数学卷·2018届吉林省辽源市田家炳高中友好学校高二上学期期末数学试卷（理科）（解析版） 23页

全*品*高*考*网， 用后离不了！2016-2017学年吉林省辽源市田家炳高中友好学校高二（上）期末数学试卷（理科）‎ ‎　‎ 一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）‎ ‎1．已知m、n∈R，则“m≠0”是“mm≠0”的（　　）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎2．已知某单位有职工120人，其中男职工90人，现采用分层抽样（按男、女分层）抽取一个样本，若样本中有27名男职工，则样本容量为（　　）‎ A．30 B．36 C．40 D．无法确定 ‎3．若将一个质点随机投入如图所示的长方形ABCD中，其中AB=2，BC=1，则质点落在以AB为直径的半圆内的概率是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎4．执行如图所示的程序框图，输出的s值为（　　）‎ A．﹣3 B．﹣ C． D．2‎ ‎5．双曲线=1的离心率e∈（1，2），则k的取值范围是（　　）‎ A．（﹣10，0） B．（﹣12，0） C．（﹣3，0） D．（﹣60，﹣12）‎ ‎6．从1，2，3，4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎7．设（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn）是变量x和y的n个样本点，直线l是由这些样本点通过最小二乘法得到的线性回归直线（如图），以下结论中正确的是（　　）‎ A．x和y的相关系数为直线l的斜率 B．x和y的相关系数在0到1之间 C．当n为偶数时，分布在l两侧的样本点的个数一定相同 D．直线l过点（，）‎ ‎8．如图所示，样本A和B分别取自两个不同的总体，它们的样本平均数分别为、，样本标准差分别为SA，SB，则（　　）‎ A．＞，SA＞SB B．＜，SA＞SB C．＞，SA＜SB D．＜，SA＜SB ‎9．在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M和N分别为A1B1和BB1的中点，那么直线AM与CN所成角的余弦值是（　　）‎ A．﹣ B． C． D．‎ ‎10．过抛物线y2‎ ‎=4x的焦点F且倾斜角为60°的直线l与抛物线在第一象限交于A点，则|AF|=（　　）‎ A．5 B．4 C．3 D．2‎ ‎11．已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱长与底面边长相等，则AB1与侧面ACC1A1所成角的正弦值等于（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎12．已知双曲线（a＞0，b＞0）的右顶点、左焦点分别为A、F，点B（0，﹣b），||=||，则双曲线的离心率值为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎　‎ 二、填空题（本大题共4个小题，每个小题5分，共20分）‎ ‎13．把二进制数110011（2）化为十进制数是：　　．‎ ‎14．命题“∀x＞0，ex﹣x﹣1≥0”的否定是　　．‎ ‎15．如图，以等腰直角三角形斜边BC上的高AD为折痕，把△ABD与△ACD折成互相垂直的两个平面后，某学生得出下列四个结论：‎ ‎①；‎ ‎②∠BAC=60°；‎ ‎③三棱锥D﹣ABC是正三棱锥；‎ ‎④平面ADC的法向量和平面ABC的法向量互相垂直．‎ 其中正确结论的序号是　　．（请把正确结论的序号都填上）‎ ‎16．在平面直角坐标系中，点P为椭圆+y2=1上的一个动点，则点P到直线x﹣y+6=0的最大距离为　　．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）‎ ‎17．