数学·上海市普陀区晋元高中2017届高三上学期期中数学试卷 Word版含解析 17页

‎2016-2017学年上海市普陀区晋元高中高三（上）期中数学试卷 ‎　‎ 一、填空题（每小题4分，共56分）‎ ‎1．已知集合A={1，2，k}，B={1，2，3，5}，若A∪B={1，2，3，5}，则k=　　．‎ ‎2．方程log3x+logx3=2的解是x=　　．‎ ‎3．若tanα=，则cos2α+2sin2α=　　．‎ ‎4．已知y=f（x）是奇函数，若g（x）=f（x）+2且g（1）=1，则g（﹣1）=　　．‎ ‎5．函数y=sinx和y=cosx均为减函数的区间是　　．‎ ‎6．已知数列{an}的前n项和Sn=n2+n（n∈n*），则=　　．‎ ‎7．若0≤x＜π，则满足方程tan（4x﹣）=1的角的集合是　　．‎ ‎8．在无穷等比数列{an}中，a1=，a2=1，则（a1+a3+a5+…+a2n﹣1）=　　．‎ ‎9．已知函数y=f（x）存在反函数y=f′（x），若函数y=f（x）﹣1的图象经过点（1，2），则函数y=f﹣1（x）+1的图象经过点　　．‎ ‎10．已知等比数列{an}的首项为2，公比为2，则=　　．‎ ‎11．已知集合A={x|x2+（p+2）x+1=0，p∈R}，若A∩R+=∅，则实数p的取值范围是　　．‎ ‎12．已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|≤），x=﹣为f（x）的零点，x=为y=f（x）图象的对称轴，且f（x）在（，）单调，则ω的最大值为　　．‎ ‎13．定义“规范01数列”{an}如下：{an}共有2m项，其中m项为0，m项为1，且对任意k≤2m，a1，a2…ak中0的个数不少于1的个数．若m=4，则不同的“规范01数列”共有　　个．‎ ‎14．已知函数f（x）=，若关于x方程f（x）=ax有三个不相等的实数根，则实数a的取值范围是　　．‎ ‎　‎ 二、选择题（本大题共有4题，每小题5分）‎ ‎15．已知函数f（x）=（1+cos2x）sin2x，x∈R，则f（x）是（　　）‎ A．最小正周期为π的奇函数 B．最小正周期为的奇函数 C．最小正周期为π的偶函数 D．最小正周期为的偶函数 ‎16．“非空集合M的元素都是集合P的元素”是假命题，则以下四个命题：‎ ‎（1）M的元素都不是P的元素；‎ ‎（2）M中有不属于P元素；‎ ‎（3）M中有P的元素；‎ ‎（4）M的元素不都是P的元素，‎ 其中真命题的个数有（　　）‎ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 ‎17．已知函数f（x）是定义R上的偶函数，且以2为周期，则“f（x）为[0，1]上的增函数”是“f（x）为[3，4]上的减函数”（　　）‎ A．既不充分也不必要条件 B．充分非必要条件 C．必要非充分条件 D．充要条件 ‎18．设a1，a2，a3，a4是等差数列，且满足1＜a1＜3，a3=4，若，给出下列命题：（1）b1，b2，b3，b4是一个等比数列； （2）b1＜b2； （3）b2＞4； （4）b4＞32； （5）b2b4=256．其中真命题的个数是（　　）‎ A．2 B．3 C．4 D．5‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤．‎ ‎19．关于x的不等式x2﹣（2a+1）x+（a2+a﹣2）＞0、x2﹣（a2+a）x+a3＜0的解集分别为M和N ‎（1）试求M和N ‎（2）若M∩N=∅，求实数a的取值范围．‎ ‎20．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且A，B，C成等差数列．‎ ‎（Ⅰ）若b=，a=3，求c的值；‎ ‎（Ⅱ）设t=sinAsinC，求t的最大值．‎ ‎21．由于浓酸泄漏对河流形成了污染，现决定向河中投入固体碱．