专题11 导数的几何意义-备战2018高考技巧大全之高中数学黄金解题模板 34页

‎【高考地位】‎ 导数的几何意义是高考重点考查的内容，常与解析几何知识交汇命题，旨在考查学生对导数的几何意义的正确理解. 导数的几何意义主要用于求曲线的切线方程，在高考中多以选择题和填空题的形式出现，有时也出现在解答题中关键的一步，其试题难度考查相对较小.‎ ‎【方法点评】‎ 类型一 过曲线上一点求曲线的切线方程 使用情景：过曲线上一点求曲线的切线方程 解题模板：第一步 计算函数的在曲线上该点处的导函数；‎ 第二步 运用导数的几何意义即可求出所求切线方程的斜率；‎ 第三步 得出结论.‎ 例1 曲线在点处的切线方程是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【变式演练1】曲线在点处的切线方程为（ ）‎ A． B． ‎ C． D． ‎【答案】B ‎【解析】对求导得,代入得,则切线方程为 ,即.故选B.‎ 考点：导数的概念及其几何性质.‎ ‎【变式演练2】设函数，若曲线在点处的切线方程为，则点的坐标为（ ）．‎ A. B. C. D. 或 ‎【答案】D 考点：导数的几何意义．‎ ‎【变式演练3】过函数图像上一个动点作函数的切线，则切线倾斜角的范围是_________．‎ ‎【答案】 ‎【解析】‎ 试题分析：切线倾斜角的范围是．‎ 考点：1、函数的导数；2、切线的斜率与倾斜角．‎ ‎【变式演练4】曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形的外接圆方程是 ．‎ ‎【答案】 ‎【解析】‎ 试题分析：因,故切线的斜率,切线方程为,令;‎ 令交点坐标分别为,由题设是直径,圆心为,则圆的方程为.‎ 考点：导数的几何意义和圆的方程．‎ ‎【变式演练5】若曲线在点处的切线与直线平行，则__________．‎ ‎【答案】 ‎【解析】‎ 试题分析：∵，，∴，∴，故答案为.‎ 考点：利用导数求切线斜率. ‎ ‎【变式演练6】曲线,在处的切线斜率为 ．‎ ‎【答案】-1‎ ‎【解析】‎ 试题分析：，当时，，故填：-1.‎ 考点：导数的几何意义 类型二 过曲线外一点求曲线的切线方程 使用情景：过曲线外一点求曲线的切线方程 解题模板：第一步 设出切点的坐标为并求出函数在切点处的导数；‎ 第二步 充分考虑题目的已知条件，抓住切线的定义，挖掘题目的隐含条件，寻找解题的等量 关系；‎ 第三步 利用方程的思想即可得出结论.‎ 例2 若直线是曲线的一条切线，则______．‎ ‎【答案】 ‎（2）利用导数的几何意义解题，主要是利用导数、切点坐标、切线斜率之间的关系来进行转化.以平行、垂直直线斜率间的关系为载体求参数的值，则要求掌握平行、垂直与斜率之间的关系，进而和导数联系起来求解. ‎ ‎【变式演练7】若直线是函数图象的一条切线，则（ ）‎ A．1 B． C．2 D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：直线过，，设切点为，故切线方程为，将代入切线方程，解得，代入，解得．‎ 考点：导数与切线．‎ ‎【变式演练8】已知直线与曲线相切，则的值为___________．‎ ‎【答案】2‎ 考点：导数的几何意义．‎ ‎【变式演练9】函数在点处的切线与函数的图象也相切，则满足条件的切点的个数有_______个.‎ ‎【答案】2.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：因为，所以切线的方程为，即.设直线与曲线的图象相切点，则，所以，所以，所以直线也为，即，于是可得，即.