数学卷·2018届河北省张家口市涿鹿中学高二上学期第三次调研数学试卷（文科） （解析版） 19页

全*品*高*考*网， 用后离不了！2016-2017学年河北省张家口市涿鹿中学高二（上）第三次调研数学试卷（文科）‎ ‎　‎ 一、单项选择题（60分，每小题5分）‎ ‎1．函数f（x）=（2πx）2的导数是（　　）‎ A．f′（x）=4πx B．f′（x）=4π2x C．f′（x）=8π2x D．f′（x）=16πx ‎2．把87化为五进制数的首位数字是（　　）‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎3．某城市有甲、乙两种报纸供居民们订阅，记事件A为“只订阅甲报纸”，事件B为“至少订一种报纸”，事件C为“至多订一种报纸”，事件D为“不订甲报纸”，事件E为“一种报纸也不订”．下列是对立事件的是（　　）‎ A．A与C B．B与E C．B与C D．C与E ‎4．数据﹣5，3，2，﹣3，3的平均数，众数，中位数，方差分别是（　　）‎ A．0，3，3，11.2 B．0，3，2，56 C．0，3，2，11.2 D．0，2，3，56‎ ‎5．用秦九韶算法求f（x）=3x5+8x4﹣3x3+5x2+12x﹣6，当x=2时，V3的值为（　　）‎ A．55 B．56 C．57 D．58‎ ‎6．已知x，y的取值如下表：从散点图可以看出y与x线性相关，且回归方程为，则a=（　　）‎ x ‎0‎ ‎1‎ ‎3‎ ‎4‎ y ‎2.2‎ ‎4.3‎ ‎4.8‎ ‎6.7‎ A．3.25 B．2.6 C．2.2 D．0‎ ‎7．下面说法中不正确的命题个数为是（　　）‎ ‎①命题“∀x∈R，x2﹣x+1≤0”的否定是“”；‎ ‎‚②若“p∨q”为假命题，则p，q均为假命题；‎ ‎ƒ③“mn＞0”是“方程mx2+ny2=1表示椭圆”的充分不必要条件．‎ A．0 B．1 C．2 D．3‎ ‎8．已知f（x）的导函数f'（x）图象如图所示，那么f（x）的图象最有可能是图中的（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎9．按如下程序框图，若输出的结果为170，试判断框内应补充的条件为（　　）‎ A．i＞9 B．i≥9 C．i＞11 D．i≥11‎ ‎10．点P是抛物线y2=4x上一点，记P到抛物线准线的距离为d1，到直线x﹣2y+10=0的距离为d2，则d1+d2的最小值为（　　）‎ A． +1 B． C．5 D．不存在 ‎11．已知圆x2+y2=R2过双曲线（a＞0，b＞0）的右焦点F，且与双曲线在第一，三象限的交点分别为M，N，若∠MNF=时，则该双曲线的渐近线方程为（　　）‎ A．y=x B．y=x C．y=±x D．y=±2x ‎12．曲线y=ex和曲线y=lnx分别与直线x=x0交于点A，B，且曲线y=ex在点A处的切线与曲线y=lnx在点B处的切线平行，则x0在下列哪个区间内（　　）‎ A．（0，1） B．（1，2） C．（2，3） D．（3，4）‎ ‎　‎ 二、填空题（20分，每小题5分）‎ ‎13．如图的矩形，长为5，宽为2，在矩形内随机地撒300颗黄豆，数得落在阴影部分的黄豆数为138颗，则我们可以估计出阴影部分的面积为　　．‎ ‎14．某单位200名职工的年龄分布情况如图，现要从中抽取40名职工作样本、用系统抽样法，将全体职工随机按1～200编号，并按编号顺序平均分为40组（1～5号，6～10号，…，196～200号）．若第5组抽出的号码为22，则第8组抽出的号码应是　　．若用分层抽样方法，则40岁以下年龄段应抽取　　人．‎ ‎15．若函数f（x）=lnx﹣x2+x的单调减区间是　　．‎ ‎16．过抛物线y2=4x的焦点，作倾斜角为的直线交抛物线于P、Q两点，O为坐标原点，则△POQ的面积为　　．‎ ‎　‎ 三、解答题 ‎17．已知a＞0，设命题p：函数y=ax在R上单调递增；命题q：不等式x2﹣ax+1＞0对∀x∈R恒成立，若p且q为假，￢p为假，求实数a的取值范围．