（10分）求适合下列条件的双曲线的标准方程：‎ ‎（1）焦点在 x轴上，虚轴长为12，离心率为；‎ ‎（2）顶点间的距离为6，渐近线方程为．‎ ‎18．（12分）已知p：方程x2+mx+1=0有两个不等的负根；q：方程4x2+4（m﹣2）x+1=0无实根，若“p或q”真“p且q”为假，求m的取值范围．‎ ‎19．（12分）如图，已知四棱锥P﹣ABCD，底面ABCD为菱形，PA⊥平面ABCD，∠ABC=60°，E，F分别是BC，PC的中点．‎ ‎（1）证明：AE⊥PD；‎ ‎（2）若PA=AB=2，求二面角E﹣AF﹣C的余弦值．‎ ‎20．（12分）某中学团委组织了“弘扬奥运精神，爱我中华”的知识竞赛，从参加考试的学生中抽出60名学生，将其成绩（均为整数）分成六段[40，50），[50，60），…，[90，100]后画出如下部分频率分布直方图．观察图形给出的信息，回答下列问题：‎ ‎（1）求第四小组的频率，并补全这个频率分布直方图；‎ ‎（2）估计这次考试的及格率（60分及以上为及格）和平均分；‎ ‎（3）从成绩是[40，50）和[90，100]的学生中选两人，求他们在同一分数段的概率．‎ ‎21．（12分）已知曲线C1的参数方程为（θ为参数），曲线C2的极坐标方程为ρ=2cosθ+6sinθ．‎ ‎（1）将曲线C1方程，将曲线C2极坐标方程化为直角坐标方程；‎ ‎（2）曲线C1，C2是否相交，若相交请求出公共弦的长，若不相交，请说明理由．‎ ‎22．（12分）若F1、F2分别是椭圆在左、右焦点，P是该椭圆上的一个动点，且．‎ ‎（1）求出这个椭圆的方程；‎ ‎（2）是否存在过定点N（0，2）的直线l与椭圆交于不同的两点A、B，使∠AOB=90°（其中O为坐标原点）？若存在，求出直线l的斜率k，若不存在，请说明理由．‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年吉林省辽源市田家炳高中友好学校高二（上）期末数学试卷（理科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）‎ ‎1．已知m、n∈R，则“m≠0”是“mm≠0”的（　　）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．‎ ‎【分析】易得“mn=0”是“m=0”的必要不充分条件，由等价转化可得答案．‎ ‎【解答】解：要看“m≠0”是“mm≠0”的什么条件，‎ 只需看“mn=0”是“m=0”的什么条件，‎ ‎∵“mn=0”不能推出“m=0”，而“m=0”能推出“mn=0”，‎ 故“mn=0”是“m=0”的什么条件必要不充分条件，‎ 故“m≠0”是“mm≠0”的必要不充分条件 故选B ‎【点评】本题考查充要条件的判断，等价转化是解决问题的关键，属基础题．‎ ‎　‎ ‎2．已知某单位有职工120人，其中男职工90人，现采用分层抽样（按男、女分层）抽取一个样本，若样本中有27名男职工，则样本容量为（　　）‎ A．30 B．36 C．40 D．无法确定 ‎【考点】分层抽样方法．‎ ‎【分析】根据分层抽样的定义和性质进行求解即可．‎ ‎【解答】解：设样本容量为n，‎ 则由题意得，‎ 解得n=36，‎ 故选：B ‎【点评】本题主要考查分层抽样的应用，根据条件建立比例关系是解决本题的关键．‎ ‎　‎ ‎3．若将一个质点随机投入如图所示的长方形ABCD中，其中AB=2，BC=1，则质点落在以AB为直径的半圆内的概率是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】几何概型．‎ ‎【分析】利用几何槪型的概率公式，求出对应的图形的面积，利用面积比即可得到结论．‎ ‎【解答】解：∵AB=2，BC=1，‎ ‎∴长方体的ABCD的面积S=1×2=2，‎ 圆的半径r=1，半圆的面积S=，‎ 则由几何槪型的概率公式可得质点落在以AB为直径的半圆内的概率是，‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题主要考查几何槪型的概率的计算，求出对应的图形的面积是解决本题的关键，比较基础．