2018-2019学年山西省晋中市高二上学期期末调研测试数学（文）试题（解析版） 15页

‎2018-2019学年山西省晋中市高二上学期期末调研测试数学（文）试题 一、单选题 ‎1．若曲线表示椭圆，则k的取值范围是　　‎ A． B．‎ C． D．或 ‎【答案】D ‎【解析】根据曲线表示椭圆列出不等式组，解出即可得的取值范围．‎ ‎【详解】‎ 由题设可得，解得，故选D．‎ ‎【点睛】‎ 对于曲线，‎ ‎（1）如果该曲线为椭圆，则，更一步地，如果表示焦点在轴上的椭圆，则有；如果表示焦点在的椭圆，则；‎ ‎（2）如果该曲线为双曲线，则，更一步地，如果表示焦点在轴上的双曲线，则有；如果表示焦点在的双曲线，则．‎ ‎2．下列说法错误的是　　‎ A．棱柱的侧面都是平行四边形 B．所有面都是三角形的多面体一定是三棱锥 C．用一个平面去截正方体，截面图形可能是五边形 D．将直角三角形绕其直角边所在直线旋转一周所得的几何体是圆锥 ‎【答案】B ‎【解析】由棱柱的性质可判断A；可举正八面体可判断B；用一个平面去截正方体，与正方体的五个面相交，可判断C；由圆锥的定义可判断D．‎ ‎【详解】‎ 由棱柱的性质可得棱柱的侧面都是平行四边形，则A正确；‎ 所有面都是三角形的多面体不一定是三棱锥，比如正八面体的各个面都是正三角形，则B错误；‎ 用一个平面去截正方体，与正方体的五个面相交，可得截面图形是五边形，则C正确；‎ 由圆锥的定义可得直角三角形绕其直角边所在直线旋转一周所得的几何体是圆锥，则D正确．‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查空间几何的性质，属于基本题．‎ ‎3．已知直线的方程为，直线的方程为，若，则　　‎ A．或 B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据两条直线平行得到系数满足的方程，解得的值后检验即可得到的值．‎ ‎【详解】‎ 因为，故，整理得到，‎ 解得或．‎ 当时，，，两直线重合，舎；‎ 当时，，，两直线平行，符合；‎ 故，选C．‎ ‎【点睛】‎ 如果，，‎ ‎（1）平行或重合等价于；‎ ‎（2）垂直等价于．‎ ‎4．已知圆，圆，则两圆的位置关系为（ ）．‎ A．外离 B．外切 C．相交 D．内切 ‎【答案】D ‎【解析】由于圆，‎ 即，表示以为圆心，‎ 半径等于的圆．‎ 圆，‎ 表示以为圆心，半径等于的圆．‎ 由于两圆的圆心距等于．‎ 故两个圆相内切．‎ 故选： ．‎ ‎5．实数x，y满足，则的最小值是　　‎ A．7 B．4 C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】由约束条件作出可行域，由的几何意义可知，为可行域内的动点 与定点连线的斜率，求出的斜率得最小值．‎ ‎【详解】‎ 可行域如图所示，的几何意义为可行域内的动点 与定点连线的斜率，由图形可得，故，故选C．‎ ‎【点睛】‎ 二元一次不等式组条件下的二元函数的最值问题，常通过线性规划来求最值，求最值时往往要考二元函数的几何意义，比如表示动直线的横截距的三倍 ，而则表示动点与的连线的斜率．‎ ‎6．某空间几何体的三视图如图所示，该几何体是　　‎ A．三棱柱 B．三棱锥 C．四棱柱 D．四棱锥 ‎【答案】D ‎【解析】根据三视图知该几何体是一个立放的四棱锥．‎ ‎【详解】‎ 根据三视图知，该几何体是一个立放的四棱锥，如图所示；‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】‎ 本题考察三视图，要求根据三视图复原几何体，属于基础题．‎ ‎7．下列命题中，真命题的个数是　　‎ ‎①若“”为真命题，则“”为真命题；‎ ‎②“，函数在定义域内单调递增”的否定；‎ ‎③ 为直线，，为两个不同的平面，若，，则；‎ ‎④“，”的否定为“，”．‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】利用复合命题的真假判断的正误；利用指数函数的单调性判断的正误；利用直线与平面垂直关系判断的正误；利用命题的否定判断的正误.