‎ ‎18．了研究某种细菌在特定环境下随时间变化的繁殖情况，得如下实验数据：‎ 天数t（天）‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ 繁殖个数y（千个）‎ ‎2.5‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎4.5‎ ‎6‎ ‎（1）求y关于t的线性回归方程；‎ ‎（2）利用（1）中的回归方程，预测t=8时，细菌繁殖个数．‎ ‎19．“双节”期间，高速公路车辆较多，某调查公司在一服务区从七座以下的小型汽车中按进服务区的先后每间隔50辆就抽取一辆的样本方法抽取40名驾驶员进行询问调查，将他们在某段高速公路的车速（km/h）分成六段；[60，65），[‎ ‎65，70），[70，75），[75，80），[80，85），[85，90]后得到如图所示的频率分布直方图．‎ ‎（1）求这40辆小型汽车车速的众数和中位数的估计值；‎ ‎（2）若从车速在[60，70）内的车辆中任抽取2辆，求车速在[65，70）内的车辆恰有一辆的概率．‎ ‎20．已知函数f（x）=lnx，g（x）=ax+b．‎ ‎（1）若f（x）与g（x）在x=1处相切，试求g（x）的表达式；‎ ‎（2）若φ（x）=﹣f（x）在[1，+∞）上是减函数，求实数m的取值范围．‎ ‎21．已知点P（2，2），圆C：x2+y2﹣8y=0，过点P的动直线l与圆C交于A、B两点，线段AB的中点为M，O为坐标原点．‎ ‎（Ⅰ）求M的轨迹方程；‎ ‎（Ⅱ）当|OP|=|OM|时，求l的方程及△POM的面积．‎ ‎22．已知抛物线C：x2=4y与直线y=kx+1交于M，N两点，其中点M位于点N的左侧．‎ ‎（1）当k=0时，分别求抛物线C在点M和N处的切线方程；‎ ‎（2）在y轴上是否存在点P，使得当k变动时，总有∠OPM=∠OPN（O为坐标原点）？若存在，求出P点坐标，若不存在，请说明理由．‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年河北省张家口市涿鹿中学高二（上）第三次调研数学试卷（文科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、单项选择题（60分，每小题5分）‎ ‎1．函数f（x）=（2πx）2的导数是（　　）‎ A．f′（x）=4πx B．f′（x）=4π2x C．f′（x）=8π2x D．f′（x）=16πx ‎【考点】导数的运算．‎ ‎【分析】利用复合函数的求导法则：外函数的导数乘以内函数的导数，求出f′（x）．‎ ‎【解答】解：f′（x）=2（2πx）（2πx）′=8π2x 故选C ‎　‎ ‎2．把87化为五进制数的首位数字是（　　）‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎【考点】进位制．‎ ‎【分析】利用“除k取余法”是将十进制数除以5，然后将商继续除以5，直到商为0，然后将依次所得的余数倒序排列即可得到答案．‎ ‎【解答】解：87÷5=17…2‎ ‎17÷5=3…2‎ ‎3÷5=0…3‎ 故87（10）=322（5）．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎3．某城市有甲、乙两种报纸供居民们订阅，记事件A为“只订阅甲报纸”，事件B为“至少订一种报纸”，事件C为“至多订一种报纸”，事件D为“不订甲报纸”，事件E为“一种报纸也不订”．下列是对立事件的是（　　）‎ A．A与C B．B与E C．B与C D．C与E ‎【考点】互斥事件与对立事件．‎ ‎【分析】利用对立事件定义求解．