‎ ‎　‎ ‎4．执行如图所示的程序框图，输出的s值为（　　）‎ A．﹣3 B．﹣ C． D．2‎ ‎【考点】循环结构．‎ ‎【分析】i=0，满足条件i＜4，执行循环体，依此类推，当i=4，s=2，此时不满足条件i＜4，退出循环体，从而得到所求．‎ ‎【解答】解：i=0，满足条件i＜4，执行循环体，i=1，s=‎ 满足条件i＜4，执行循环体，i=2，s=﹣‎ 满足条件i＜4，执行循环体，i=3，s=﹣3‎ 满足条件i＜4，执行循环体，i=4，s=2‎ 不满足条件i＜4，退出循环体，此时s=2‎ 故选：D ‎【点评】根据流程图计算运行结果是算法这一模块的重要题型，处理的步骤一般为：分析流程图，从流程图中即要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型解模．算法和程序框图是新课标新增的内容，在近两年的新课标地区高考都考查到了，这启示我们要给予高度重视，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎5．双曲线=1的离心率e∈（1，2），则k的取值范围是（　　）‎ A．（﹣10，0） B．（﹣12，0） C．（﹣3，0） D．（﹣60，﹣12）‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】由双曲线的离心率e∈（1，2），求出a，b，c，再由离心率公式得，1＜‎ e=＜2，由此能求出k的取值范围．‎ ‎【解答】解：由于双曲线=1的离心率e∈（1，2），‎ 则a=2，b=，c=，‎ 则1＜e=＜2，‎ 解得﹣12＜k＜0．‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查双曲线的性质和应用，解题时要注意公式的合理运用．‎ ‎　‎ ‎6．从1，2，3，4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．‎ ‎【分析】本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件是从4个不同的数中随机的抽2个，共有C42种结果，满足条件的事件是取出的数之差的绝对值等于2的有两种，得到概率．‎ ‎【解答】解：由题意知本题是一个等可能事件的概率，‎ 试验发生包含的事件是从4个不同的数中随机的抽2个，共有C42=6种结果，‎ 满足条件的事件是取出的数之差的绝对值等于2，有2种结果，分别是（1，3），（2，4），‎ ‎∴要求的概率是=．‎ 故选B．‎ ‎【点评】本题考查等可能事件的概率，是一个基础题，本题解题的关键是事件数是一个组合数，若都按照排列数来理解也可以做出正确的结果．‎ ‎　‎ ‎7．设（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn ‎）是变量x和y的n个样本点，直线l是由这些样本点通过最小二乘法得到的线性回归直线（如图），以下结论中正确的是（　　）‎ A．x和y的相关系数为直线l的斜率 B．x和y的相关系数在0到1之间 C．当n为偶数时，分布在l两侧的样本点的个数一定相同 D．直线l过点（，）‎ ‎【考点】线性回归方程．‎ ‎【分析】对于所给的线性回归方程对应的直线，针对于直线的特点，回归直线一定通过这组数据的样本中心点，得到结果．‎ ‎【解答】解：直线l是由这些样本点通过最小二乘法得到的线性回归直线，‎ 回归直线方程一定过样本中心点，‎ 故选D．‎ ‎【点评】本题考查线性回归方程的性质，考查样本中心点一定在回归直线上，本题是一个基础题，不需要运算就可以看出结果．‎ ‎　‎ ‎8．如图所示，样本A和B分别取自两个不同的总体，它们的样本平均数分别为、，样本标准差分别为SA，SB，则（　　）‎ A．＞，SA＞SB B．＜，SA＞SB C．＞，SA＜SB D．＜，SA＜SB ‎【考点】‎ 用样本的数字特征估计总体的数字特征；频率分布折线图、密度曲线；极差、方差与标准差．‎ ‎【分析】从图形中可以看出样本A的数据均不大于10，而样本B的数据均不小于10，由图可知A中数据波动程度较大，B中数据较稳定，得到结论．