‎ ‎【详解】‎ ‎①若“”为真命题，可知两个命题至少一个是真命题，若它们为一真一假，则“”为假命题，不正确；‎ ‎ ②“，函数在定义域内单调递增”的否定：“，函数在定义域内单调递减”；例如，在定义域内单调递减，所以②正确；‎ ‎③为直线， 为两个不同的平面，若，，则，也可能，所以③不正确；‎ ‎④“”的否定为“”，所以④不正确；‎ 只有②是真命题；‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】‎ 复合命题的真假判断为“一真必真，全假才假”，的真假判断为“全真才真，一假比假”，的真假判断是“真假相反”．对于立体几何中点、线、面的位置关系的判断题，要动态考虑它们的位置关系．‎ ‎8．函数的导函数的图象如图所示，则函数的图象可能是　　‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】结合导函数与原函数单调性的关系，绘制图像，即可。‎ ‎【详解】‎ 结合当，单调递增，当，单调递减，故选D。‎ ‎【点睛】‎ 本道题考查了导函数与原函数单调性的关系，难度较小。‎ ‎9．已知，是双曲线的左右焦点，P是双曲线右支上一点，M是 的中点，若，则是　　‎ A．10 B．8 C．6 D．4‎ ‎【答案】A ‎【解析】利用三角形中位线性质，求出，利用双曲线定义，求出．‎ ‎【详解】‎ 因为是的中点，是的中点，‎ 所以，因为，所以，‎ 因为在右支上，故，故，故选A．‎ ‎【点睛】‎ 一般地，圆锥曲线中与焦点有关的数学问题可以考虑用圆锥曲线的几何性质.圆锥曲线的几何性质包括第一定义和第二定义，前者可将与一个焦点有关的问题转化为与另一个焦点相关的数学问题，后者可将数学问题转化与相应准线的距离问题．‎ ‎10．在正四面体中，M是棱PA的中点，则异面直线MB与AC所成角的余弦值为　　‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】取中点，连结，则， 或其补角是异面直线与所成角，通过余弦定理可求的余弦值．‎ ‎【详解】‎ 如图，取中点，连结，‎ 设正四面体的棱长为2，则，，且，‎ 所以或其补角为异面直线与所成角，‎ 故异面直线与成角的余弦值为：‎ ‎．‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】‎ 异面直线所成的角为空间角，通常通过平移把空间角转化到平面角来求解，平面角可放置在常见的平面图形中（如三角形等），再用余弦定理等求出角的大小．‎ ‎11．对于直线m，n和平面，，则的一个充分条件是　　‎ A．，，， B．，，‎ C．，， D．，，‎ ‎【答案】C ‎【解析】A，B，D三个选项下的相交时，也满足每个选项的条件，所以由A，B，D中的条件得不出，而选项C可以得到平面同时和一条直线垂直，所以，所以C中的条件是的充分条件．‎ ‎【详解】‎ A这种情况下，可能相交，让都和交线平行即可；‎ B这种情况下，可能相交，让都和交线平行即可；‎ C因为，又，因同时和一直线垂直的两平面平行，故；‎ D.如果，也存在，且．‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 面面平行的判定可以由线面平行得到，但两条直线必须是一个平面中的两条相交直线．如果一条直线同时垂直于两个平面，那么这两个平面是平行的．‎ ‎12．已知的两个极值点分别为，，且，则函数　　‎ A． B． C．1 D．与b有关 ‎【答案】B ‎【解析】求出函数的导数，利用韦达定理得到满足的方程组，解方程组可以得到，从而可求．‎ ‎【详解】‎ ‎，故，，且，‎ 又，所以，故，解得（舎）或者．‎ 此时， ，‎ 故 ‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】‎ 如果在处及附近可导且的左右两侧导数的符号发生变化，则必为函数的极值点且．