‎ ‎【解答】解：∵某城市有甲、乙两种报纸供居民们订阅，‎ 记事件A为“只订阅甲报纸”，事件B为“至少订一种报纸”，‎ 事件C为“至多订一种报纸”，事件D为“不订甲报纸”，事件E为“一种报纸也不订”，‎ ‎∴A与C有可能同时发生，故A和C不是对立事件；‎ B与E既不能同时发生，也不能同时不发生，故B与E是对立事件；‎ B与C有可能同时发生，故B和C不是对立事件；‎ C与E有可能同时发生，故C和E不是对立事件．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎4．数据﹣5，3，2，﹣3，3的平均数，众数，中位数，方差分别是（　　）‎ A．0，3，3，11.2 B．0，3，2，56 C．0，3，2，11.2 D．0，2，3，56‎ ‎【考点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差．‎ ‎【分析】利用平均数，众数，中位数，方差定义直接求解．‎ ‎【解答】解：数据﹣5，3，2，﹣3，3的平均数为：‎ ‎=（﹣5+3+2﹣3+3）=0，‎ 众数为：3，‎ 五个数从小到大排列为：﹣5，﹣3，2，3，3，故中位数是2，‎ 方差为：S2= [（﹣5）2+32+22+（﹣3）2+32]=11.2．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎5．用秦九韶算法求f（x）=3x5+8x4﹣3x3+5x2+12x﹣6，当x=2时，V3的值为（　　）‎ A．55 B．56 C．57 D．58‎ ‎【考点】秦九韶算法．‎ ‎【分析】先将多项式改写成如下形式：f（x）=（（（（3x+8）x﹣3）x+5）x+12）x﹣6，将x=2代入并依次计算v0，v1，v2，v3的值，即可得到答案．‎ ‎【解答】解：多项式f（x）=3x5+8x4﹣3x3+5x2+12x﹣6=（（（（3x+8）x﹣3）x+‎ ‎5）x+12）x﹣6，‎ 当x=2时，‎ v0=3，‎ v1=14，‎ v2=25，‎ v3=55，‎ 故选A ‎　‎ ‎6．已知x，y的取值如下表：从散点图可以看出y与x线性相关，且回归方程为，则a=（　　）‎ x ‎0‎ ‎1‎ ‎3‎ ‎4‎ y ‎2.2‎ ‎4.3‎ ‎4.8‎ ‎6.7‎ A．3.25 B．2.6 C．2.2 D．0‎ ‎【考点】回归分析．‎ ‎【分析】本题考查的知识点是线性回归直线的性质，由线性回归直线方程中系数的求法，我们可知在回归直线上，满足回归直线的方程，我们根据已知表中数据计算出，再将点的坐标代入回归直线方程，即可求出对应的a值．‎ ‎【解答】解：∵点在回归直线上，‎ 计算得，‎ ‎∴回归方程过点（2，4.5）‎ 代入得4.5=0.95×2+a ‎∴a=2.6；‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎7．下面说法中不正确的命题个数为是（　　）‎ ‎①命题“∀x∈R，x2﹣x+1≤0”的否定是“”；‎ ‎‚②若“p∨q”为假命题，则p，q均为假命题；‎ ‎ƒ③“mn＞0”是“方程mx2+ny2=1表示椭圆”的充分不必要条件．‎ A．0 B．1 C．2 D．3‎ ‎【考点】命题的真假判断与应用．‎ ‎【分析】由全称命题的否定为特称命题，即可判断①；‎ 由复合命题的真值表，即可判断②；‎ 由方程mx2+ny2=1表示椭圆⇔m＞0，n＞0且m≠n，即可判断③．‎ ‎【解答】解：对于①，命题“∀x∈R，x2﹣x+1≤0”的否定是“”，正确；‎ 对于②，若“p∨q”为假命题，则p，q均为假命题，正确；‎ 对于③，方程mx2+ny2=1表示椭圆⇔m＞0，n＞0且m≠n，‎ 则“mn＞0”是“方程mx2+ny2=1表示椭圆”的必要不充分条件，故③错．‎ 则不正确的命题个数为1．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎8．已知f（x）的导函数f'（x）图象如图所示，那么f（x）的图象最有可能是图中的（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】函数的图象．