2019高三数学理北师大版一轮课时分层训练7　二次函数与幂函数 7页

课时分层训练(七)　二次函数与幂函数 ‎(对应学生用书第218页)‎ A组　基础达标 一、选择题 ‎1．函数y＝的图像大致是(　　)‎ C　[y＝＝x，其定义域为R，排除A，B，又0＜＜1，图像在第一象限为上凸的，排除D，故选C.]‎ ‎2．函数f(x)＝2x2－mx＋3，当x∈[－2，＋∞)时，f(x)是增函数，当x∈(－∞，－2]时，f(x)是减函数，则f(1)的值为(　　) ‎ ‎【导学号：79140039】‎ A．－3　　　　　　 B．13‎ C．7 D．5‎ B　[函数f(x)＝2x2－mx＋3图像的对称轴为直线x＝，由函数f(x)的增减区间可知＝－2，∴m＝－8，即f(x)＝2x2＋8x＋3，∴f(1)＝2＋8＋3＝13.]‎ ‎3．已知a，b，c∈R，函数f(x)＝ax2＋bx＋c.若f(0)＝f(4)＞f(1)，则(　　)‎ A．a＞0,4a＋b＝0 B．a＜0,4a＋b＝0‎ C．a＞0,2a＋b＝0 D．a＜0,2a＋b＝0‎ A　[因为f(0)＝f(4)＞f(1)，所以函数图像应开口向上，即a ‎＞0，且其对称轴为x＝2，即－＝2，所以4a＋b＝0.]‎ ‎4．已知函数y＝ax2＋bx＋c，如果a>b>c且a＋b＋c＝0，则它的图像可能是(　　)‎ D　[由a＋b＋c＝0，a＞b＞c知a＞0，c＜0，则＜0，‎ ‎∴函数图像与x轴交点的横坐标之积为负数，即两个交点分别位于x轴的正半轴和负半轴，故排除B，C.又f(0)＝c＜0，∴也排除A.]‎ ‎5．若函数f(x)＝x2－ax－a在区间[0,2]上的最大值为1，则实数a等于(　　)‎ A．－1　　 B．1 ‎ C．2　　 D．－2‎ B　[∵函数f(x)＝x2－ax－a的图像为开口向上的抛物线，‎ ‎∴函数的最大值在区间的端点取得．‎ ‎∵f(0)＝－a，f(2)＝4－3a，‎ ‎∴或解得a＝1.]‎ 二、填空题 ‎6．已知点(，2)在幂函数y＝f(x)的图像上，点在幂函数y＝g(x)的图像上，若f(x)＝g(x)，则x＝________. ‎ ‎【导学号：79140040】‎ ‎±1　[由题意，设f(x)＝xα，则2＝()α，得α＝2.设g(x)＝xβ，则＝(－)β，得β＝－2.由f(x)＝g(x)，得x2＝x－2，解得x＝±1.]‎ ‎7．已知二次函数y＝x2＋2kx＋3－2k，则其图像的顶点位置最高时对应的解析式为________．‎ y＝x2－2x＋5　[y＝x2＋2kx＋3－2k＝(x＋k)2－k2－2k＋3，所以图像的顶点坐标为(－k，－k2－2k＋3)．‎ 因为－k2－2k＋3＝－(k＋1)2＋4，所以当k＝－1时，顶点位置最高．此时抛物线的解析式为y＝x2－2x＋5.]‎ ‎8．已知函数y＝f(x)是偶函数，当x＞0时，f(x)＝(x－1)2，若当x∈时，n≤f(x)≤m恒成立，则m－n的最小值为________．‎ ‎1　[当x＜0时，－x＞0，f(x)＝f(－x)＝(x＋1)2.‎ ‎∵x∈，‎ ‎∴f(x)min＝f(－1)＝0，f(x)max＝f(－2)＝1，‎ ‎∴m≥1，n≤0，m－n≥1，∴m－n的最小值是1.]‎ 三、解答题 ‎9．已知幂函数f(x)＝x (m∈N＋)经过点(2，)，试确定m的值，并求满足条件f(2－a)＞f(a－1)的实数a的取值范围. ‎ ‎【导学号：79140041】‎ ‎[解]　幂函数f(x)经过点(2，)，‎ ‎∴＝2，即2＝2，‎ ‎∴m2＋m＝2，解得m＝1或m＝－2.‎ 又∵m∈N＋，∴m＝1.‎ ‎∴f(x)＝x，则函数的定义域为[0，＋∞)，‎ 并且在定义域上为增函数．‎ 由f(2－a)＞f(a－1)，得 解得1≤a＜.‎ ‎∴a的取值范围为.‎ ‎10．