数学理卷·2018届湖南省长郡中学高三第三次月考（2017 12页

长郡中学2018届高三月考试卷（三）‎ 数学（理科）‎ 第Ⅰ卷（共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．集合的真子集的个数是（ ）‎ A．3 B．4 C．7 D．8‎ ‎2．已知变量成负相关，且由观测数据算得样本平均数，，则由该观测数据算得的线性回归方程可能是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎3．已知命题，，命题，，则下列命题为真命题的个数是（ ）‎ ‎①；②；③；④.‎ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 ‎4．已知复数满足（为虚数单位），则的共轭复数（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎5．执行如图所示的程序框图，则输出的结果是（ ）‎ A．14 B．15 C．16 D．17‎ ‎6．已知为奇函数，函数与的图象关于直线对称，若，则（ ）‎ A．-2 B．2 C．-1 D．4‎ ‎7．已知实数满足，且，则的最大值（ ）‎ A．2 B．4 C．5 D．6‎ ‎8．某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎9．若函数，又，，且的最小值为，则正数的值是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎10．如图，正三棱柱的各条棱长均相等，为的中点，分别是线段和线段上的动点（含端点），且满足.当运动时，下列结论中不正确的是（ ）‎ A．平面平面 B．三棱锥的体积为定值 C．可能为直角三角形 D．平面与平面所成的锐二面角范围为 ‎11．已知函数（），若数列满足，数列的前项的和为，则（ ）‎ A．909 B．910 C．911 D．912‎ ‎12．已知函数，，其中为自然对数的底数，若存在实数，使成立，则实数的值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ 第Ⅱ卷（共90分）‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13．已知展开式的常数项为15，则 ．‎ ‎14．已知向量满足：，且，若，其中，且，则的最小值是 ．‎ ‎15．将正整数12分解成两个正整数的乘积有，，三种，其中是这三种分解中两数差的绝对值最小的，我们称为12的最佳分解.当（且）是正整数的最佳分解时，我们定义函数，例如.数列的前100项和为 ．‎ ‎16．如图，正方体的棱长为3，在面对角线上取点，在面对角线上取点，使得平面，当线段长度取到最小值时，三棱锥的体积为 ．‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） ‎ ‎17．某高校在今年的自主招生考试成绩中随机抽取100名考生的笔试成绩，分为5组制出频率分布直方图如图所示.‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）该校决定在成绩较好的3、4、5组用分层抽样抽取6名学生进行面试，则每组应各抽多少名学生？‎ ‎（3）在（2）的前提下，已知面试有4位考官，被抽到的6名学生中有两名被指定甲考官面试，其余4名则随机分配给3位考官中的一位对其进行面试，求这4名学生分配到的考官个数的分布列和期望.‎ ‎18．在中，内角所对的边分别为，已知，.‎ ‎（1）当时，求的面积；‎ ‎（2）求周长的最大值.‎ ‎19．如图所示，直三棱柱中，，为的中点，为的中点.‎ ‎（1）求证：面；‎ ‎（2）若面，求二面角的余弦值.‎ ‎20．已知数列满足，.‎ ‎（1）是否能找到一个定义在的函数（是常数）使得数列是公比为3的等比数列，若存在，求出的通项公式；若不存在，说明理由；‎ ‎（2）记，若不等式对任意都成立，求实数的取值范围.‎ ‎21．已知.‎ ‎（1）当时，求证：；‎ ‎（2）当时，试讨论方程的解的个数.‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．‎ ‎22．选修4-4：坐标系与参数方程 已知直线（为参数），圆（为参数），‎ ‎（1）当时，求与的交点坐标；‎ ‎（2）过坐标原点作的垂线，垂足为，为的中点，当变化时，求点轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线.‎ ‎23．选修4-5：不等式选讲 ‎（1）已知函数.若函数的图象恒在轴上方，求实数的取值范围.‎ ‎（2）已知，，求证：.‎ 长郡中学2018届高三月考试卷（三）‎ 数学（理科）参考答案 一、选择题 ‎1-5:CCBAC 6-10:ACBDC 11、12：AB 二、填空题 ‎13． 14． 15． 16．1‎ 三、解答题 ‎17．解：（1）由题意知，，‎ ‎，.‎ ‎（2）三个组共60人，所以第三组应抽人，‎ 第四组应抽人，第五组应抽人.‎ ‎（3）的所有可以取的值分别为1,2,3‎ ‎；‎ ‎（或）；‎ ‎（或）.‎ 所以的分布列为：‎ 所以的数学期望.‎ ‎18．解：（1）由 得 得，‎ 当时，，，，，‎ 当时，，由正弦定理，联立.‎ 解得，，‎ 故三角形的面积为.‎ ‎（2）由余弦定理及已知条件可得：.‎ 由得，‎ 故周长的最大值为6，当且仅当三角形为正三角形取到.‎ ‎19．解：（1）设与交于，连接，‎ ‎∵，则与平行且相等.‎ ‎∴四边形为平行四边形.‎ ‎∴，又面，面，‎ ‎∴面.‎ ‎（2）以的中点为原点，分别以方向为轴和轴正方向，以方向为轴正方向，建系如图，设，，则有 ‎，，，，‎ ‎∴，∴，∴‎ 由面，则.‎ 则解得.‎ 所以面的法向量为，‎ 又设面的法向量为，，，‎ ‎，，所以，令，‎ 则，‎ ‎∴.‎ 所以二面角的余弦值为.‎ ‎20．解：（1）∵，‎ ‎∴，‎ 所以只需，‎ ‎∵，‎ ‎∴，，，‎ ‎∴，，.‎ 即 ‎∴，‎ ‎∴.‎ ‎（2）‎ ‎∴，‎ 由，得.‎ 设，‎ 则，‎ 当时，‎ ‎∴时，.‎ 容易验证，当时，，‎ ‎∴，‎ ‎∴的取值范围为.‎ ‎21．解：（1）要证，‎ 只要证（）‎ 令，则，‎ 而，所以在上单调递增，又，‎ 所以在上单调递减，在上单调递增，‎ ‎∴，即，（）式成立 所以原不等式成立.‎ ‎（2）问题转化为函数的零点个数.‎ 而，.‎ 令，解得.‎ 所以在上单调递减，在上单调递增.‎ 所以，‎ 设，，‎ 而，‎ 则在上单调递减，在上单调递增，‎ 所以，即（当即时取等）.‎ ‎1°当时，，则恒成立.‎ 所以在上单调递增，又，则有一个零点；‎ ‎2°当时，，，‎ 有在上单调递减，在上单调递增，‎ 且时，‎ 则存在使得，又 这时在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增 所以，又时，，‎ 所以这时有两个零点；‎ ‎3°当时，，.‎ 有在上单调递减，在上单调递增，‎ 且时，，‎ 则存在使得.又，‎ 这时在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.‎ 所以.又时，，.‎ 所以这时有两个零点；‎ 综上：时，原方程一个解；当且时，原方程两个解.‎ ‎22．解：（1）当时，的普通方程为，的普通方程为.‎ 联立方程组，‎ 解得与的交点为，.‎ ‎（2）的普通方程为.‎ 点坐标为，故当变化时，点轨迹的参数方程为 ‎（为参数），点轨迹的普通方程为.‎ 故点是圆心为，半径为的圆.‎ ‎23．解：（1）的最小值为，由题设，得，解得.‎ ‎（2）证明：∵‎ ‎，‎ 又.‎ ‎∴.‎ ‎∵，∴.‎ ‎∴.‎