1个单位的固体碱在水中逐步溶化，水中的碱浓度y与时间x的关系，可近似地表示为y=．只有当河流中碱的浓度不低于1时，才能对污染产生有效的抑制作用．‎ ‎（1）如果只投放1个单位的固体碱，则能够维持有效抑制作用的时间有多长？‎ ‎（2）当河中的碱浓度开始下降时，即刻第二次投放1个单位的固体碱，此后，每一时刻河中的碱浓度认为是各次投放的碱在该时刻相应的碱浓度的和，求河中碱浓度可能取得的最大值．‎ ‎22．已知递增的等差数列{an}的首项a1=1，且a1、a2、a4成等比数列．‎ ‎（1）求数列{an}的通项公式an；‎ ‎（2）设{cn}对任意n∈NΦ，都有++…+=an+1成立，求c1+c2+…+c2015的值；‎ ‎（3）若bn=（n∈NΦ），求证：数列{bn}中的任意一项总可以表示成其他两项之积．‎ ‎23．已知函数f1（x）=e|x﹣2a+1|，f2（x）=e|x﹣a|+1，x∈R，1≤a≤6．‎ ‎（1）若a=2，求使f1（x）=f2（x）的x的值；‎ ‎（2）若|f1（x）﹣f2（x）|=f2（x）﹣f1（x）对于任意的实数x恒成立，求a的取值范围；‎ ‎（3）求函数g（x）=﹣在[1，6]上的最小值．‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年上海市普陀区晋元高中高三（上）期中数学试卷 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、填空题（每小题4分，共56分）‎ ‎1．已知集合A={1，2，k}，B={1，2，3，5}，若A∪B={1，2，3，5}，则k=　3或5　．‎ ‎【考点】并集及其运算．‎ ‎【分析】利用并集定义直接求解．‎ ‎【解答】解：∵集合A={1，2，k}，B={1，2，3，5}，A∪B={1，2，3，5}，‎ ‎∴k=3或k=5．‎ 故答案为：3或5．‎ ‎　‎ ‎2．方程log3x+logx3=2的解是x=　3　．‎ ‎【考点】函数的零点与方程根的关系．‎ ‎【分析】解关于对数的方程，求出x的值即可．‎ ‎【解答】解：∵log3x+logx3=2，‎ ‎∴log3x+=2，‎ ‎∴（log3x﹣1）2=0，解得：x=3，‎ 故答案为：3．‎ ‎　‎ ‎3．若tanα=，则cos2α+2sin2α=　　．‎ ‎【考点】同角三角函数基本关系的运用．‎ ‎【分析】利用同角三角函数的基本关系，二倍角的正弦公式，求得要求式子的值．‎ ‎【解答】解：∵tanα=，则cos2α+2sin2α====，‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ ‎4．已知y=f（x）是奇函数，若g（x）=f（x）+2且g（1）=1，则g（﹣1）=　3　．‎ ‎【考点】函数奇偶性的性质；函数的值．‎ ‎【分析】由题意y=f（x）是奇函数，g（x）=f（x）+2得到g（x）+g（﹣x）=f（x）+2+f（﹣x）+2=4，再令x=1即可得到1+g（﹣1）=4，从而解出答案 ‎【解答】解：由题意y=f（x）是奇函数，g（x）=f（x）+2‎ ‎∴g（x）+g（﹣x）=f（x）+2+f（﹣x）+2=4‎ 又g（1）=1‎ ‎∴1+g（﹣1）=4，解得g（﹣1）=3‎ 故答案为：3‎ ‎　‎ ‎5．函数y=sinx和y=cosx均为减函数的区间是　[2kπ+，2kπ+π]（k∈Z）　．‎ ‎【考点】正弦函数的图象；余弦函数的图象．‎ ‎【分析】分别求出函数y=sinx和y=cosx为减函数的区间，取公共部分可得．‎ ‎【解答】解：y=sinx是减函数的区间是[2kπ+，2kπ+π]；‎ 使y=cosx是减函数的区间是[2kπ，2kπ+π]，‎ ‎∴同时成立的区间为[2kπ+，2kπ+π]（k∈Z）．‎ 故答案为[2kπ+，2kπ+π]（k∈Z）．‎ ‎　‎ ‎6．