然后分别画出函数与的图像，可知函数与有两个交点，进而得出满足条件的切点的个数有2个，故应填2.‎ 考点：1、导数的几何意义；2、函数的图像及其性质. ‎ ‎【变式演练10】若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则_________.‎ ‎【答案】 考点：导数的几何意义 ‎【变式演练11】 已知函数，直线过原点且与曲线相切，其切点的横坐标从小到大依次排列为，则下列说法正确的是（ ）‎ A. B. 数列为等差数列 C. D. ‎【答案】D ‎【解析】易得，故A错误，设切点为， ，则切线的斜率为，又切线过原点， 则，整理得，即① ，故B,C错误，‎ 因为，‎ 由①得，‎ 即，整理得，‎ 故选D 点睛：求曲线的切线方程是导数的重要应用之一，用导数求切线方程的关键在于求出切点及斜率，其求法为：设是曲线上的一点，则以的切点的切线方程为： ．若曲线在点的切线平行于轴（即导数不存在）时，由切线定义知，切线方程为．‎ ‎【高考再现】‎ ‎1.【2017全国I文，9】已知函数，则 A．在（0，2）单调递增 B．在（0，2）单调递减 C．y=的图像关于直线x=1对称 D．y=的图像关于点（1，0）对称 ‎【答案】C ‎ 2.【2016高考山东理数】若函数的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称具有T性质.下列函数中具有T性质的是（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D） ‎【答案】A 考点：1.导数的计算；2.导数的几何意义.‎ ‎【名师点睛】本题主要考查导数的计算、导数的几何意义及两直线的位置关系，本题给出常见的三角函数、指数函数、对数函数、幂函数，突出了高考命题注重基础的原则.解答本题，关键在于将直线的位置关系与直线的斜率、切点处的导数值相联系，使问题加以转化，利用特殊化思想解题，降低难度.本题能较好的考查考生分析问题解决问题的能力、基本计算能力及转化与化归思想的应用等. ‎ ‎3. 【2016年高考四川理数】设直线l1，l2分别是函数f(x)= 图象上点P1，‎ P2处的切线，l1与l2垂直相交于点P，且l1，l2分别与y轴相交于点A，B，则△PAB的面积的取值范围是( )‎ ‎（A）(0,1) （B）(0,2) （C）(0,+∞) （D）(1,+∞)‎ ‎【答案】A 考点：1.导数的几何意义；2.两直线垂直关系；3.直线方程的应用；4.三角形面积取值范围.‎ ‎【名师点睛】本题首先考查导数的几何意义，其次考查最值问题，解题时可设出切点坐标，利用切线垂直求出这两点的关系，同时得出切线方程，从而得点坐标，由两直线相交得出点坐标，从而求得面积，题中把面积用表示后，可得它的取值范围．解决本题可以是根据题意按部就班一步一步解得结论．这也是我们解决问题的一种基本方法，朴实而基础，简单而实用．‎ ‎4.【2017天津文，10】已知，设函数的图象在点（1，）处的切线为l，则l在y轴上的截距为 .‎ ‎【答案】 ‎ ‎ 5.【2017全国文，14】曲线在点（1，2）处的切线方程为______________．‎ ‎【答案】 ‎6. 【2016高考新课标3理数】已知为偶函数，当时，，则曲线 在点处的切线方程是_______________．‎ ‎【答案】 ‎ 7.【2015高考陕西，文15】函数在其极值点处的切线方程为____________.‎ ‎【答案】 ‎【解析】，令，此时 函数在其极值点处的切线方程为 ‎【考点定位】：导数的几何意义.‎ ‎【名师点睛】1.