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  • 2021-06-23 发布

高中数学选修2-2教学课件第二章 5

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§5   简单复合函数 的 求导法则 第二章 变化率与导数 明目标 知重点 填 要点 记疑点 探 要点 究所然 内容 索引 01 02 03 当堂测 查疑缺 04 1. 了解复合函数的概念,掌握复合函数的求导法则 . 2. 能够利用复合函数的求导法则,并结合已经学过的公式、法则进行一些复合函数的求导 ( 仅限于形 如 f ( ax + b ) 的导数 ). 明目标、知重点 填要点 · 记疑点 1. 复合函数的概念 一般地,对于两个函数 y = f ( u ) 和 u = φ ( x ) = ax + b ,给定 x 的一个值,就得到了 u 的值,进而确定了 y 的值,这样 y 可以表示 成 , 我们称这个函数为函数 y = f ( u ) 和 u = φ ( x ) 的 , 记 作 , 其中 u 为中间变量 . x 的函数 复合函数 y = f ( φ ( x ) ) 2. 复合函数的求导法则 复合函数 y = f ( φ ( x )) 的导数和函数 y = f ( u ) , u = φ ( x ) 的导数间的关系为 y x ′ = . 即 y 对 x 的导数 是 . y u ′ · u x ′ y 对 u 的 导数 与 u 对 x 的导数的乘积 探要点 · 究 所然 探究点一 复合函数的定义 思考 1  观察函数 y = 2 x cos x 及 y = ln( x + 2) 的结构特点,说明它们分别是由哪些基本函数组成的? 答  y = 2 x cos x 是由 u = 2 x 及 v = cos x 相乘得到的;而 y = ln( x + 2) 是由 u = x + 2 与 y = ln u ( x > - 2) 经过 “ 复合 ” 得到的,即 y 可以通过中间变量 u 表示为自变量 x 的函数 . 所以 y = ln( x + 2) 称为复合函数 . 思考 2  对一个复合函数,怎样判断函数的复合关系? 答  复合函数是因变量通过中间变量表示为自变量的函数的过程 . 在分析时可以从外向里出发,先根据最外层的主体函数结构找出 y = f ( u ) ;再根据内层的主体函数结构找出函数 u = g ( x ) ,函数 y = f ( u ) 和 u = g ( x ) 复合而成函数 y = f ( g ( x )). 思考 3  在复合函数中,内层函数的值域 A 与外层函数的定义域 B 有何关系? 答  A ⊆ B . 小结  要特别注意两个函数的积与复合函数的区别,对于复合函数,要掌握引入中间变量,将其分拆成几个基本初等函数的方法 . 例 1   指出下列函数是怎样复合而成的: (1) y = (3 + 5 x ) 2 ; 解  y = (3 + 5 x ) 2 是由函数 y = u 2 , u = 3 + 5 x 复合而成的 ; (2) y = log 3 ( x 2 - 2 x + 5) ; 解  y = log 3 ( x 2 - 2 x + 5) 是由函数 y = log 3 u , u = x 2 - 2 x + 5 复合而成的 ; (3) y = cos 3 x . 解  y = cos 3 x 是由函数 y = cos u , u = 3 x 复合而成的 . 反思与感悟  分析函数的复合过程主要是设出中间变量 u ,分别找出 y 和 u 的函数关系, u 和 x 的函数关系 . 跟踪训练 1  指出下列函数由哪些函数复合而成: 探究点二 复合函数导数的求解 思考  如何求复合函数的导数? 答  对于简单复合函数的求导,其一般步骤为 “ 分解 —— 求导 —— 回代 ” ,即: (1) 弄清复合关系,将复合函数分解成基本初等函数形式; (2) 利用求导法则分层求导; (3) 最终结果要将中间变量换成自变量 . 注意不要漏掉第 (3) 步回代的过程 . 