的数据估计和(精确到0.01).
附:若随机变量服从正态分布,则,
,.
【分析】(1)根据题设条件知一个零件的尺寸在之内的概率为0.9974,则零件的尺寸
在之外的概率为0.0026,而,进而可以求出的数学期望.(2)(i)判断监控生产过程的方法的合理性,重点是考虑一天内抽取的16个零件中,出现尺寸在之外的零件的概率是大还是小,若小即合理;(ii)根据题设条件算出的估计值和的估计值,剔除
之外的数据9.22,算出剩下数据的平均数,即为的估计值,剔除之外的数据9.22,剩下数据的样本方差,即为的估计值.
【解析】(1)抽取的一个零件的尺寸在之内的概率为0.9974,从而零件的尺寸在之外的概率为0.0026,故.
因此.
的数学期望为.
(2)(i)如果生产状态正常,一个零件尺寸在之外的概率只有0.0026,一天内抽取
的16个零件中,出现尺寸在之外的零件的概率只有0.0408,发生的概率很小.因此一旦发生这种情况,就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况,需对当天的生产过程进行检查,可见上述监控生产过程的方法是合理的.
【名师点睛】数学期望是离散型随机变量中重要的数学概念,反映随机变量取值的平均水平.求解离散
型随机变量的分布列、数学期望时,首先要分清事件的构成与性质,确定离散型随机变量的所有取值,然后根据概率类型选择公式,计算每个变量取每个值的概率,列出对应的分布列,最后求出数学期望.正态分布是一种重要的分布,之前考过一次,尤其是正态分布的原则.
【变式1】某种品牌摄像头的使用寿命ξ(单位:年)服从正态分布,且使用寿命不少于2年的概率为0.8,使用寿命不少于6年的概率为0.2.某校在大门口同时安装了两个该种品牌的摄像头,则在4年内这两个摄像头都能正常工作的概率为________.
【答案】
【变式2】【广西南宁2017届普通高中毕业班第二次模拟】某食品店为了了解气温对销售量的影响,随机记录了该店1月份中5天的日销售量(单位:千克)与该地当日最低气温(单位: )的数据,如下表:
x
2
5
8
9
11
y
12
10
8
8
7
(1)求出与的回归方程;
(2)判断与之间是正相关还是负相关;若该地1月份某天的最低气温为,请用所求回归方程预测该店当日的销售量;
(3)设该地1月份的日最低气温~,其中近似为样本平均数, 近似为样本方差,求.
附:①回归方程中, , .
②, ,若~,则, .
【解析】(1)因为令,, ,
所以,
所以
所以(或者: )
所以所求的回归方程是
【数学思想】
①数形结合思想.
②转化与化归思想.
【温馨提示】
①曲线与x轴之间面积为1.正态曲线关于直线x=μ对称,从而在关于x=μ对称的区间上概率相同.
②P(X≤a)=1-P(X≥a),P(X≤μ-a)=P(X≥μ+a).
【典例试题演练】
1.【2017云南大理统测】2016年1月某校高三年级1600名学生参加了教育局组织的期末统考,已知数学考试成绩(试卷满分为150分).统计结果显示数学考试成绩在80分到120分之间的人数约为总人数的,则此次统考中成绩不低于120分的学生人数约为( )
A.80 B.100 C.120 D.200
【答案】D
【解析】正态曲线图象的对称轴为,根据其对称性可知, 成绩不低于分的学生人数约为
人,故选D.
2.【2017年第三次全国大联考】已知某次数学考试的成绩服从正态分布,则114分以上的成绩所占的百分比为(附:,
)
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由已知得,故
,故选D.
3.【2017山西晋城市模拟考试】已知展开式中的常数项为,且,则( )
(附:若随机变量,
则,
)
A. B. C. D.
【答案】B
4.设随机变量δ服从正态分布N(3,7),若p(δ>a+2)=p(δ<a-2),则a=( )
A.1 B.2 C.3 D.4
【答案】C
【解析】由已知若p(δ>a+2)=p(δ<a-2),则
5.已知随机变量X服从正态分布N(3,1),且P(l≤X≤5)=0.682 6,则( )
A.0.158 8 B.0.158 7 C.0.158 6 D.0.158 5
【答案】B
【解析】依题意,故选B.