‎ ‎【解答】解：∵样本A的数据均不大于10，‎ 而样本B的数据均不小于10，‎ 显然＜，‎ 由图可知A中数据波动程度较大，‎ B中数据较稳定，‎ ‎∴sA＞sB．‎ 故选：B．‎ ‎【点评】求两组数据的平均值和方差是研究数据常做的两件事，平均值反映数据的平均水平，而方差反映数据的波动大小，从两个方面可以准确的把握数据的情况．‎ ‎　‎ ‎9．在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M和N分别为A1B1和BB1的中点，那么直线AM与CN所成角的余弦值是（　　）‎ A．﹣ B． C． D．‎ ‎【考点】异面直线及其所成的角．‎ ‎【分析】建立空间直角坐标系，利用向量的夹角公式即可得出．‎ ‎【解答】解：如图所示，‎ A（1，1，1），C（0，0，1），M，N．‎ ‎∴=， =．‎ ‎∴=， =．‎ 设异面直线AM与CN所成角为θ．‎ 则cosθ===．‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查了利用向量的夹角公式求异面直线所成的角，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎10．过抛物线y2=4x的焦点F且倾斜角为60°的直线l与抛物线在第一象限交于A点，则|AF|=（　　）‎ A．5 B．4 C．3 D．2‎ ‎【考点】抛物线的简单性质．‎ ‎【分析】求出直线方程，联立直线与抛物线方程消元，利用抛物线的定义，可得结论．‎ ‎【解答】解：由已知可得直线AF的方程为y=（x﹣1），‎ 联立直线与抛物线方程消元得：3x2﹣10x+3=0，解之得：x1=3，x2=（据题意应舍去），‎ 由抛物线定义可得：AF=x1+=3+1=4．‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系，考查抛物线的定义，考查学生的计算能力，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎11．已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱长与底面边长相等，则AB1与侧面ACC1A1所成角的正弦值等于（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．‎ ‎【分析】根据正三棱柱及线面角的定义知，取A1C1的中点D1，∠B1AD1‎ 是所求的角，再由已知求出正弦值．‎ ‎【解答】解：取A1C1的中点D1，连接B1D1，AD1，‎ 在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，B1D1⊥面ACC1A1，‎ 则∠B1AD1是AB1与侧面ACC1A1所成的角，‎ ‎∵正三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱长与底面边长相等，‎ ‎∴，‎ 故选A．‎ ‎【点评】本题主要考查了线面角问题，求线面角关键由题意过线上一点作出面的垂线，再求线面角的正弦值，是基础题．‎ ‎　‎ ‎12．已知双曲线（a＞0，b＞0）的右顶点、左焦点分别为A、F，点B（0，﹣b），||=||，则双曲线的离心率值为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】双曲线的简单性质．‎ ‎【分析】先利用||=||，推导出∠ABF=90°，再由射影定理得b2=ca，由此能求出该双曲线的离心率．‎ ‎【解答】解：∵||=||，‎ ‎∴=0，‎ ‎∴∠ABF=90°，‎ 由射影定理得OB2=OF×OA，‎ ‎∴b2=ca，‎ 又∵c2=a2+b2，‎ ‎∴c2=a2+ca，‎ ‎∴a2+ca﹣c2=0，‎ ‎∴1+e﹣e2=0，‎ 解得e=或（舍），‎ ‎∴e=．‎ 故选B．‎ ‎【点评】本题考查双曲线的离心率的求法，涉及到双曲线性质、向量、射影定理等知识点，解题时要注意函数与方程思想的合理运用．