极大值点、极小值点的判断方法如下：‎ ‎（1）在的左侧附近，有，在的右侧附近，有，则为函数的极大值点；‎ ‎（2）在的左侧附近，有，在的右侧附近，有，则为函数的极小值点．‎ 二、解答题 ‎13．已知p：，q：，且p是q的充分不必要条件，求a的取值范围．‎ ‎【答案】或 ‎【解析】根据不等式的解法求出的等价条件，结合充分条件和必要条件的定义进行转化进行求解即可．‎ ‎【详解】‎ 由，‎ 得，由得，即，‎ 也就是或者，‎ 因为是的充分不必要条件，‎ 所以是的真子集，‎ 所以或，解得或 所以的取值范围是或．‎ ‎【点睛】‎ ‎（1）若是的必要不充分条件，则对应集合是对应集合的真子集；‎ ‎（2）是的充分不必要条件， 则对应集合是对应集合的真子集；‎ ‎（3）是的充分必要条件，则对应集合与对应集合相等；‎ ‎（4）是的既不充分又不必要条件， 对的集合与对应集合互不包含．‎ ‎14．已知物线C：过点 求抛物线C的方程；‎ 设F为抛物线C的焦点，直线l：与抛物线C交于A，B两点，求的面积．‎ ‎【答案】（1）；（2）12‎ ‎【解析】（1）将点的坐标代入抛物线，进行求解即可．‎ ‎（2）联立方程组，利用根与系数之间的关系结合三角形的面积公式进行求解．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）因为抛物线：过点，‎ 所以，解得，所以抛物线的方程为．‎ ‎（2）由抛物线的方程可知，直线与轴交于点，‎ 联立直线与抛物线方程，消去可得，‎ 所以，所以，‎ 所以的面积为．‎ ‎【点睛】‎ 直线与抛物线的位置关系，可通过联立直线方程和抛物线方程消去（或）得到关于（或）的方程，再利用韦达定理简化目标代数式，也可以直接求出相应的根，再考虑与交点有关的数学问题．‎ ‎15．如图，在四棱锥中，E是PC的中点，底面ABCD为矩形，，，为正三角形，且平面平面ABCD，平面ABE与棱PD交于点F．‎ 求证：；‎ 求三棱锥的体积．‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）‎ ‎【解析】（1）先利用线面平行的判定定理得平行平面，再用线面平行的性质定理得平行；‎ ‎（2）通过转换顶点把问题转化为求的体积，求解就容易了．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）证明：在矩形中，，面，平面，‎ 平面，又平面，平面平面，；‎ ‎（2）由（1）可知，为中点，为中点，连接，‎ 平面平面，平面，平面平面，，平面，‎ ‎．‎ ‎【点睛】‎ 线面平行的证明的关键是在面中找到一条与已知直线平行的直线，找线的方法是平行投影或中心投影，我们也可以通过面面平行证线面平行，这个方法的关键是构造过已知直线的平面，证明该平面与已知平面平行. 又三棱锥的体积的计算需选择合适的顶点和底面，此时顶点到底面的距离容易计算.‎ ‎16．已知动点M到点与点的距离之比等于2，记动点M的轨迹为曲线C．‎ 求曲线C的方程；‎ 过点作曲线C的切线，求切线方程．‎ ‎【答案】（1）；（2）或 ‎【解析】（1）设点的坐标为，根据距离公式列等式，化简即可得出曲线的方程；‎ ‎（2）对切线斜率是否存在进行分类讨论，结合圆心到直线的距离等于2可得出切线的方程．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）设动点的坐标为，‎ 则， ‎ 所以，化简得，‎ 因此，动点的轨迹方程为；‎ ‎（2）当过点的直线无斜率时，直线方程为，‎ 圆心到直线的距离等于，此时直线与曲线相切；‎ 当切线有斜率时，不妨设斜率为，‎ 则切线方程为，即，‎ 由圆心到直线的距离等于半径可知，，解得．‎ 所以，切线方程为．‎ 综上所述，切线方程为或．‎ ‎【点睛】‎ 此类问题为“隐形圆问题”，常规的处理办法是找出动点所在的轨迹（通常为圆），常见的“隐形圆”有：‎ ‎（1）如果为定点，且动点满足，则动点 的轨迹为圆；‎ ‎（2）如果中，为定长，为定值，则动点的轨迹为一段圆弧．‎ ‎17．