本题考查导数的几何意义，利用导数研究曲线上某点处切线方程等基础知识，考查运算求解能力.2.解决导数几何意义的问题时要注意抓住切点的三重作用：切点在曲线上；切点在切线上；切点处导函数值等于切线斜率. ‎ ‎8. 【2015高考新课标1，文14】已知函数的图像在点的处的切线过点，则 .‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】‎ 试题分析：∵，∴，即切线斜率，‎ 又∵，∴切点为（1，），∵切线过（2,7），∴，解得1.‎ 考点：利用导数的几何意义求函数的切线；常见函数的导数；‎ ‎【名师点睛】对求过某点的切线问题，常设出切点，利用导数求出切线方程，将已知点代入切线方程得到关于切点横坐标的方程，解出切点的横坐标，即可求出切线方程，思路明确，关键是运算要细心.‎ ‎9. 【2015新课标2文16】已知曲线在点 处的切线与曲线 相切,则a= ．‎ ‎【答案】8‎ ‎【考点定位】本题主要考查导数的几何意义及直线与抛物线相切问题.‎ ‎【名师点睛】求曲线在某点处的切线方程的方法是：求出函数在该点处的导数值即为切线斜率,然后用点斜式就可写出切线方程.而直线与抛物线相切则可以通过判别式来解决,本题将导数的几何意义与二次函数交汇在一起进行考查,具有小题综合化的特点.‎ ‎10.【2017天津文，19】设，.已知函数，.‎ ‎（Ⅰ）求的单调区间；‎ ‎（Ⅱ）已知函数和的图象在公共点（x0，y0）处有相同的切线，‎ ‎（i）求证：在处的导数等于0；‎ ‎（ii）若关于x的不等式在区间上恒成立，求b的取值范围.‎ ‎【答案】（Ⅰ）递增区间为，，递减区间为.（2）（ⅰ）在处的导数等于0.（ⅱ）的取值范围是.‎ 试题解析：（I）由，可得 ‎，‎ 令，解得，或.由，得.‎ 当变化时，，的变化情况如下表：‎ 所以，的单调递增区间为，，单调递减区间为.‎ ‎（II）（i）因为，由题意知，所以，解得.‎ 所以，在处的导数等于0.‎ ‎（ii）因为，，由，可得.又因为，，故为的极大值点，由（I）知.‎ 另一方面，由于，故，‎ 由（I）知在内单调递增，在内单调递减，‎ 故当时，在上恒成立，从而在上恒成立.‎ ‎【考点】1.导数的几何意义；2.导数求函数的单调区间；3.导数的综合应用.‎ ‎【名师点睛】本题本题考点为导数的应用，本题属于中等问题，第一问求导后要会分解因式，并且根据条件能判断两个极值点的大小关系，避免讨论，第二问导数的几何意义，要注意切点是公共点，切点处的导数相等的条件，前两问比较容易入手，但第三问，需分析出 ，同时根据单调性判断函数的最值，涉及造函数解题较难，这一问思维巧妙，有选拔优秀学生的功能.‎ ‎11.【2016年高考北京理数】设函数，曲线在点处的切线方程为，‎ ‎（1）求，的值；‎ ‎（2）求的单调区间.‎ ‎【答案】（Ⅰ），；（2）的单调递增区间为.‎ 考点：导数的应用.‎ ‎【名师点睛】用导数判断函数的单调性时，首先应确定函数的定义域，然后在函数的定义域内，通过讨论导数的符号，来判断函数的单调区间．在对函数划分单调区间时，除了必须确定使导数等于0的点外，还要注意定义区间内的间断点．‎ ‎12.【2016高考新课标2文数】已知函数.‎ ‎（I）当时，求曲线在处的切线方程；‎ ‎（Ⅱ）若当时，，求的取值范围.‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ） ‎（II）当时，等价于 令，‎ 则，‎ ‎（i）当，时， ，‎ 故在上单调递增，因此；‎ ‎（ii）当时，令得，‎ 由和得，‎ 故当时，，在单调递减，因此.‎ 综上，的取值范围是 考点： 导数的几何意义，函数的单调性.