‎ ‎【分析】先根据导函数的图象确定导函数大于0 的范围和小于0的x的范围，进而根据当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减确定原函数的单调增减区间．‎ ‎【解答】解：x＜﹣2时，f′（x）＜0，则f（x）单减；‎ ‎﹣2＜x＜0时，f′（x）＞0，则f（x）单增；‎ x＞0时，f′（x）＜0，则f（x）单减．‎ 则符合上述条件的只有选项A．‎ 故选A．‎ ‎　‎ ‎9．按如下程序框图，若输出的结果为170，试判断框内应补充的条件为（　　）‎ A．i＞9 B．i≥9 C．i＞11 D．i≥11‎ ‎【考点】程序框图．‎ ‎【分析】按照程序框图的流程写出前四次循环的结果，直到第三次按照已知条件需要输出，根据第四次循环的i的值得到判断框中的条件．‎ ‎【解答】解：经过第一次循环得到S=2，i=3‎ 经过第二次循环得到S=2+23=10，i=5‎ 经过第三次循环得到S=10+25=42，i=7‎ 经过第四次循环得到S=42+27=170，i=9此时，需要输出结果，此时的i满足判断框中的条件 故判断框内应补充的条件为：i≥9．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎10．点P是抛物线y2=4x上一点，记P到抛物线准线的距离为d1，到直线x﹣2y+10=0的距离为d2，则d1+d2的最小值为（　　）‎ A． +1 B． C．5 D．不存在 ‎【考点】直线与抛物线的位置关系．‎ ‎【分析】点P到准线的距离等于点P到焦点F的距离，过焦点F作直线x﹣2y+10=0的垂线，此时d1+d2最小，根据抛物线方程求得F，进而利用点到直线的距离公式求得d1+d2的最小值．‎ ‎【解答】解：点P到准线的距离等于点P到焦点F的距离，过焦点F作直线x﹣2y+10=0的垂线，此时d1+d2最小，‎ ‎∵F（1，0），则d1+d2==．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎11．已知圆x2+y2=R2过双曲线（a＞0，b＞0）的右焦点F，且与双曲线在第一，三象限的交点分别为M，N，若∠MNF=时，则该双曲线的渐近线方程为（　　）‎ A．y=x B．y=x C．y=±x D．y=±2x ‎【考点】双曲线的简单性质．‎ ‎【分析】由对称性可得MN过原点O，可得MF⊥NF，运用正切函数的定义和双曲线的定义，求得MF，NF，再由勾股定理和渐近线方程即可得到所求．‎ ‎【解答】解：由对称性可得MN过原点O，可得 MF⊥NF，即有tan∠MNF==tan=2﹣，‎ 由双曲线的定义可得|NF|﹣|MF|=|MF'|﹣|MF|=2a，‎ 解得|MF|=（﹣1）a，|NF|=（+1）a，‎ 在直角三角形MFF'中，由勾股定理可得，‎ ‎4c2=（﹣1）2a2+（+1）2a2，‎ 即为c2=2a2，即有b2=c2﹣a2=a2，‎ 则双曲线的渐近线方程为y=±x，‎ 即y=±x．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎12．曲线y=ex和曲线y=lnx分别与直线x=x0交于点A，B，且曲线y=ex在点A处的切线与曲线y=lnx在点B处的切线平行，则x0在下列哪个区间内（　　）‎ A．（0，1） B．（1，2） C．（2，3） D．（3，4）‎ ‎【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．‎ ‎【分析】分别求得y=ex和y=lnx的导数，求得切线的斜率，由两直线平行的条件可得斜率相等，再设f（x）=xex﹣1，运用零点存在定理，即可判断所求区间．