已知数列{an}的前n项和Sn=n2+n（n∈n*），则=　2　．‎ ‎【考点】数列的求和；极限及其运算．‎ ‎【分析】由题意可知：n=1，a1=S1=1+1=2，当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=n2+n﹣（n﹣1）2+（n﹣1）=2n，则an=2n（n∈n*），==2=2．‎ ‎【解答】解：由Sn=n2+n（n∈n*），‎ 当n=1，a1=S1=1+1=2，‎ 当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=n2+n﹣（n﹣1）2+（n﹣1）=2n，‎ 当n=1时，a1=2×1=2，成立，‎ ‎∵an=2n（n∈n*），‎ ‎∴==2=2，‎ ‎∴=2，‎ 故答案为：2．‎ ‎　‎ ‎7．若0≤x＜π，则满足方程tan（4x﹣）=1的角的集合是　{，，， }　．‎ ‎【考点】三角方程．‎ ‎【分析】由题意，4x﹣=kπ+，求出x，根据0≤x＜π，即可得出结论．‎ ‎【解答】解：由题意，4x﹣=kπ+，k∈Z ‎∴x=kπ+，‎ ‎∵0≤x＜π，‎ ‎∴x=，，，，‎ 故答案为{，，， }．‎ ‎　‎ ‎8．在无穷等比数列{an}中，a1=，a2=1，则（a1+a3+a5+…+a2n﹣1）=　　．‎ ‎【考点】等比数列的前n项和．‎ ‎【分析】利用无穷等比数列的求和公式即可得出．‎ ‎【解答】解：公比q=，q2=．‎ ‎∴则（a1+a3+a5+…+a2n﹣1）===．‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ ‎9．已知函数y=f（x）存在反函数y=f′（x），若函数y=f（x）﹣1的图象经过点（1，2），则函数y=f﹣1（x）+1的图象经过点　（3，2）　．‎ ‎【考点】反函数．‎ ‎【分析】利用数y=f（x）存在反函数y=f′（x），图象关于y=x对称，判断函数y=f（x）的图象经过点（1，3），再得出函数y=f﹣1（x）过点（3，1），利用平移即可得出答案．‎ ‎【解答】解：∵函数y=f（x）存在反函数y=f′（x），‎ ‎∴图象关于y=x对称，‎ ‎∵函数y=f（x）﹣1的图象经过点（1，2），‎ ‎∴函数y=f（x）的图象经过点（1，3），‎ ‎∴函数y=f﹣1（x）过点（3，1）‎ ‎∴函数y=f﹣1（x）+1的图象经过点（3，2）‎ 故答案为：（3，2）‎ ‎　‎ ‎10．已知等比数列{an}的首项为2，公比为2，则=　4　．‎ ‎【考点】等比数列的通项公式．‎ ‎【分析】由等比数列的通项公式 an=2×2n﹣1=2n，故 =2×=．代入要求的式子利用有理指数幂的运算法则化简求得结果．‎ ‎【解答】解：∵等比数列{an}的首项为2，公比为2，∴an=2×2n﹣1=2n．‎ ‎∴=2×=．‎ ‎∴=====4，‎ 故答案为 4．‎ ‎　‎ ‎11．已知集合A={x|x2+（p+2）x+1=0，p∈R}，若A∩R+=∅，则实数p的取值范围是　（﹣4，+∞）　．‎ ‎【考点】交集及其运算．‎ ‎【分析】根据集合A∩R+=∅，对集合A进行讨论即可．‎ ‎【解答】解：集合A={x|x2+（p+2）x+1=0，p∈R}，‎ 若判别式△=（p+2）2﹣4＜0，即（p+2）2＜4，解得﹣4＜p＜0，此时A=∅，满足条件．‎ 若△=（p+2）2﹣4≥0，即（p+2）2≥4，解得p≤﹣4或p≥0，‎ 此时若A∩R+=∅，‎ 则方程的根满足x≤0，‎ 设f（x）=x2+（p+2）x+1，‎ 若，即，‎ 综上：p＞﹣4，‎ 故答案为：（﹣4，+∞）．‎ ‎　‎ ‎12．已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|≤），x=﹣为f（x）的零点，x=为y=f（x）图象的对称轴，且f（x）在（，）单调，则ω的最大值为　9　．‎ ‎【考点】正弦函数的图象．