‎ ‎【名师点睛】求函数的单调区间的方法：‎ ‎(1)确定函数y＝f(x)的定义域；‎ ‎(2)求导数y′＝f′(x)；‎ ‎(3)解不等式f′(x)>0，解集在定义域内的部分为单调递增区间；‎ ‎(4)解不等式f′(x)<0，解集在定义域内的部分为单调递减区间．‎ ‎13.【2016高考北京文数】设函数 ‎（I）求曲线在点处的切线方程；‎ ‎（II）设，若函数有三个不同零点，求c的取值范围；‎ ‎（III）求证：是有三个不同零点的必要而不充分条件.‎ ‎【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）;（III）见解析.‎ ‎（II）当时，，‎ 所以．‎ 令，得，解得或．‎ 与在区间上的情况如下：‎ 所以，当且时，存在，，‎ ，使得．‎ 由的单调性知，当且仅当时，函数有三个不同零点．‎ 综上所述，若函数有三个不同零点，则必有．‎ 故是有三个不同零点的必要条件．‎ 当，时，，只有两个不同 点， 所以不是有三个不同零点的充分条件．‎ 因此是有三个不同零点的必要而不充分条件．‎ 考点：利用导数研究曲线的切线；函数的零点 ‎【名师点睛】‎ ‎1．证明不等式问题可通过作差或作商构造函数，然后用导数证明．‎ ‎2．求参数范围问题的常用方法：(1)分离变量；(2)运用最值．‎ ‎3．方程根的问题：可化为研究相应函数的图象，而图象又归结为极值点和单调区间的讨论．‎ ‎4．高考中一些不等式的证明需要通过构造函数，转化为利用导数研究函数的单调性或求最值，从而证得不等式，而如何根据不等式的结构特征构造一个可导函数是用导数证明不等式的关键．‎ ‎14.【2015高考天津理20】已知函数，其中.‎ ‎(I)讨论的单调性；‎ ‎(II)设曲线与轴正半轴的交点为P，曲线在点P处的切线方程为,求证：对于任意的正实数，都有；‎ ‎(III)若关于的方程有两个正实根，求证： ‎【答案】(I) 当为奇数时，在，上单调递减，在内单调递增；当为偶数时，在上单调递增，在上单调递减. (II)见解析； (III)见解析.‎ ‎ ‎ ‎(II)证明：设点的坐标为，则，，曲线在点处的切线方程为，即，令，即，则 由于在上单调递减，故在上单调递减，又因为，所以当时，，当时，，所以 在内单调递增，在内单调递减，所以对任意的正实数都有，即对任意的正实数，都有.‎ ‎【考点定位】1.导数的运算；2.导数的几何意义；3.利用导数研究函数性质、证明不等式.‎ ‎【名师点睛】本题主要考查函数的性质与导数之间的关系以及利用函数证明不等式.第(I)小题求导后分为奇偶数讨论函数的单调性，体现了数学分类讨论的重要思想；第(II)(III)中都利用了构造函数证明不等式这一重要思想方法，体现数学中的构造法在解题中的重要作用，是拨高题.‎ ‎15.【2015高考重庆，理20】 设函数 ‎ （1）若在处取得极值，确定的值，并求此时曲线在点处的切线方程；‎ ‎ （2）若在上为减函数，求的取值范围。‎ ‎【答案】（1），切线方程为；（2）.‎ ‎【考点定位】复合函数的导数，函数的极值，切线，单调性．考查综合运用数学思想方法分析与解决问题的能力．‎ ‎【名师点晴】导数及其应用通常围绕四个点进行命题．