‎ ‎【解答】解：y=ex的导数为y′=ex，‎ y=ex在点A处的切线斜率为k1=ex0，‎ y=lnx的导数为y′=，‎ 曲线y=lnx在点B处的切线斜率为k2=，‎ 曲线y=ex在点A处的切线与曲线y=lnx在点B处的切线平行，‎ 可得k1=k2，即有x0ex0=1，‎ 可令f（x）=xex﹣1，（x＞0），f′（x）=（x+1）ex＞0，‎ f（x）在x＞0递增，‎ 又f（0）=﹣1＜0，f（1）=e﹣1＞0，由函数的零点存在定理可得 f（x）在（0，1）有且只有一个零点．‎ 故选A．‎ ‎　‎ 二、填空题（20分，每小题5分）‎ ‎13．如图的矩形，长为5，宽为2，在矩形内随机地撒300颗黄豆，数得落在阴影部分的黄豆数为138颗，则我们可以估计出阴影部分的面积为　　．‎ ‎【考点】几何概型．‎ ‎【分析】先由黄豆试验估计，黄豆落在阴影部分的概率，再转化为几何概型的面积类型求解．‎ ‎【解答】解：根据题意：黄豆落在阴影部分的概率是 矩形的面积为10，设阴影部分的面积为s 则有 ‎∴s=‎ 故答案为：‎ ‎　‎ ‎14．某单位200名职工的年龄分布情况如图，现要从中抽取40名职工作样本、用系统抽样法，将全体职工随机按1～200编号，并按编号顺序平均分为40组（1～5号，6～10号，…，196～200号）．若第5组抽出的号码为22，则第8组抽出的号码应是　37　．若用分层抽样方法，则40岁以下年龄段应抽取　20　人．‎ ‎【考点】系统抽样方法；分层抽样方法．‎ ‎【分析】由分组可知，抽号的间隔为5，第5组抽出的号码为22，第6组抽出的号码为27，第7组抽出的号码为32，第8组抽出的号码为37．可以一次加上5得到下一组的编号，根据图中40岁以下的所占的比例，得到结果．‎ ‎【解答】解：∵将全体职工随机按1～200编号，并按编号顺序平均分为40组，‎ 由分组可知，抽号的间隔为5，‎ ‎∵第5组抽出的号码为22，‎ ‎∴第6组抽出的号码为27，第7组抽出的号码为32，第8组抽出的号码为37．‎ ‎40岁以下的年龄段的职工数为200×0.5=100，‎ 则应抽取的人数为×100=20（人）．‎ 故答案为：37；20‎ ‎　‎ ‎15．若函数f（x）=lnx﹣x2+x的单调减区间是　（1，+∞）　．‎ ‎【考点】利用导数研究函数的单调性．‎ ‎【分析】先求f′（x），根据导数的符号和原函数单调性的关系，只要求f′（x）＜0的解即可求出原函数的单调减区间．‎ ‎【解答】解：f′（x）=，‎ ‎∵x＞0，∴解＜0，得：x＞1，‎ 所以函数f（x）的单调减区间是（1，+∞）．‎ 故答案为：（1，+∞）．‎ ‎　‎ ‎16．过抛物线y2=4x的焦点，作倾斜角为的直线交抛物线于P、Q两点，O为坐标原点，则△POQ的面积为　2　．‎ ‎【考点】直线与圆锥曲线的关系．‎ ‎【分析】设P（x1，y1），Q（x2，y2），则S=|OF|•|y1﹣y2|．直线为x﹣y﹣1=0，即x=1+y代入y2=4x得：y2=4（1+y），由此能求出△OPQ的面积．‎ ‎【解答】解：设P（x1，y1），Q（x2，y2），则S=|OF|•|y1﹣y2|．‎ 过抛物线y2=4x的焦点（1，0），倾斜角为的直线为x﹣y﹣1=0，‎ 即x=1+y，代入y2=4x得：‎ y2=4（1+y），即y2﹣4y﹣4=0，∴y1+y2=4，y1y2=﹣4，‎ ‎∴|y1﹣y2|===4，‎ ‎∴S=|OF|•|y1﹣y2|=×4 =2．‎ 故答案为：2 ‎ ‎　‎ 三、解答题 ‎17．已知a＞0，设命题p：函数y=ax在R上单调递增；命题q：不等式x2﹣ax+1＞0对∀x∈R恒成立，若p且q为假，￢p为假，求实数a的取值范围．‎ ‎【考点】复合命题的真假．‎ ‎【分析】先解命题，再研究命题的关系，函数y=ax在R上单调递增，由指数函数的单调性解决；不等式x2﹣ax+1＞0对∀x∈R恒成立，用函数思想，又因为是对全体实数成立，可用判断式法解决，若p且q为假，￢p为假，两者是一真一假，计算可得答案．‎ ‎【解答】解：∵y=ax在R上单调递增，∴a＞1；‎ 又不等式x2﹣ax+1＞0对∀x∈R恒成立，‎ ‎∴△＜0，即a2﹣4＜0，∴﹣2＜a＜2，‎ ‎∴q：0＜a＜2．