‎ ‎【分析】先跟据正弦函数的零点以及它的图象的对称性，判断ω为奇数，由f（x）在（，）单调，可得ω•+φ≥2kπ﹣，且ω•+φ≤2kπ+，k∈Z，由此求得ω的范围，检验可得它的最大值．‎ ‎【解答】解：∵函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|≤），x=﹣为f（x）的零点，x=为y=f（x）图象的对称轴，‎ ‎∴ω（﹣）+φ=nπ，n∈Z，且ω•+φ=n′π+，n′∈Z，‎ ‎∴相减可得ω•=（n′﹣n）π+=kπ+，k∈Z，即ω=2k+1，即ω为奇数．‎ ‎∵f（x）在（，）单调，∴ω•+φ≥2kπ﹣，且ω•+φ≤2kπ+，k∈Z，‎ 即﹣ω•﹣φ≤﹣2kπ+ ①，且ω•+φ≤2kπ+，k∈Z ②，‎ 把①②可得ωπ≤π，∴ω≤12，故有奇数ω的最大值为11．‎ 当ω=11时，﹣+φ=kπ，k∈Z，∵|φ|≤，∴φ=﹣．‎ 此时f（x）=sin（11x﹣）在（，）上不单调，不满足题意．‎ 当ω=9时，﹣+φ=kπ，k∈Z，∵|φ|≤，∴φ=，‎ 此时f（x）=sin（9x+）在（，）上单调递减，满足题意；‎ 故ω的最大值为9，‎ 故答案为：9．‎ ‎　‎ ‎13．定义“规范01数列”{an}如下：{an}共有2m项，其中m项为0，m项为1，且对任意k≤2m，a1，a2…ak中0的个数不少于1的个数．若m=4，则不同的“规范01数列”共有　14　个．‎ ‎【考点】排列、组合的实际应用．‎ ‎【分析】由新定义可得，“规范01数列”有偶数项2m项，且所含0与1的个数相等，首项为0，末项为1，当m=4时，数列中有四个0和四个1，然后一一列举得答案．‎ ‎【解答】解：由题意可知，“规范01数列”有偶数项2m项，且所含0与1的个数相等，首项为0，末项为1，若m=4，说明数列有8项，满足条件的数列有：‎ ‎0，0，0，0，1，1，1，1； 0，0，0，1，0，1，1，1； 0，0，0，1，1，0，1，1； 0，0，0，1，1，1，0，1； 0，0，1，0，0，1，1，1；‎ ‎0，0，1，0，1，0，1，1； 0，0，1，0，1，1，0，1； 0，0，1，1，0，1，0，1； 0，0，1，1，0，0，1，1； 0，1，0，0，0，1，1，1；‎ ‎0，1，0，0，1，0，1，1； 0，1，0，0，1，1，0，1； 0，1，0，1，0，0，1，1； 0，1，0，1，0，1，0，1．共14个．‎ 故答案为14‎ ‎　‎ ‎14．已知函数f（x）=，若关于x方程f（x）=ax有三个不相等的实数根，则实数a的取值范围是　[，1）　．‎ ‎【考点】根的存在性及根的个数判断．‎ ‎【分析】我们在同一坐标系中画出函数f（x）=的图象与函数y=x+a的图象，利用数形结合，我们易求出满足条件实数a的取值范围．‎ ‎【解答】解：函数f（x）=f（x）=，‎ 的图象如图所示，‎ 当≤a＜1时，函数y=f（x）的图象与函数y=ax的图象有三个交点，‎ 即方程f（x）=ax有三个不相等的实数根．‎ 故答案为：[，1）．‎ ‎　‎ 二、选择题（本大题共有4题，每小题5分）‎ ‎15．已知函数f（x）=（1+cos2x）sin2x，x∈R，则f（x）是（　　）‎ A．最小正周期为π的奇函数 B．最小正周期为的奇函数 C．最小正周期为π的偶函数 D．最小正周期为的偶函数 ‎【考点】三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法．‎ ‎【分析】用二倍角公式把二倍角变为一倍角，然后同底数幂相乘公式逆用，变为二倍角正弦的平方，再次逆用二倍角公式，得到能求周期和判断奇偶性的表示式，得到结论．‎ ‎【解答】解：∵f（x）=（1+cos2x）sin2x=2cos2xsin2x=sin22x==，‎ 故选D．‎ ‎　‎ ‎16．