例 2   求下列函数的导数: (1) y = (2 x - 1) 4 ; 解  原函数可看作 y = u 4 , u = 2 x - 1 的复合函数 , 则 y x ′ = y u ′ · u x ′ = ( u 4 ) ′ ·(2 x - 1) ′ = 4 u 3 ·2 = 8(2 x - 1) 3 . 解  原函数可看作 y = sin u , u =- 2 x + 的 复合函数, 解  原函数可看作 y = 10 u , u = 2 x + 3 的复合函数, 则 y x ′ = y u ′ · u x ′ = 10 2 x + 3 ·ln 10·2 = (ln 100)10 2 x + 3 . 反思与感悟  分析复合函数的结构,找准中间变量是求导的关键,要善于把一部分量、式子暂时看作一个整体,并且它们必须是一些常见的基本函数 . 复合函数的求导熟练后,中间步骤可以省略,不必再写出函数的复合过程,直接运用公式,从外层开始由外及内逐层求导 . 跟踪训练 求下列函数的导数: 探究点三 复合函数导数的应用 例 3   求曲线 y = f ( x ) = e 2 x + 1 在点 ( - , 1) 处的切线方程 . 解  ∵ y ′ = e 2 x + 1 ·(2 x + 1) ′ = 2e 2 x + 1 , 即 2 x - y + 2 = 0. 反思与感悟  求曲线切线的关键是正确求复合函数的导数,要注意 “ 在某点处的切线 ” 与 “ 过某点的切线 ” 两种不同的说法 . 跟踪训练 3   曲线 y = e sin x 在 (0,1) 处的切线与直线 l 平行,且与 l 的距离 为 , 求直线 l 的方程 . 解  设 u = sin x , 则 y ′ = (e sin x ) ′ = (e u ) ′ (sin x ) ′ = cos x e sin x . y ′ | x = 0 = 1. 则切线方程 为 y - 1 = x - 0 , 即 x - y + 1 = 0. 若直线 l 与切线平行可设直线 l 的方程为 x - y + c = 0 . 故直线 l 的方程为 x - y + 3 = 0 或 x - y - 1 = 0. 当堂测 · 查 疑缺 1 2 3 4 1. 函数 y = (3 x - 2) 2 的导数为 (    ) A.2(3 x - 2) B.6 x C.6 x (3 x - 2) D.6(3 x - 2) 解析  y ′ = 2(3 x - 2)·(3 x - 2) ′ = 6(3 x - 2). D 1 2 3 4 2. 若函数 y = sin 2 x ,则 y ′ 等于 (    ) A.sin 2 x B.2sin x C.sin x cos x D.cos 2 x 解析  y ′ = 2sin x ·(sin x ) ′ = 2sin x ·cos x = sin 2 x . A 1 2 3 3. 若 y = f ( x 2 ) ,则 y ′ 等于 (    ) A.2 xf ′ ( x 2 ) B.2 xf ′ ( x ) C.4 x 2 f ( x ) D. f ′ ( x 2 ) 解析  设 x 2 = u , 则 y ′ = f ′ ( u )· u x ′ = f ′ ( x 2 )·( x 2 ) ′ = 2 xf ′ ( x 2 ). 4 A 1 2 3 4 4. 设曲线 y = e ax 在点 (0,1) 处的切线与直线 x + 2 y + 1 = 0 垂直,则 a = ________. 解析  由题意知 y ′ | x = 0 = a e ax | x = 0 = a = 2 . 2 呈 重点、现 规律 求简单复合函数 f ( ax + b ) 的导数 求简单复合函数的导数,实质是运用整体思想,先把简单复合函数转化为常见函数 y = f ( u ) , u = ax + b 的形式,然后再分别对 y = f ( u ) 与 u = ax + b 分别求导,并把所得结果相乘 . 灵活应用整体思想把函数化为 y = f ( u ) , u = ax + b 的形式是关键 . 更多精彩内容请 登录 http ://www.91taoke.com 谢谢观看

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