高中数学选修2-2教学课件第二章 5 31页

§5 　 简单复合函数 的 求导法则 第二章　变化率与导数 明目标 知重点 填 要点 记疑点 探 要点 究所然 内容 索引 01 02 03 当堂测 查疑缺 04 1. 了解复合函数的概念，掌握复合函数的求导法则 . 2. 能够利用复合函数的求导法则，并结合已经学过的公式、法则进行一些复合函数的求导 ( 仅限于形 如 f ( ax ＋ b ) 的导数 ). 明目标、知重点 填要点 · 记疑点 1. 复合函数的概念 一般地，对于两个函数 y ＝ f ( u ) 和 u ＝ φ ( x ) ＝ ax ＋ b ，给定 x 的一个值，就得到了 u 的值，进而确定了 y 的值，这样 y 可以表示 成 ， 我们称这个函数为函数 y ＝ f ( u ) 和 u ＝ φ ( x ) 的 ， 记 作 ， 其中 u 为中间变量 . x 的函数 复合函数 y ＝ f ( φ ( x ) ) 2. 复合函数的求导法则 复合函数 y ＝ f ( φ ( x )) 的导数和函数 y ＝ f ( u ) ， u ＝ φ ( x ) 的导数间的关系为 y x ′ ＝ . 即 y 对 x 的导数 是 . y u ′ · u x ′ y 对 u 的 导数 与 u 对 x 的导数的乘积 探要点 · 究 所然 探究点一　复合函数的定义 思考 1 　观察函数 y ＝ 2 x cos x 及 y ＝ ln( x ＋ 2) 的结构特点，说明它们分别是由哪些基本函数组成的？ 答　 y ＝ 2 x cos x 是由 u ＝ 2 x 及 v ＝ cos x 相乘得到的；而 y ＝ ln( x ＋ 2) 是由 u ＝ x ＋ 2 与 y ＝ ln u ( x > － 2) 经过 “ 复合 ” 得到的，即 y 可以通过中间变量 u 表示为自变量 x 的函数 . 所以 y ＝ ln( x ＋ 2) 称为复合函数 . 思考 2 　对一个复合函数，怎样判断函数的复合关系？ 答　 复合函数是因变量通过中间变量表示为自变量的函数的过程 . 在分析时可以从外向里出发，先根据最外层的主体函数结构找出 y ＝ f ( u ) ；再根据内层的主体函数结构找出函数 u ＝ g ( x ) ，函数 y ＝ f ( u ) 和 u ＝ g ( x ) 复合而成函数 y ＝ f ( g ( x )). 思考 3 　在复合函数中，内层函数的值域 A 与外层函数的定义域 B 有何关系？ 答　 A ⊆ B . 小结　 要特别注意两个函数的积与复合函数的区别，对于复合函数，要掌握引入中间变量，将其分拆成几个基本初等函数的方法 . 例 1 　 指出下列函数是怎样复合而成的： (1) y ＝ (3 ＋ 5 x ) 2 ； 解　 y ＝ (3 ＋ 5 x ) 2 是由函数 y ＝ u 2 ， u ＝ 3 ＋ 5 x 复合而成的 ； (2) y ＝ log 3 ( x 2 － 2 x ＋ 5) ； 解　 y ＝ log 3 ( x 2 － 2 x ＋ 5) 是由函数 y ＝ log 3 u ， u ＝ x 2 － 2 x ＋ 5 复合而成的 ； (3) y ＝ cos 3 x . 解　 y ＝ cos 3 x 是由函数 y ＝ cos u ， u ＝ 3 x 复合而成的 . 反思与感悟　 分析函数的复合过程主要是设出中间变量 u ，分别找出 y 和 u 的函数关系， u 和 x 的函数关系 . 跟踪训练 1 　指出下列函数由哪些函数复合而成： 探究点二　复合函数导数的求解 思考 　如何求复合函数的导数？ 答　 对于简单复合函数的求导，其一般步骤为 “ 分解 —— 求导 —— 回代 ” ，即： (1) 弄清复合关系，将复合函数分解成基本初等函数形式； (2) 利用求导法则分层求导； (3) 最终结果要将中间变量换成自变量 . 注意不要漏掉第 (3) 步回代的过程 . 