“非空集合M的元素都是集合P的元素”是假命题，则以下四个命题：‎ ‎（1）M的元素都不是P的元素；‎ ‎（2）M中有不属于P元素；‎ ‎（3）M中有P的元素；‎ ‎（4）M的元素不都是P的元素，‎ 其中真命题的个数有（　　）‎ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 ‎【考点】四种命题；命题的真假判断与应用．‎ ‎【分析】由于“非空集合M的元素都是集合P的元素”是假命题，可得：“非空集合M的元素至少有一个元素不属于集合P”是真命题．据此即可判断出（1）（2）（3）（4）命题的真假．‎ ‎【解答】解：由于“非空集合M的元素都是集合P的元素”是假命题，可得：“非空集合M的元素至少有一个元素不属于集合P”是真命题．‎ 据此可知：（1）不正确；（2）正确；（3）M中不一定有P的元素，例如M={a}，则a∉P；（4）正确．‎ 综上可知：真命题只有（2）（4）．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎17．已知函数f（x）是定义R上的偶函数，且以2为周期，则“f（x）为[0，1]上的增函数”是“f（x）为[3，4]上的减函数”（　　）‎ A．既不充分也不必要条件 B．充分非必要条件 C．必要非充分条件 D．充要条件 ‎【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．‎ ‎【分析】由题意，可由函数的性质得出f（x）为[﹣1，0]上是减函数，再由函数的周期性即可得出f（x）为[3，4]上的减函数，由此证明充分性，再由f（x）为[3，4]上的减函数结合周期性即可得出f（x）为[﹣1，0]上是减函数，再由函数是偶函数即可得出f（x）为[0，1]上的增函数，由此证明必要性，即可得出正确选项 ‎【解答】解：∵f（x）是定义在R上的偶函数，‎ ‎∴若f（x）为[0，1]上的增函数，则f（x）为[﹣1，0]上是减函数，‎ 又∵f（x）是定义在R上的以2为周期的函数，且[3，4]与[﹣1，0]相差两个周期，‎ ‎∴两区间上的单调性一致，所以可以得出f（x）为[3，4]上的减函数，故充分性成立．‎ 若f（x）为[3，4]上的减函数，同样由函数周期性可得出f（x）为[﹣1，0]上是减函数，再由函数是偶函数可得出f（x）为[0，1]上的增函数，故必要性成立．‎ 综上，“f（x）为[0，1]上的增函数”是“f（x）为[3，4]上的减函数”的充要条件．‎ 故选D．‎ ‎　‎ ‎18．设a1，a2，a3，a4是等差数列，且满足1＜a1＜3，a3=4，若，给出下列命题：（1）b1，b2，b3，b4是一个等比数列； （2）b1＜b2； （3）b2＞4； （4）b4＞32； （5）b2b4=256．其中真命题的个数是（　　）‎ A．2 B．3 C．4 D．5‎ ‎【考点】命题的真假判断与应用．‎ ‎【分析】由于a1，a2，a3，a4是等差数列，且满足1＜a1＜3，a3=4，可得其公差＜d＜，而bn=为等比数列，利用等比数列的性质对（1）、（2）、（3）、（4）、（5）逐个判断即可．‎ ‎【解答】解：∵a1，a2，a3，a4是等差数列，设其公差为d，又1＜a1＜3，a3=4，‎ ‎∴a3=4=a1+（3﹣1）d，即1＜4﹣2d＜3，‎ ‎∴＜d＜．‎ ‎∵bn=，‎ ‎∴==2d＞1（n=1，2，3，4），‎ ‎∴{bn}为等比数列，故（1）正确；（2）正确；‎ 又b2===24﹣d＞=＞22=4，故（3）正确；‎ b4=b3•2d=24•2d=24+d＞=16，故（4）错误；‎ 又b2b4==（24）2=256，故（5）正确．‎ 综上所述，真命题的个数是4个．‎ 故选C．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤．‎ ‎19．关于x的不等式x2﹣（2a+1）x+（a2+a﹣2）＞0、x2﹣（a2+a）x+a3＜0的解集分别为M和N ‎（1）试求M和N ‎（2）若M∩N=∅，求实数a的取值范围．