第一个点是围绕导数的几何意义展开，设计求曲线的切线方程，根据切线方程求参数值等问题，这类试题在考查导数的几何意义的同时也考查导数的运算、函数等知识，试题的难度不大；第二个点是围绕利用导数研究函数的单调性、极值(最值)展开，设计求函数的单调区间、极值、最值，已知单调区间求参数或者参数范围等问题，在考查导数研究函数性质的同时考查分类与整合思想、化归与转化思想等数学思想方法；第三个点是围绕导数研究不等式、方程展开，涉及不等式的证明、不等式的恒成立、讨论方程根等问题，主要考查通过转化使用导数研究函数性质并把函数性质用来分析不等式和方程等问题的能力，该点和第二个点一般是解答题中的两个设问，考查的核心是导数研究函数性质的方法和函数性质的应用；第四个点是围 数性质并把函数性质用来分析不等式和方程等问题的能力，该点和第二个点一般是解答题中的两个设问，考查的核心是导数研究函数性质的方法和函数性质的应用；本题涉及第一个点和第二个点，主要注意问题的转化，转化为不等式恒成立，转化为二次函数的性质．‎ ‎16.【2015高考新课标1，理21】已知函数f（x）=.‎ ‎(Ⅰ)当a为何值时，x轴为曲线 的切线；‎ ‎（Ⅱ）用 表示m,n中的最小值，设函数 ，讨论h（x）零点的个数.‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）当或时，由一个零点；当或时，有两个零点；当时，有三个零点.‎ ‎ (ⅱ)若，则在（0，）单调递减，在（，1）单调递增，故当=时， ‎ ‎【反馈练习】‎ ‎1．【2018届江西省高三年级阶段性检测考试（二）文科数学试题】曲线在点处的切线方程是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】，因此切线方程是，选D.‎ ‎2．【2018届江西省高三年级阶段性检测考试（二）文科数学试题】已知函数的导函数是，且，则实数的值为（ ）‎ A. B. C. D. 1‎ ‎【答案】B ‎【解析】，选B.‎ ‎3．【2018届辽宁省凌源二中高三三校联考理数试卷】已知曲线在点处的切线的倾斜角为，则（ ）‎ A. B. C. 2 D. ‎【答案】B ‎ 4．【2018届广西柳州市高三毕业班上学期摸底联考数学（理）试题】已知函数，直线过点且与曲线相切，则切点的横坐标为（ ）‎ A. 1 B. C. 2 D. ‎【答案】A ‎【解析】设切点 ，令，选A.‎ 点睛：利用导数的几何意义解题，主要是利用导数、切点坐标、切线斜率之间的关系来进行转化.以平行、垂直直线斜率间的关系为载体求参数的值，则要求掌握平行、垂直与斜率之间的关系，进而和导数联系起来求解.‎ ‎5．【2018届齐鲁名校教科研协作高三第一次调研联考（理）数学试题】已知曲线恰好存在两条公切线，则实数的取值范围是 A. B. C. D. ‎【答案】D ‎ 6．【2017届辽宁省辽南协作校高三一模拟考试数学（理）试题】已知函数在上满足，则曲线在点处的切线方程是（ ）‎ A. B. C. D. ‎【答案】D ‎【解析】由可得，即代入可得，即，故，则切线的斜率，因为，所以切线方程为，即，应选答案D。‎ 点睛：解答本题的关键是求出函数的解析表达式，求解时充分利用题设中提供 的函数解析式方程，巧妙运用变量替换得到方程，即，然后代入解得，即 ，然后再运用导数的几何意义从而使得问题巧妙获解。‎ ‎7．【2018届河南省郑州市第一中学高三上学期入学考试数学（理）试题】数学上称函数（， ， ）为线性函数.对于非线性可导函数，在点附近一点的函数值，可以用如下方法求其近似代替值： .利用这一方法， 的近似代替值（ ）‎ A. 大于 B. 小于 C. 等于 D. 与的大小关系无法确定 ‎【答案】A ‎ 8．【2018届云南省昆明一中高三第一次摸底测试文数学试题】函数在处的切线方程为__________．‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】因为，所以切线的斜率，所以切线方程为.‎ ‎9．【2018届齐鲁名校教科研协作体高三第一次调研联考（理）数学试题】已知点P在曲线C: 上，则曲线C在P处切线的倾斜角的取值范围是 _________.