‎ 而命题p且q为假，￢p为假，‎ ‎∴p真，q假，则a≥2；‎ 所以a的取值范围为：[2，+∞）．‎ ‎　‎ ‎18．了研究某种细菌在特定环境下随时间变化的繁殖情况，得如下实验数据：‎ 天数t（天）‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ 繁殖个数y（千个）‎ ‎2.5‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎4.5‎ ‎6‎ ‎（1）求y关于t的线性回归方程；‎ ‎（2）利用（1）中的回归方程，预测t=8时，细菌繁殖个数．‎ ‎【考点】线性回归方程．‎ ‎【分析】（1）分别求出，的值，代入回归方程即可；‎ ‎（2）将t=8代入方程求出的值即可．‎ ‎【解答】解：（1）由表中数据计算得，‎ ‎=5， =4，‎ ‎（ti﹣）（yi﹣）=8.5，‎ ‎（ti﹣）2=10，‎ 故=0.85，‎ ‎=﹣=4﹣0.85×5=﹣0.25，‎ 所以回归方程为=0.85t﹣0.25．‎ ‎（2）将t=8代入（1）的回归方程中得：‎ ‎=0.85×8﹣0.25=6.55．‎ 故预测t=8时，细菌繁殖个数为6.55千个．‎ ‎　‎ ‎19．“双节”期间，高速公路车辆较多，某调查公司在一服务区从七座以下的小型汽车中按进服务区的先后每间隔50辆就抽取一辆的样本方法抽取40名驾驶员进行询问调查，将他们在某段高速公路的车速（km/h）分成六段；[60，65），[65，70），[70，75），[75，80），[80，85），[85，90]后得到如图所示的频率分布直方图．‎ ‎（1）求这40辆小型汽车车速的众数和中位数的估计值；‎ ‎（2）若从车速在[60，70）内的车辆中任抽取2辆，求车速在[65，70）内的车辆恰有一辆的概率．‎ ‎【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；频率分布直方图．‎ ‎【分析】（1）由频率分布直方图知[75，80）对应的小矩形最高，由此能求出这40辆小型汽车车速的众数；由频率分布直方图求出[60，75）对应的频率为0.35，[75，80）对应的频率为0.3，由此能求出中位数的估计值．‎ ‎（2）车速在[60，70）内频率为0.15，从而车速在[60，70）内的车辆有6辆，其中车速在[60，65）内的车辆有2辆，车速在[‎ ‎65，70）内的车辆有4辆，由此能求出从车速在[60，70）内的车辆中任抽取2辆，车速在[65，70）内的车辆恰有一辆的概率．‎ ‎【解答】解：（1）由频率分布直方图知[75，80）对应的小矩形最高，‎ ‎∴这40辆小型汽车车速的众数为： =77.5（km/h）．‎ 由频率分布直方图知[60，75）对应的频率为：‎ ‎（0.010+0.020+0.040）×5=0.35，‎ ‎[75，80）对应的频率为：0.060×5=0.3，‎ ‎∴中位数的估计值为： =77.5（km/h）．‎ ‎（2）车速在[60，70）内频率为（0.010+0.020）×5=0.15，‎ ‎∴车速在[60，70）内的车辆有0.15×40=6辆，‎ 其中车速在[60，65）内的车辆有：0.010×5×40=2辆，‎ 车速在[65，70）内的车辆有：0.020×5×40=4辆，‎ ‎∴从车速在[60，70）内的车辆中任抽取2辆，‎ 基本事件总数n=，‎ 车速在[65，70）内的车辆恰有一辆包含的基本事件个数m==8，‎ ‎∴车速在[65，70）内的车辆恰有一辆的概率p==．‎ ‎　‎ ‎20．已知函数f（x）=lnx，g（x）=ax+b．‎ ‎（1）若f（x）与g（x）在x=1处相切，试求g（x）的表达式；‎ ‎（2）若φ（x）=﹣f（x）在[1，+∞）上是减函数，求实数m的取值范围．‎ ‎【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．