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- 2021-06-23 发布
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§5
简单复合函数
的
求导法则
第二章 变化率与导数
明目标
知重点
填
要点
记疑点
探
要点
究所然
内容
索引
01
02
03
当堂测
查疑缺
04
1.
了解复合函数的概念,掌握复合函数的求导法则
.
2.
能够利用复合函数的求导法则,并结合已经学过的公式、法则进行一些复合函数的求导
(
仅限于形
如
f
(
ax
+
b
)
的导数
).
明目标、知重点
填要点
·
记疑点
1.
复合函数的概念
一般地,对于两个函数
y
=
f
(
u
)
和
u
=
φ
(
x
)
=
ax
+
b
,给定
x
的一个值,就得到了
u
的值,进而确定了
y
的值,这样
y
可以表示
成
,
我们称这个函数为函数
y
=
f
(
u
)
和
u
=
φ
(
x
)
的
,
记
作
,
其中
u
为中间变量
.
x
的函数
复合函数
y
=
f
(
φ
(
x
)
)
2.
复合函数的求导法则
复合函数
y
=
f
(
φ
(
x
))
的导数和函数
y
=
f
(
u
)
,
u
=
φ
(
x
)
的导数间的关系为
y
x
′
=
.
即
y
对
x
的导数
是
.
y
u
′
·
u
x
′
y
对
u
的
导数
与
u
对
x
的导数的乘积
探要点
·
究
所然
探究点一 复合函数的定义
思考
1
观察函数
y
=
2
x
cos
x
及
y
=
ln(
x
+
2)
的结构特点,说明它们分别是由哪些基本函数组成的?
答
y
=
2
x
cos
x
是由
u
=
2
x
及
v
=
cos
x
相乘得到的;而
y
=
ln(
x
+
2)
是由
u
=
x
+
2
与
y
=
ln
u
(
x
>
-
2)
经过
“
复合
”
得到的,即
y
可以通过中间变量
u
表示为自变量
x
的函数
.
所以
y
=
ln(
x
+
2)
称为复合函数
.
思考
2
对一个复合函数,怎样判断函数的复合关系?
答
复合函数是因变量通过中间变量表示为自变量的函数的过程
.
在分析时可以从外向里出发,先根据最外层的主体函数结构找出
y
=
f
(
u
)
;再根据内层的主体函数结构找出函数
u
=
g
(
x
)
,函数
y
=
f
(
u
)
和
u
=
g
(
x
)
复合而成函数
y
=
f
(
g
(
x
)).
思考
3
在复合函数中,内层函数的值域
A
与外层函数的定义域
B
有何关系?
答
A
⊆
B
.
小结
要特别注意两个函数的积与复合函数的区别,对于复合函数,要掌握引入中间变量,将其分拆成几个基本初等函数的方法
.
例
1
指出下列函数是怎样复合而成的:
(1)
y
=
(3
+
5
x
)
2
;
解
y
=
(3
+
5
x
)
2
是由函数
y
=
u
2
,
u
=
3
+
5
x
复合而成的
;
(2)
y
=
log
3
(
x
2
-
2
x
+
5)
;
解
y
=
log
3
(
x
2
-
2
x
+
5)
是由函数
y
=
log
3
u
,
u
=
x
2
-
2
x
+
5
复合而成的
;
(3)
y
=
cos 3
x
.
解
y
=
cos 3
x
是由函数
y
=
cos
u
,
u
=
3
x
复合而成的
.
反思与感悟
分析函数的复合过程主要是设出中间变量
u
,分别找出
y
和
u
的函数关系,
u
和
x
的函数关系
.
跟踪训练
1
指出下列函数由哪些函数复合而成:
探究点二 复合函数导数的求解
思考
如何求复合函数的导数?
答
对于简单复合函数的求导,其一般步骤为
“
分解
——
求导
——
回代
”
,即:
(1)
弄清复合关系,将复合函数分解成基本初等函数形式;
(2)
利用求导法则分层求导;
(3)
最终结果要将中间变量换成自变量
.
注意不要漏掉第
(3)
步回代的过程
.