‎ ‎【考点】交集及其运算．‎ ‎【分析】（1）解不等式x2﹣（2a+1）x+（a2+a﹣2）＞0，得集合M；解不等式x2﹣（a2+a）x+a3＜0，得集合N；‎ ‎（2）讨论a的取值，得出M∩N=∅时a的取值范围．‎ ‎【解答】解：（1）不等式x2﹣（2a+1）x+（a2+a﹣2）＞0，‎ 变形得：（x﹣a+1）（x﹣a﹣2）＞0，‎ 解得：x＜a﹣1或x＞a+2，即M=（﹣∞，a﹣1）∪（a+2，+∞），‎ 不等式x2﹣（a2+a）x+a3＜0，‎ 变形得：（x﹣a2）（x﹣a）＜0，‎ 当a＞1或a＜0时，解集为：a＜x＜a2，即N=（a，a2）；‎ 当0＜a＜1时，解集为：a2＜x＜a，即N=（a2，a）；‎ 当a=0或a=1时，解集为空集，即N=∅；‎ ‎（2）当a＜0或＞1时，‎ ‎∵a＞a﹣1，‎ ‎∴，‎ 解得，‎ 即取﹣1≤a＜0或1＜a≤2；‎ 当0＜a＜1时，‎ ‎∵a＜a+2，‎ ‎∴，‎ 解得，‎ 即取0＜a＜1；‎ ‎∴当a=0或a=1时，‎ ‎∵B=∅，‎ ‎∴A∩B=∅，‎ 即取a=0或a=1；‎ 综上：﹣1≤a≤2．‎ ‎　‎ ‎20．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且A，B，C成等差数列．‎ ‎（Ⅰ）若b=，a=3，求c的值；‎ ‎（Ⅱ）设t=sinAsinC，求t的最大值．‎ ‎【考点】余弦定理；等差数列的通项公式；两角和与差的正弦函数．‎ ‎【分析】（Ⅰ）由A，B，C成等差数列求得B的值，再由余弦定理求得c的值．‎ ‎（Ⅱ）因为，利用两角和差的正弦公式化简函数t的解析式，再利用正弦函数的定义域和值域，求得t的最大值．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）因为A，B，C成等差数列，所以2B=A+C．‎ 因为A+B+C=π，所以．‎ 因为，a=3，b2=a2+c2﹣2accosB，所以c2﹣3c﹣4=0，解得c=4，或c=﹣1（舍去）．‎ ‎（Ⅱ）因为，所以， =‎ ‎==．‎ 因为，所以，．‎ 所以当，即时，t有最大值．‎ ‎　‎ ‎21．由于浓酸泄漏对河流形成了污染，现决定向河中投入固体碱．1个单位的固体碱在水中逐步溶化，水中的碱浓度y与时间x的关系，可近似地表示为y=．只有当河流中碱的浓度不低于1时，才能对污染产生有效的抑制作用．‎ ‎（1）如果只投放1个单位的固体碱，则能够维持有效抑制作用的时间有多长？‎ ‎（2）当河中的碱浓度开始下降时，即刻第二次投放1个单位的固体碱，此后，每一时刻河中的碱浓度认为是各次投放的碱在该时刻相应的碱浓度的和，求河中碱浓度可能取得的最大值．‎ ‎【考点】函数模型的选择与应用．‎ ‎【分析】（1）利用分段函数解析式，分别列出不等式，解之，即可求得x的范围，从而可得能够维持有效抑制作用的时间；‎ ‎（2）确定函数在[0，2]上单调递增，当2＜x≤4时，y=4﹣x单调递减，进而可得函数，利用基本不等式，即可求得最值 ‎【解答】解：（1）由题意，当0≤x≤2时，，∴x2﹣5x+2≤0，∴，‎ ‎∵0≤x≤2，∴‎ 当2＜x≤4时，4﹣x≥1，∴x≤3，∵2＜x≤4，∴2＜x≤3‎ 综上，得，‎ 即若1个单位的固体碱只投放一次，则能够维持有效抑制作用的时间为；‎ ‎（2）当0≤x≤2时，，y′=＞0，∴函数在[0，2]上单调递增，‎ 当2＜x≤4时，y=4﹣x单调递减，所以当河中的碱浓度开始下降时，即刻第二次投放1个单位的固体碱，‎ 即2＜x≤4时，y=4﹣x+[﹣]=14﹣（2x+），‎ 故当且仅当，即x=2时，y有最大值14﹣8．‎ ‎　‎ ‎22．已知递增的等差数列{an}的首项a1=1，且a1、a2、a4成等比数列．‎ ‎（1）求数列{an}的通项公式an；‎ ‎（2）设{cn}对任意n∈NΦ，都有++…+=an+1成立，求c1+c2+…+c2015的值；‎ ‎（3）若bn=（n∈NΦ），求证：数列{bn}中的任意一项总可以表示成其他两项之积．