‎ ‎　‎ 二、填空题（本大题共4个小题，每个小题5分，共20分）‎ ‎13．把二进制数110011（2）化为十进制数是：　51　．‎ ‎【考点】进位制．‎ ‎【分析】根据所给的二进制的数字，写出用二进制的数字的最后一位乘以2的0次方，倒数第二位乘以2的1次方，以此类推，写出后相加得到结果．‎ ‎【解答】解：∵110011（2）=1×20+1×2+1×24+1×25=51‎ 故答案为：51‎ ‎【点评】本题考查进位制之间的转化，本题解题的关键是用二进制的最后一位乘以2的0次方，注意这里的数字不用出错．‎ ‎　‎ ‎14．命题“∀x＞0，ex﹣x﹣1≥0”的否定是　∃x＞0，ex﹣x﹣1＜0　．‎ ‎【考点】命题的否定．‎ ‎【分析】根据全称命题的否定是特称命题进行求解即可．‎ ‎【解答】解：命题是全称命题，则否定为特称命题，‎ 即∃x＞0，ex﹣x﹣1＜0，‎ 故答案为：∃x＞0，ex﹣x﹣1＜0‎ ‎【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．‎ ‎　‎ ‎15．如图，以等腰直角三角形斜边BC上的高AD为折痕，把△ABD与△ACD折成互相垂直的两个平面后，某学生得出下列四个结论：‎ ‎①；‎ ‎②∠BAC=60°；‎ ‎③三棱锥D﹣ABC是正三棱锥；‎ ‎④平面ADC的法向量和平面ABC的法向量互相垂直．‎ 其中正确结论的序号是　②③　．（请把正确结论的序号都填上）‎ ‎【考点】棱锥的结构特征．‎ ‎【分析】①由折叠的原理，可知BD⊥平面ADC，可推知BD⊥AC，数量积为零，②因为折叠后AB=AC=BC，三角形为等边三角形，所以∠BAC=60°；③又因为DA=DB=DC，根据正三棱锥的定义判断．④平面ADC和平面ABC不垂直．‎ ‎【解答】解：BD⊥平面ADC，⇒BD⊥AC，①错；‎ AB=AC=BC，②对；‎ DA=DB=DC，结合②，③对④错．‎ 故答案为：②③‎ ‎【点评】本题是一道折叠题，主要考查折叠前后线线，线面，面面关系的不变和改变，解题时要前后对应，仔细论证，属中档题．‎ ‎　‎ ‎16．在平面直角坐标系中，点P为椭圆+y2=1上的一个动点，则点P到直线x﹣y+6=0的最大距离为　4　．‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】由设P（cosx，sinx），则点P到直线x﹣y+6=0的距离d==，利用余弦定理的性质，即可求得点P到直线x﹣y+6=0的最大距离．‎ ‎【解答】解：由题意可知：设P（cosx，sinx），则点P到直线x﹣y+6=0的距离d==，‎ 由﹣1≤cos（θ+）≤1，则4≤2cos（θ+）+6≤8，‎ ‎∴2≤d≤4，‎ ‎∴点P到直线x﹣y+6=0的最大距离为4，‎ 故答案为：4．‎ ‎【点评】本题考查椭圆的参数方程，点到直线的距离公式，余弦函数的最值，考查计算能力，属于中档题．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）‎ ‎17．（10分）（2016秋•辽源期末）求适合下列条件的双曲线的标准方程：‎ ‎（1）焦点在 x轴上，虚轴长为12，离心率为；‎ ‎（2）顶点间的距离为6，渐近线方程为．‎ ‎【考点】双曲线的简单性质；双曲线的标准方程．‎ ‎【分析】（1）由于双曲线的焦点在x轴上，设所求双曲线的方程为=1．由题意，得出关于a，c的方程组即可解得a，c，结合b2=c2﹣a2求出b值，写出双曲线的方程即可；‎ ‎（2）当焦点在x轴上时，设所求双曲线的方程为=1得出关于a，b的方程组即可解得a，b，写出双曲线的方程即可；同理可求当焦点在y轴上双曲线的方程．‎ ‎【解答】解：（1）焦点在x轴上，设所求双曲线的方程为=1．‎ 由题意，得解得a=8，c=10．‎ ‎∴b2=c2﹣a2=100﹣64=36．‎ 所以焦点在x轴上的双曲线的方程为．‎ ‎（2）当焦点在x轴上时，设所求双曲线的方程为=1‎ 由题意，得解得a=3，b=．‎ 所以焦点在x轴上的双曲线的方程为．‎ 同理可求当焦点在y轴上双曲线的方程为．