例
2
求下列函数的导数:
(1)
y
=
(2
x
-
1)
4
;
解
原函数可看作
y
=
u
4
,
u
=
2
x
-
1
的复合函数
,
则
y
x
′
=
y
u
′
·
u
x
′
=
(
u
4
)
′
·(2
x
-
1)
′
=
4
u
3
·2
=
8(2
x
-
1)
3
.
解
原函数可看作
y
=
sin
u
,
u
=-
2
x
+
的
复合函数,
解
原函数可看作
y
=
10
u
,
u
=
2
x
+
3
的复合函数,
则
y
x
′
=
y
u
′
·
u
x
′
=
10
2
x
+
3
·ln 10·2
=
(ln 100)10
2
x
+
3
.
反思与感悟
分析复合函数的结构,找准中间变量是求导的关键,要善于把一部分量、式子暂时看作一个整体,并且它们必须是一些常见的基本函数
.
复合函数的求导熟练后,中间步骤可以省略,不必再写出函数的复合过程,直接运用公式,从外层开始由外及内逐层求导
.
跟踪训练
求下列函数的导数:
探究点三 复合函数导数的应用
例
3
求曲线
y
=
f
(
x
)
=
e
2
x
+
1
在点
(
-
,
1)
处的切线方程
.
解
∵
y
′
=
e
2
x
+
1
·(2
x
+
1)
′
=
2e
2
x
+
1
,
即
2
x
-
y
+
2
=
0.
反思与感悟
求曲线切线的关键是正确求复合函数的导数,要注意
“
在某点处的切线
”
与
“
过某点的切线
”
两种不同的说法
.
跟踪训练
3
曲线
y
=
e
sin
x
在
(0,1)
处的切线与直线
l
平行,且与
l
的距离
为
,
求直线
l
的方程
.
解
设
u
=
sin
x
,
则
y
′
=
(e
sin
x
)
′
=
(e
u
)
′
(sin
x
)
′
=
cos
x
e
sin
x
.
y
′
|
x
=
0
=
1.
则切线方程
为
y
-
1
=
x
-
0
,
即
x
-
y
+
1
=
0.
若直线
l
与切线平行可设直线
l
的方程为
x
-
y
+
c
=
0
.
故直线
l
的方程为
x
-
y
+
3
=
0
或
x
-
y
-
1
=
0.
当堂测
·
查
疑缺
1
2
3
4
1.
函数
y
=
(3
x
-
2)
2
的导数为
(
)
A.2(3
x
-
2) B.6
x
C.6
x
(3
x
-
2) D.6(3
x
-
2)
解析
y
′
=
2(3
x
-
2)·(3
x
-
2)
′
=
6(3
x
-
2).
D
1
2
3
4
2.
若函数
y
=
sin
2
x
,则
y
′
等于
(
)
A.sin 2
x
B.2sin
x
C.sin
x
cos
x
D.cos
2
x
解析
y
′
=
2sin
x
·(sin
x
)
′
=
2sin
x
·cos
x
=
sin 2
x
.
A
1
2
3
3.
若
y
=
f
(
x
2
)
,则
y
′
等于
(
)
A.2
xf
′
(
x
2
)
B.2
xf
′
(
x
)
C.4
x
2
f
(
x
)
D.
f
′
(
x
2
)
解析
设
x
2
=
u
,
则
y
′
=
f
′
(
u
)·
u
x
′
=
f
′
(
x
2
)·(
x
2
)
′
=
2
xf
′
(
x
2
).
4
A
1
2
3
4
4.
设曲线
y
=
e
ax
在点
(0,1)
处的切线与直线
x
+
2
y
+
1
=
0
垂直,则
a
=
________.
解析
由题意知
y
′
|
x
=
0
=
a
e
ax
|
x
=
0
=
a
=
2
.
2
呈
重点、现
规律
求简单复合函数
f
(
ax
+
b
)
的导数
求简单复合函数的导数,实质是运用整体思想,先把简单复合函数转化为常见函数
y
=
f
(
u
)
,
u
=
ax
+
b
的形式,然后再分别对
y
=
f
(
u
)
与
u
=
ax
+
b
分别求导,并把所得结果相乘
.
灵活应用整体思想把函数化为
y
=
f
(
u
)
,
u
=
ax
+
b
的形式是关键
.
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