‎ ‎【分析】（1）求出函数的导数，得到f′（1）=1=a，求出a的值即可；根据g（1）=0，求出b的值，从而求出g（x）的表达式；‎ ‎（2）求出φ′（x），问题转化为则2m﹣2≤x+，x∈[1，+∞），求出m的范围即可．‎ ‎【解答】解：（1）由已知得f′（x）=，∴f′（1）=1=a，a=2．‎ 又∵g（1）=0=a+b，∴b=﹣1，∴g（x）=x﹣1．‎ ‎（2）φ（x）=﹣f（x）=﹣lnx在[1，+∞）上是减函数，‎ ‎∴φ′（x）=≤0在[1，+∞）上恒成立．‎ 即x2﹣（2m﹣2）x+1≥0在[1，+∞）上恒成立，则2m﹣2≤x+，x∈[1，+∞），‎ ‎∵x+∈[2，+∞），∴2m﹣2≤2，m≤2．‎ ‎　‎ ‎21．已知点P（2，2），圆C：x2+y2﹣8y=0，过点P的动直线l与圆C交于A、B两点，线段AB的中点为M，O为坐标原点．‎ ‎（Ⅰ）求M的轨迹方程；‎ ‎（Ⅱ）当|OP|=|OM|时，求l的方程及△POM的面积．‎ ‎【考点】直线与圆的位置关系；轨迹方程．‎ ‎【分析】（I）圆C的方程可化为x2+（y﹣4）2=16，由此能求出圆心为C（0，4），半径为4，设M（x，y），则，，由题设知，由此能求出M的轨迹方程．‎ ‎（II）由（Ⅰ）知M的轨迹是以点N（1，3）为圆心，为半径的圆．由于|OP|=|OM|，故O在线段PM的垂直平分线上，由此利用点到直线距离公式结合已知条件能求出△POM的面积．‎ ‎【解答】解：（I）圆C的方程可化为x2+（y﹣4）2=16，‎ 所以圆心为C（0，4），半径为4，‎ 设M（x，y），则，，‎ 由题设知，‎ 故x（2﹣x）+（y﹣4）（2﹣y）=0，‎ 即（x﹣1）2+（y﹣3）2=2．‎ 由于点P在圆C的内部，‎ 所以M的轨迹方程是（x﹣1）2+（y﹣3）2=2．…‎ ‎（II）由（1）可知M的轨迹是以点N（1，3）为圆心，为半径的圆．‎ 由于|OP|=|OM|，故O在线段PM的垂直平分线上，‎ 又P在圆N上，从而ON⊥PM．‎ 因为ON的斜率为3，‎ 所以l的斜率为，‎ 故l的方程为．‎ 又，O到l的距离为，，‎ 所以△POM的面积为．…‎ ‎　‎ ‎22．已知抛物线C：x2=4y与直线y=kx+1交于M，N两点，其中点M位于点N的左侧．‎ ‎（1）当k=0时，分别求抛物线C在点M和N处的切线方程；‎ ‎（2）在y轴上是否存在点P，使得当k变动时，总有∠OPM=∠OPN（O为坐标原点）？若存在，求出P点坐标，若不存在，请说明理由．‎ ‎【考点】直线与圆锥曲线的关系；利用导数研究曲线上某点切线方程．‎ ‎【分析】（1）当k=0时，求得M和N点坐标，设出M点处的切线方程，代入抛物线方程，△=0求得k1的值，即可求得k2的值，即可求得M和N处的切线方程；‎ ‎（2）设出M和N点及PM，PN的斜率分别为k1，k2，将直线PM的方程代入抛物线方程，求得关于x的一元二次方程，利用韦达定理求得x1+x2，x1•x2，k1+k2=k（b+1），‎ 当b+1=0，即k1+k2=0，此时直线PM的倾斜角与直线PN的倾斜角互补，即可证明∠OPM=∠OPN．‎ ‎【解答】解：（1）当k=0，由题意可得M（﹣2，1），N（2，1），‎ 设在M点处的切线方程为y﹣2=k1（x+2），‎ 代入C：x2=4y，得x2﹣4k1x﹣8k1﹣4=0，△=0，‎ 解得：k1=﹣1，同理在N点的切线斜率为k2=1，‎ ‎∴曲线C在M处的切线方程x+y+1=0，‎ 曲线C在N处的切线方程为x﹣y﹣1=0．‎ ‎（2）存在符合题意得点，P（0，﹣1）证明如下：‎ 设M（x1，y1），N（x2，y2），P（0，b）直线PM，PN的斜率分别为k1，k2，将y=kx+1代入抛物线方程C得：x2﹣4kx﹣4=0，‎ 由韦达定理可知：x1+x2=4k，x1•x2=﹣4，‎ ‎∴k1+k2==+，‎ ‎=k（b+1）．‎ 当b+1=0时，恒有k1+k2=0，此时直线PM的倾斜角与直线PN的倾斜角互补，‎ ‎∴∠OPM=∠OPN，‎ ‎∴点P（0，﹣1）符合题意．‎