‎ ‎【答案】 ‎【解析】由，所以 ‎10．【2018届河北省武邑中学高三上学期第二次调研数学（文）试题】若函数的图象在处的切线方程是，则__________．‎ ‎【答案】3‎ ‎【解析】∵函数的图象在处的切线方程是 ‎∴，‎ ‎∴ 故答案为：3 ‎ 点睛：高考对导数几何意义的考查主要有以下几个命题角度：（1）已知切点求切线方程；‎ ‎（2）已知切线方程(或斜率)求切点或曲线方程；（3）已知曲线求切线倾斜角的取值范围．‎ ‎11．【2018届河南省南阳市第一中学高三上学期第三次考试数学（文）试题】经过原点作函数图象的切线，则切线方程为__________．‎ ‎【答案】‎ 曲线在点的切线平行于轴（即导数不存在）时，由切线定义知，切线方程为．‎ ‎12．【2018级甘肃省兰州市西北师范大学附属中学高三一调理科数学试卷】对于三次函数，给出定义：设是函数的导数， 是的导数，若方程=0有实数解，则称点(， )为函数的“拐点”．经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且 “拐点”就是对称中心．设函数，则 ____________.‎ ‎【答案】 ‎ 13．【2018届湖北省部分重点中学高三上学期第一次联考数学（文）试题】已知函数， .‎ ‎（Ⅰ）若曲线在点处的切线与直线垂直，求函数的极值；‎ ‎（Ⅱ）设函数.当时，若区间上存在，使得，求实数的取值范围.（为自然对数底数）‎ ‎【答案】(1) 极小值为;(2) 实数的取值范围为.‎ ‎（2）令 ，‎ 则，欲使在区间上上存在，使得，‎ 只需在区间上的最小值小于零.‎ 令得， 或.‎ 当，即时， 在上单调递减，则的最小值为，‎ ‎∴，解得，‎ ‎∵，∴；‎ 当，即时， 在上单调递增，则的最小值为，‎ ‎∴，解得，∴；‎ 当，即时， 在上单调递减，在上单调递增，‎ 则的最小值为，‎ ‎∵，∴.‎ ‎∴，此时不成立.‎ 综上所述，实数的取值范围为 点睛：这个题目考查了函数的单调性和最值的综合应用，首先函数在某处的导数值，就是函数在这个点处的切线的斜率；对函数恒成立有解求参的问题，一般可以采用变量分离，转化为函数最值问题；还可以直接构造函数研究函数最值；还能分离成两个函数表达式，使其中一个函数图像在另一个的上方。‎ ‎14．【2018届四川省绵阳市高三第一次诊断性考试数学（文）试题】已知函数.‎ ‎（1）求在区间上的最值；‎ ‎（2）若过点可作曲线的3条切线，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（Ⅰ）最大值是10+a，最小值是(Ⅱ)．‎ 又，于是在上单调递减，在上单调递增．‎ ‎∵ ， ‎ ‎∴ 最大值是10+a，最小值是．‎ ‎ ‎ ‎15．【2018届齐鲁名校教科研协作体高三第一次调研联考数学（文）试题】‎ 已知函数， .‎ ‎（1）若直线是曲线与曲线的公切线，求；‎ ‎（2）设，若有两个零点，求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）或；（2）.‎ 则在点处的切线方程为： ，即.‎ 在点处的切线方程为： ，即.‎ 这两条直线为同一条直线，所以有 由（1）有，代入（2）中，有 ，则或.‎ 当时，切线方程为，所以,‎ ‎【方法点睛】本题主要考查利用导数的几何意义及利用导数研究函数的单调性，属于难题. 应用导数的几何意义求切点处切线的斜率，主要体现在以下几个方面：(1) 已知切点求斜率,即求该点处的导数；(2) 己知斜率求切点即解方程；(3) 巳知切线过某点 (不是切点) 求切点, 设出切点利用求解