‎ ‎【考点】数列的求和．‎ ‎【分析】（1）通过a1、a2、a4成等比数列，解方程（1+d）2=1+3d，计算即得结论；‎ ‎（2）通过an+1=n+1可知c1=4，当n≥2时利用=（++…+）﹣（++…+）计算可知cn=2n，进而利用等比数列的求和公式计算即得结论；‎ ‎（3）假设存在k、t≠n（k、t∈N*）使得bn=bk•bt，即只需=•，化简可知t=，取值即可．‎ ‎【解答】（1）解：∵数列{an}是递增的等差数列，设公差为d（d＞0），‎ 由a1、a2、a4成等比数列，可知：，‎ ‎∴（1+d）2=1+3d，‎ 解得：d=1或d=0（舍），‎ ‎∴an=1+（n﹣1）=n；‎ ‎（2）解：∵an+1=n+1，‎ ‎∴++…+=n+1对任意n∈N*都成立，‎ 当n=1时， =2，即c1=4；‎ 当n≥2时， =（++…+）﹣（++…+）=1，‎ ‎∴cn=2n，‎ ‎∴cn=．‎ ‎∴c1+c2+…+c2015=4+22+23+…+22015‎ ‎=4+‎ ‎=22016；‎ ‎（3）证明：对于给定的n∈N*，假设存在k、t≠n（k、t∈N*），使得bn=bk•bt，‎ ‎∵bn=，‎ ‎∴只需=•，‎ 即1+=（1+）（1+），‎ 即=++•，‎ 即kt=nt+nk+n，t=，‎ 取k=n+1，则t=n（n+2），‎ ‎∴对数列{bn}中的任意一项bn=，都存在bn+1=和=使得bn=bn+1•．‎ ‎　‎ ‎23．已知函数f1（x）=e|x﹣2a+1|，f2（x）=e|x﹣a|+1，x∈R，1≤a≤6．‎ ‎（1）若a=2，求使f1（x）=f2（x）的x的值；‎ ‎（2）若|f1（x）﹣f2（x）|=f2（x）﹣f1（x）对于任意的实数x恒成立，求a的取值范围；‎ ‎（3）求函数g（x）=﹣在[1，6]上的最小值．‎ ‎【考点】指数函数综合题；指数型复合函数的性质及应用．‎ ‎【分析】（1）若a=2，解方程f1（x）=f2（x）即可求x的值；‎ ‎（2）若|f1（x）﹣f2（x）|=f2（x）﹣f1（x）对于任意的实数x恒成立，转化为f1（x）≤f2（x）恒成立，即可求a的取值范围；‎ ‎（3）求出g（x）的表达式，讨论a的取值范围即可求出函数的最值．‎ ‎【解答】解：（1）若a=2，则f1（x）=e|x﹣3|，f2（x）=e|x﹣2|+1，‎ 由f1（x）=f2（x）得e|x﹣3|=e|x﹣2|+1，‎ 即|x﹣3|=|x﹣2|+1，‎ 若x≥3，则方程等价为x﹣3=x﹣2+1，即﹣3=﹣1，不成立，‎ 若2＜x＜3，则方程等价为﹣x+3=x﹣2+1，即2x=4，解得x=2，不成立，‎ 若x≤2，则方程等价为﹣x+3=﹣x+2+1，此时恒成立；‎ 综上使f1（x）=f2（x）的x的值满足x≤2．‎ ‎（2）即f1（x）≤f2（x）恒成立，得|x﹣2a+1|≤|x﹣a|+1，‎ 即|x﹣2a+1|﹣|x﹣a|≤1对x∈R恒成立，‎ 因|x﹣2a+1|﹣|x﹣a|≤|a﹣1|，‎ 故只需|a﹣1|≤1，解得0≤a≤2，‎ 又1≤a≤6，‎ 故a的取值范围为1≤a≤2．‎ ‎（3）‎ ‎①当1≤a≤2时，由（2）知，‎ 当x=2a﹣1∈[1，3]时，g（x）min=1．‎ ‎②当2＜a≤6时，（2a﹣1）﹣a=a﹣1＞0，‎ 故2a﹣1＞a．x≤a时，，；‎ x≥2a﹣1时，，；‎ a＜x＜2a﹣1时，由，得，其中，‎ 故当时，；‎ 当时，．‎ 因此，当2＜a≤6时，‎ 令，得x1=2a﹣2，x2=2a，且，如图，‎ ‎（ⅰ）当a≤6≤2a﹣2，即4≤a≤6时，g（x）min=f2（a）=e；‎ ‎（ⅱ） 当2a﹣2＜6≤2a﹣1，即时，；‎ ‎（ⅲ） 当2a﹣1＜6，即时，g（x）min=f1（2a﹣1）=1．‎ 综上所述，．‎ ‎　‎ ‎2016年12月16日