‎ ‎【点评】本小题主要考查双曲线的标准方程、双曲线的简单性质等基础知识，求双曲线的标准方程，先确定标准方程的形式，再根据条件求出 a，b．‎ ‎　‎ ‎18．（12分）（2016秋•辽源期末）已知p：方程x2+mx+1=0有两个不等的负根；q：方程4x2+4（m﹣2）x+1=0无实根，若“p或q”真“p且q”为假，求m的取值范围．‎ ‎【考点】命题的真假判断与应用．‎ ‎【分析】若“p或q”真“p且q”为假，命题p，q应一真一假，分类讨论，可得m的取值范围．‎ ‎【解答】解：若方程 x2+mx+1=0有两个不等的负根，‎ 则 ‎ 解得m＞2，‎ 若方程4x2+4（m﹣2）x+1=0无实根，则△=16（m﹣2）2﹣16＜0，‎ 解得：1＜m＜3‎ ‎∵“p或q”真“p且q”，‎ 因此，命题p，q应一真一假，‎ ‎∴或，‎ 解得：m∈（1，2]∪[3，+∞）．‎ ‎【点评】本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了复合命题，二次方程根与系数的关系，难度中档．‎ ‎　‎ ‎19．（12分）（2016•银川校级二模）如图，已知四棱锥P﹣ABCD，底面ABCD为菱形，PA⊥平面ABCD，∠ABC=60°，E，F分别是BC，PC的中点．‎ ‎（1）证明：AE⊥PD；‎ ‎（2）若PA=AB=2，求二面角E﹣AF﹣C的余弦值．‎ ‎【考点】与二面角有关的立体几何综合题；空间中直线与直线之间的位置关系．‎ ‎【分析】（1）由已知条件推导出AE⊥AD，AE⊥PA，由此能证明AE⊥平面PAD，从而得到AE⊥PD．‎ ‎（2）以A为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角E﹣AF﹣C的余弦值．‎ ‎【解答】（1）证明：∵四棱锥P﹣ABCD，底面ABCD为菱形，‎ ‎∠ABC=60°，E，F分别是BC，PC的中点，‎ ‎∴△ABC是等边三角形，‎ ‎∴AE⊥BC，∴AE⊥AD，‎ ‎∵PA⊥平面ABCD，AE⊂平面ABCD，‎ ‎∴AE⊥PA，‎ ‎∵AE∩AD=A，∴AE⊥平面PAD，‎ ‎∵PD⊂平面PAD，∴AE⊥PD．‎ ‎（2）解：由（1）知AE、AD、AP两两垂直，‎ ‎∴以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，‎ ‎∵E，F分别为BC，PC的中点，PA=AB=2，‎ ‎∴A（0，0，0），B（，﹣1，0），C（，1，0），‎ D（0，2，0），P（0，0，2），E（，0，0），F（），‎ ‎∴，‎ 设平面AEF的一个法向量为，‎ 则 取z1=﹣1，得=（0，2，﹣1），‎ ‎∵BD⊥AC，BD⊥PA，PA∩AC=A，∴BD⊥平面AFC，‎ ‎∴为平面AFC的一法向量．‎ 又，‎ ‎∴cos＜＞==．‎ ‎∵二面角E﹣AF﹣C为锐角，‎ ‎∴所求二面角的余弦值为．‎ ‎【点评】本题考查异面直线垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．‎ ‎　‎ ‎20．（12分）（2015秋•宣城期末）某中学团委组织了“弘扬奥运精神，爱我中华”的知识竞赛，从参加考试的学生中抽出60名学生，将其成绩（均为整数）分成六段[40，50），[50，60），…，[90，100]后画出如下部分频率分布直方图．观察图形给出的信息，回答下列问题：‎ ‎（1）求第四小组的频率，并补全这个频率分布直方图；‎ ‎（2）估计这次考试的及格率（60分及以上为及格）和平均分；‎ ‎（3）从成绩是[40，50）和[90，100]的学生中选两人，求他们在同一分数段的概率．‎ ‎【考点】用样本的频率分布估计总体分布；频率分布直方图．‎ ‎【分析】（1）根据频率直方图的性质求第四小组的频率．（2）利用样本进行总体估计．（3）根据古典概型的概率公式求概率．‎ ‎【解答】解：（1）第一小组的频率为0.010×10=0.1，第二小组的频率为0.015×10=0.15，第三小组的频率为0.015×10=0.15，第五小组的频率为0.025×10=0.25，第六小组的频率为0.005×10=0.05，所以第四小组的频率为1﹣0.1﹣0.15﹣0.15﹣0.25﹣0.05=0.3．