已知函数．‎ 当时，求在处的切线方程；‎ 讨论的单调性．‎ ‎【答案】（1）；（2）见解析 ‎【解析】（1）代入的值，求出函数的导数，求出切线方程即可；‎ ‎（2）求出函数的导数，通过讨论的范围及相应的导数的符号，求出函数的单调区间即可；‎ ‎【详解】‎ ‎（1）当时，，‎ ‎，，又，‎ 故切线方程为，即．‎ ‎（2）函数的定义域是，‎ ‎，‎ 当时， ，故在为增函数；‎ 当时，若，则；若，则，‎ 故在上为减函数；在上为增函数．‎ 综上，时，在为增函数；‎ 时，在上为减函数；在上为增函数．‎ ‎【点睛】‎ 一般地，若在区间上可导，且，则在上为单调增（减）函数；反之，若在区间上可导且为单调增（减）函数，则．‎ ‎18．已知椭圆的右焦点为，且过点 求椭圆的标准方程；‎ 设直线l：与椭圆在第一象限的交点为M，过点F且斜率为的直线与l交于点N，若与的面积之比为3：为坐标原点，求k的值．‎ ‎【答案】（1）；（2）或 ‎【解析】（1）根据题意列出有关的方程组，求出这两个数的值，即可求出椭圆的标准方程；‎ ‎（2）设点的坐标为，点的坐标，利用已知条件可得，然后将直线的方程分别与椭圆方程和直线的方程联立，求出点的坐标，结合条件可求出的值．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由题意可知，解得（负值舍去），‎ 所以椭圆的标准方程为．‎ ‎（2）设点的坐标为，点的坐标，由题可知，‎ 与的面积之比为3：2，与的面积之比为2：5，‎ 也即 ．‎ 由，消去，可得，‎ 易知直线的方程为，‎ 由，消去，可得，‎ 所以，整理得，解得或．‎ ‎【点睛】‎ 求椭圆的标准方程，关键是基本量的确定，方法有待定系数法、定义法等. 直线与圆锥曲线的位置关系中的弦长、面积等问题，可以联立直线方程与椭圆方程，求出一些关键的点，再利用这些关键点之间的关系构建目标变量的方程.‎ 三、填空题 ‎19．已知，则_________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】先求导，再代值计算．‎ ‎【详解】‎ ‎，所以，故，‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了导数的运算法则，属于基础题．‎ ‎20．已知命题“，”是真命题，则实数a的取值范围为______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】利用参数分离法和基本不等式可得实数的取值范围．‎ ‎【详解】‎ 因为命题“， ”是真命题，‎ 则在上恒成立，又，当且仅当等号成立，‎ 故即，故答案为．‎ ‎【点睛】‎ 含参数的一元二次不等式的恒成立问题，优先考虑参变分离的方法，把问题归结为不含参数的函数的值域问题，也可以讨论不等式对应的二次函数的最值.‎ ‎21．已知直线与椭圆交于A，B两点，且A，B中点的横坐标为3，则椭圆的离心率为______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】设，则，联立直线方程与椭圆方程，利用韦达定理求出，即可求解椭圆的离心率．‎ ‎【详解】‎ 设，则，‎ 由，得，‎ 所以，，也即是，‎ 椭圆的离心率．故答案为：．‎ ‎【点睛】‎ 直线与圆锥曲线的位置关系，一般可通过联立方程组并消元得到关于或的一元二次方程，再把要求解的目标代数式化为关于两个的交点横坐标或纵坐标的关系式，该关系中含有或，最后利用韦达定理把关系式转化为某些变量的方程，解此类方程即可得所求关系．‎ ‎22．直线的倾斜角为______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】把直线方程化为斜截式，再利用斜率与倾斜角的关系即可得出．‎ ‎【详解】‎ 设直线的倾斜角为．‎ 由直线化为，故，‎ 又，故，故答案为：．‎ ‎【点睛】‎ 一般地，如果直线方程的一般式为，那么直线的斜率为，且，其中为直线的倾斜角，注意它的范围是．‎