已知函数f(x)＝x2＋(2a－1)x－3.‎ ‎(1)当a＝2，x∈[－2,3]时，求函数f(x)的值域；‎ ‎(2)若函数f(x)在[－1,3]上的最大值为1，求实数a的值．‎ ‎[解]　(1)当a＝2时，f(x)＝x2＋3x－3，x∈[－2,3]，‎ 对称轴x＝－∈[－2,3]，‎ ‎∴f(x)min＝f＝－－3＝－，‎ f(x)max＝f(3)＝15，‎ ‎∴值域为.‎ ‎(2)对称轴为x＝－.‎ ‎①当－≤1，即a≥－时，‎ f(x)max＝f(3)＝6a＋3，‎ ‎∴6a＋3＝1，即a＝－满足题意；‎ ‎②当－＞1，即a＜－时，‎ f(x)max＝f(－1)＝－2a－1，‎ ‎∴－2a－1＝1，即a＝－1满足题意．‎ 综上可知a＝－或－1.‎ B组　能力提升 ‎11．(2017·江西九江一中期中)函数f(x)＝(m2－m－1)x是幂函数，对任意的x1，x2∈(0，＋∞)，且x1≠x2，满足＞0，若a，b∈R，且a＋b＞0，ab＜0，则f(a)＋f(b)的值(　　)‎ A．恒大于0　　　　　 B．恒小于0‎ C．等于0 D．无法判断 A　[∵f(x)＝(m2－m－1)x是幂函数，‎ ‎∴m2－m－1＝1，解得m＝2或m＝－1.‎ 当m＝2时，指数4×29－25－1＝2 015＞0，满足题意．‎ 当m＝－1时，指数4×(－1)9－(－1)5－1＝－4＜0，不满足题意，‎ ‎∴f(x)＝x2 015.‎ ‎∴幂函数f(x)＝x2 015是定义域R上的奇函数，且是增函数．‎ 又∵a，b∈R，且a＋b＞0，∴a＞－b，‎ 又ab＜0，不妨设b＜0，‎ 则a＞－b＞0，∴f(a)＞f(－b)＞0，‎ 又f(－b)＝－f(b)，‎ ‎∴f(a)＞－f(b)，∴f(a)＋f(b)＞0.故选A.]‎ ‎12．(2018·福州质检)已知函数f(x)＝x2－πx，α，β，γ∈(0，π)，且sin α＝，tan β＝，cos γ＝－，则(　　)‎ A．f(α)＞f(β)＞f(γ) B．f(α)＞f(γ)＞f(β)‎ C．f(β)＞f(α)＞f(γ) D．f(β)＞f(γ)＞f(α)‎ A　[因为函数f(x)＝x2－πx是二次函数，对称轴为x＝，开口向上，所以f(x)在上单调递减，在上单调递增；又α，β，γ∈(0，π)，则sin α＝＜sin β＝＜sin γ＝，所以＞＞，则f(α)＞f(β)＞f(γ)，故选A.]‎ ‎13．已知函数f(x)＝x2－(a－1)x＋5在区间上为增函数，那么f(2)的取值范围是________. ‎ ‎【导学号：79140042】‎ ‎[7，＋∞)　[函数f(x)＝x2－(a－1)x＋5在区间上为增函数，由于其图像(抛物线)开口向上，所以其对称轴为x＝或与直线x＝重合或位于直线x＝的左侧，即应有≤，解得a≤2，所以f(2)＝4－(a－1)×2＋5≥7，即f(2)≥7.]‎ ‎14．已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋1(a，b∈R)，x∈R.‎ ‎(1)若函数f(x)的最小值为f(－1)＝0，求f(x)的解析式，并写出单调区间；‎ ‎(2)在(1)的条件下，f(x)＞x＋k在区间[－3，－1]上恒成立，试求k的取值范围．‎ ‎[解]　(1)由题意知 解得 所以f(x)＝x2＋2x＋1，‎ 由f(x)＝(x＋1)2知，函数f(x)的单调递增区间为[－1，＋∞)，单调递减区间为(－∞，－1]．‎ ‎(2)由题意知，x2＋2x＋1＞x＋k在区间[－3，－1]上恒成立，即k＜x2＋x＋1在区间[－3，－1]上恒成立，‎ 令g(x)＝x2＋x＋1，x∈[－3，－1]，‎ 由g(x)＝2＋知g(x)在区间[－3，－1]上是减函数，则g(x)min＝g(－1)＝1，所以k＜1，‎ 即k的取值范围是(－∞，1)．‎