‎ 频率/组距=0.3÷10=0.03，故频率分布直方图如图 ‎（2）平均分超过60分的频率为0.15+0.25+0.05+0.3=0.75，所以估计这次考试的及格率为75%．‎ 第一组人数0.10×60=6，第二组人数0.15×60=9，第三组人数0.15×60=9，第四组人数0.3×60=18，第五组人数0.25×60=15，第六组人数0.05×60=3，‎ 所以平均分为=71．‎ ‎（3）成绩在[40，50）的有6人，在[90，100]的有3人，从中选两人有，他们在同一分数段的有，‎ 所以他们在同一分数段的概率是．‎ ‎【点评】本题主要考查了频率分布直方图的应用，考查学生分析问题的能力，比较综合．‎ ‎　‎ ‎21．（12分）（2016秋•辽源期末）已知曲线C1的参数方程为（θ为参数），曲线C2的极坐标方程为ρ=2cosθ+6sinθ．‎ ‎（1）将曲线C1方程，将曲线C2极坐标方程化为直角坐标方程；‎ ‎（2）曲线C1，C2是否相交，若相交请求出公共弦的长，若不相交，请说明理由．‎ ‎【考点】参数方程化成普通方程．‎ ‎【分析】（1）曲线C1的参数方程为（θ为参数），利用平方关系可得普通方程．∴曲线C2的极坐标方程为ρ=2cosθ+6sinθ，即ρ2=2ρcosθ+6ρsinθ，利用互化公式可得直角坐标方程．‎ ‎（2）曲线C2的直角坐标方程：x2+y2=2x+6y，配方为：（x﹣1）2+（y﹣3）2=10．可得C2（1，3），半径r=．曲线C1的平方关系：（x+2）2+y2=10，可得圆心C1（﹣2，0），半径R=．求出|C1C2|即可判断出位置关系，利用勾股定理即可得出公共弦长．‎ ‎【解答】解：（1）曲线C1的参数方程为（θ为参数），‎ 利用平方关系可得：（x+2）2+y2=10．‎ ‎∴曲线C2的极坐标方程为ρ=2cosθ+6sinθ，即ρ2=2ρcosθ+6ρsinθ，‎ 化为直角坐标方程：x2+y2=2x+6y．‎ ‎（2）曲线C2的直角坐标方程：x2+y2=2x+6y，配方为：（x﹣1）2+（y﹣3）2=10．‎ C2（1，3），半径r=．‎ 曲线C1的平方关系：（x+2）2+y2=10，可得圆心C1（﹣2，0），半径R=．‎ ‎|C1C2|==3∈（0，2）．‎ ‎∴两圆相交．‎ 设相交弦长为d，则+=10，解得d=．‎ ‎∴公共弦长为．‎ ‎【点评】本题考查了参数方程的应用、极坐标方程化为直角坐标方程、两圆相交弦长公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎22．（12分）（2012•故城县校级模拟）若F1、F2分别是椭圆在左、右焦点，P是该椭圆上的一个动点，且．‎ ‎（1）求出这个椭圆的方程；‎ ‎（2）是否存在过定点N（0，2）的直线l与椭圆交于不同的两点A、B，使∠AOB=90°（其中O为坐标原点）？若存在，求出直线l的斜率k，若不存在，请说明理由．‎ ‎【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】（1）根据，可得a=2，c=，从而可求椭圆的方程；‎ ‎（2）设方程为y=kx+2，与椭圆方程联立，利用韦达定理及，即可求出直线l的斜率k．‎ ‎【解答】解：（1）依题意，∵‎ ‎∴2a=4，2c=2，∴a=2，c=，∴‎ ‎∴椭圆的方程为；‎ ‎（2）显然当直线的斜率不存在时，不满足题设条件，设方程为y=kx+2，A（x1，y1），B（x2，y2）‎ 联立方程组，消元可得（1+4k2）x2+16kx+12=0‎ ‎∴x1+x2=，‎ 由△=256k2﹣4（1+4k2）×12＞0，可得①‎ ‎∵∠AOB=90°，∴‎ ‎∴‎ ‎∴k2=4②‎ 由①②可得，k=±2‎ ‎【点评】本题考查椭圆的方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查向量知识的运用，解题的关键是直线与椭圆的方程联立，利用韦达定理求解．‎ ‎　‎