6.【2017河北五邑四模】某校高考数学成绩近似地服从正态分布,且,则的值为( )
A. 0.49 B. 0.48 C. 0.47 D. 0. 46
【答案】D
【解析】依据题设条件及正太分布的对称性可知所以,则,所以,应选D.
7. 【2017荆、荆、襄、宜四地七校联考】设随机变量服从正态分布,若,则函数没有极值点的概率是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由 无相异实根得 ,因此函数没有极值点的概率是,选C.
8. 设有一正态总体,它的概率密度曲线是函数f(x)的图象,且f(x)=e (x∈R),则这个正态总体的平均数与标准差分别是( )
A.10与8 B.10与2 C.8与10 D.2与10
【答案】B
【解析】f(x)=e,所以σ=2,μ=10,即正态总体的平均数与标准差分别为10与2,故选B.
9. 已知三个正态分布密度函数φi(x)=e-(x∈R,i=1,2,3)的图象如图所示,则( )
A.μ1<μ2=μ3,σ1=σ2>σ3 B.μ1>μ2=μ3,σ1=σ2<σ3
C.μ1=μ2<μ3,σ1<σ2=σ3 D.μ1<μ2=μ3,σ1=σ2<σ3
【答案】D
【解析】由正态曲线关于直线x=μ对称,知μ1<μ2=μ3;σ的大小决定曲线的形状,σ越大,总体分布越分散,曲线越矮胖;σ越小,总体分布越集中,曲线越瘦高,则σ1=σ2<σ3.实际上,由φ1(μ1)=φ2(μ2)>φ3(μ3),则=> ,即σ1=σ2<σ3.故选D.
7. (2017·石家庄模拟)设X~N(1,σ2),其正态分布密度曲线如图所示,且P(X≥3)=0.022 8,那么向正方形OABC中随机投掷20 000个点,则落入阴影部分的点的个数的估计值为( )
附:(随机变量ξ服从正态分布N(1,σ2),则P(μ-σ<ξ<μ+σ)=0.682 6,P(μ-2σ<ξ<μ+2σ)=0.954 4).
A.12 076 B.13 174 C.14 056 D.7 539
【答案】B
11.【2017年原创押题预测卷02(山东卷)】已知,且,则若,则 .
【答案】
【解析】因为,故由可得,解得,
故.由可得,
由正态曲线的对称性可知,
所以.
12.【2017四川资阳模拟】已知随机变量X服从正态分布N(2,σ²),且P(0≤X≤2)=0.3,则P(X>4)=_____.
【答案】0.2;
【解析】由题意结合正态分布的性质可知: ,
则.
13.【2017湖北省黄石市调研】已知随机变量服从正态分布,且,则___________.
【答案】0.3
【解析】
14.【2017广东省汕头市模拟】为评估设备生产某种零件的性能,从设备生产零件的流水线上随机抽取100件零件作为样本,测量其直径后,整理得到下表:
直径/
58
59
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
73
合计
件数
1
1
3
5
6
19
33
18
4
4
2
1
2
1
100
经计算,样本的平均值,标准差,以频率值作为概率的估计值.
(1)为评判一台设备的性能,从该设备加工的零件中任意抽取一件,记其直径为,并根据以下不等式进行评判(表示相应事件的概率);①;
②;③.
评判规则为:若同时满足上述三个不等式,则设备等级为甲;仅满足其中两个,则等级为乙;若仅满足其中一个,则等级为丙;若全部不满足,则等级为丁,试判断设备的性能等级.
(2)将直径小于等于或直径大于的零件认为是次品.
(ⅰ)从设备的生产流水线上随意抽取2件零件,计算其中次品个数的数学期望;
(ⅱ)从样本中随意抽取2件零件,计算其中次品个数的数学期望.
(2)由图表知道:直径小于或等于的零件有2件,大于的零件有4件共计6件
(i)从设备的生产流水线上任取一件,取到次品的概率为,
依题意,故.
(ii)从100件样品中任意抽取2件,次品数的可能取值为0,1,2
故.
15.(2014·新课标全国卷Ⅰ)从某企业生产的某种产品中抽取500件,测量这些产品的一项质量指标值,由测量结果得如下频率分布直方图:
(1)求这500件产品质量指标值的样本平均数和样本方差s2(同一组中的数据用该区间的中点值作代表);
(2)由直方图可以认为,这种产品的质量指标值Z服从正态分布N(μ,σ2),其中μ近似为样本平均数,σ2近似为样本方差s2.
①利用该正态分布,求P(187.8