例 2 　 求下列函数的导数： (1) y ＝ (2 x － 1) 4 ； 解　 原函数可看作 y ＝ u 4 ， u ＝ 2 x － 1 的复合函数 ， 则 y x ′ ＝ y u ′ · u x ′ ＝ ( u 4 ) ′ ·(2 x － 1) ′ ＝ 4 u 3 ·2 ＝ 8(2 x － 1) 3 . 解　 原函数可看作 y ＝ sin u ， u ＝－ 2 x ＋ 的 复合函数， 解　 原函数可看作 y ＝ 10 u ， u ＝ 2 x ＋ 3 的复合函数， 则 y x ′ ＝ y u ′ · u x ′ ＝ 10 2 x ＋ 3 ·ln 10·2 ＝ (ln 100)10 2 x ＋ 3 . 反思与感悟　 分析复合函数的结构，找准中间变量是求导的关键，要善于把一部分量、式子暂时看作一个整体，并且它们必须是一些常见的基本函数 . 复合函数的求导熟练后，中间步骤可以省略，不必再写出函数的复合过程，直接运用公式，从外层开始由外及内逐层求导 . 跟踪训练 求下列函数的导数： 探究点三　复合函数导数的应用 例 3 　 求曲线 y ＝ f ( x ) ＝ e 2 x ＋ 1 在点 ( － ， 1) 处的切线方程 . 解　 ∵ y ′ ＝ e 2 x ＋ 1 ·(2 x ＋ 1) ′ ＝ 2e 2 x ＋ 1 ， 即 2 x － y ＋ 2 ＝ 0. 反思与感悟　 求曲线切线的关键是正确求复合函数的导数，要注意 “ 在某点处的切线 ” 与 “ 过某点的切线 ” 两种不同的说法 . 跟踪训练 3 　 曲线 y ＝ e sin x 在 (0,1) 处的切线与直线 l 平行，且与 l 的距离 为 ， 求直线 l 的方程 . 解　 设 u ＝ sin x ， 则 y ′ ＝ (e sin x ) ′ ＝ (e u ) ′ (sin x ) ′ ＝ cos x e sin x . y ′ | x ＝ 0 ＝ 1. 则切线方程 为 y － 1 ＝ x － 0 ， 即 x － y ＋ 1 ＝ 0. 若直线 l 与切线平行可设直线 l 的方程为 x － y ＋ c ＝ 0 . 故直线 l 的方程为 x － y ＋ 3 ＝ 0 或 x － y － 1 ＝ 0. 当堂测 · 查 疑缺 1 2 3 4 1. 函数 y ＝ (3 x － 2) 2 的导数为 ( 　　 ) A.2(3 x － 2) B.6 x C.6 x (3 x － 2) D.6(3 x － 2) 解析　 y ′ ＝ 2(3 x － 2)·(3 x － 2) ′ ＝ 6(3 x － 2). D 1 2 3 4 2. 若函数 y ＝ sin 2 x ，则 y ′ 等于 ( 　　 ) A.sin 2 x B.2sin x C.sin x cos x D.cos 2 x 解析　 y ′ ＝ 2sin x ·(sin x ) ′ ＝ 2sin x ·cos x ＝ sin 2 x . A 1 2 3 3. 若 y ＝ f ( x 2 ) ，则 y ′ 等于 ( 　　 ) A.2 xf ′ ( x 2 ) B.2 xf ′ ( x ) C.4 x 2 f ( x ) D. f ′ ( x 2 ) 解析　 设 x 2 ＝ u ， 则 y ′ ＝ f ′ ( u )· u x ′ ＝ f ′ ( x 2 )·( x 2 ) ′ ＝ 2 xf ′ ( x 2 ). 4 A 1 2 3 4 4. 设曲线 y ＝ e ax 在点 (0,1) 处的切线与直线 x ＋ 2 y ＋ 1 ＝ 0 垂直，则 a ＝ ________. 解析　 由题意知 y ′ | x ＝ 0 ＝ a e ax | x ＝ 0 ＝ a ＝ 2 . 2 呈 重点、现 规律 求简单复合函数 f ( ax ＋ b ) 的导数 求简单复合函数的导数，实质是运用整体思想，先把简单复合函数转化为常见函数 y ＝ f ( u ) ， u ＝ ax ＋ b 的形式，然后再分别对 y ＝ f ( u ) 与 u ＝ ax ＋ b 分别求导，并把所得结果相乘 . 灵活应用整体思想把函数化为 y ＝ f ( u ) ， u ＝ ax ＋ b 的形式是关键 . 更多精彩内容请 登录 http ://www.91taoke.com 谢谢观看