数学（理科创新班）卷·2018届湖南省株洲市南方中学、醴陵一中高二12月联考（2016-12） 8页

南方中学、醴陵一中2016年下学期高二年级联考 数学(理科创新班) 试题 总分：150 时量：120 考试时间2016年12月10 日 由 株洲市南方中学 醴陵市第一中学 联合命题 姓名： 考号： ‎ 一、选择题 ‎1.命题“，”的否定是（ ）‎ A．， B．，‎ C．， D．，‎ ‎2．已知中，，，则角等于 ( )‎ A． B． C． D．‎ ‎3.已知为等差数列，其前项和为，若，，则公差等于（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎4．若实数a，b满足a＋b＝2，则3a＋3b的最小值是(　　)‎ A．6 B．18 C．2 D．3 ‎5.一元二次不等式ax2＋bx＋2>0的解集为(－，)，则a＋b的值是(　　)‎ A．－10 B．－14 C．10 D．14‎ ‎6.由曲线围成的封闭图形面积为(　　)‎ ‎（A） (B) (C) (D) ‎ ‎7.设椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，P是C上的点，PF2⊥F1F2，∠PF1F2＝30°，则C的离心率为(　　)‎ A. B. C. D. ‎8.设数列是等比数列，则“”是数列是递增数列的（ ）‎ A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 ‎ C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 ‎9．古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何？” 意思是：“‎ 一女子善于织布，每天织的布都是前一天的2倍，已知她5天共织布5尺，问这女子每天分别织布多少？”根据上题的已知条件，可求得该女子第3天所织布的尺数为（　　）‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎10．定义在R上的函数f(x)满足：f′(x)＞f(x)恒成立，若x1＜x2，则f(x2)与f(x1)的大小关系为(　　)‎ A．f(x2)＞f(x1) B．f(x2)＜f(x1)‎ C．f(x2)＝f(x1) D．f(x2)与f(x1)的大小关系不确定 ‎11. 已知双曲线,曲线在点(0,1)处的切线方程为，则该双曲线的渐近线方程为（ ）‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎12.设,又是一个常数,已知当或时,只有一个实根, 当时,有三个相异实根,现给出下列命题:‎ ‎ (1) 和有且只有一个相同的实根.‎ ‎ (2) 和有且只有一个相同的实根.‎ ‎ (3) 的任一实根大于的任一实根.‎ ‎(4) 的任一实根小于的任一实根.‎ 其中错误命题的个数为（ ）‎ ‎ A．4 B．3 C．2 D．1‎ 二、填空题 ‎ 13. 若函数f(x)＝kx－ln x在区间(1，＋∞)上单调递增，则k的取值范围 。‎ ‎ 14. 已知F是抛物线y2=4x的焦点，A、B是该抛物线上的点，|AF|+|BF|=5,则 ‎ ‎ 线段AB的中点的横坐标为 。‎ ‎15.已知实数满足不等式组,且的最小值为,则实数的值 。‎ ‎16. 已知数列，是该数列的前项和，若能写成 (且)的形式，则称为“指数型和”．则中是“指数型和”的项的序号和为 。‎ 三、解答题 ‎17. 设命题：“方程有实数根”；命题：“”，若为假，为假，求实数的取值范围．‎ ‎18.在平面四边形中，。‎ （1） 求的长；‎ （2） 若，求的面积。‎ ‎19.已知数列{}，若,+1, 成等差数列，数列{+1}为公比为2的等比数列。‎ ‎（Ⅰ）求数列{}的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）数列{}满足，其前n项和为，试求满足的最小正整数n．‎ ‎20．在四棱锥P﹣ABCD中，设底面ABCD是边长为1的正方形，PA⊥面ABCD．‎ ‎（1）求证：PC⊥BD；‎ ‎（2）过BD且与直线PC垂直的平面与PC交于点E，当三棱锥E﹣BCD的体积最大时，求二面角E﹣BD﹣C的大小．‎ ‎ ‎ ‎21．已知椭圆的左焦点为，离心率为，直线与椭圆相交于两点，当轴时，的周长最大值为8.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）若直线过点，求当面积最大时直线的方程.‎ ‎22.已知函数.‎ ‎ (1)若,求函数的极值；‎ ‎（2）若时，证明 ‎ (3)当时,不等式恒成立,试证明 南方中学、醴陵一中2016年下学期高二年级联考 数学(理科创新班)参考答案 一、选择题 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 D D C A B A D C C A A D 二、填空题 ‎13．k≥1. 14. 15.6 16.3‎ 三、解答题 ‎17.解：对于命题P：若方程有实根，则，‎ 解得或，即:或；……………………（2分）‎ 对于命题去q：若方程无实根，则，‎ 解得，即．………………………………………（4分）‎ 由于若为假，则，至少有一个为假；又为假，则真．所以为假，‎ 即假真，……………（7分）‎ 从而有解得．所以的范围是．…………（10分）‎ ‎18.解：（1）在中，由余弦定理可列得：‎ ‎，即：，………………3分 解得：.………………5分 （2） 由，易得：，………………6分 由，易得：，………………7分 故 ‎==，………………10分 故=.………………12分 ‎19.（1） （）. （5分）‎ ‎20．解：（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴BD⊥AC，PA⊥平面ABCD，‎ 由此推出PA⊥BD，‎ 又AC∩PA=A，‎ ‎∴BD⊥平面PAC，而PC⊂平面PAC，所以推出PC⊥BD．‎ ‎（2）设PA=x，三棱锥E﹣BCD的底面积为定值，求得它的高，‎ 当，即时，h最大值为，三棱锥E﹣BCD的体积达到最大值为．‎ 以点A为坐标原点，AB为x轴，AD为y轴，PA为z轴建立空间直角坐标系，则，令E（x，y，z），，，得，∴，‎ 设是平面EBD的一个法向量，，，‎ 则，得．‎ 又是平面BCD的一个法向量，‎ ‎∴，∴二面角E﹣BD﹣C为．‎ ‎21.(1)设椭圆的右焦点为，由椭圆的定义，‎ 得，……1分 而的周长为，……3分 当且仅当过点时，等号成立，‎ 所以，即，又离心率为，所以，……5分 所以椭圆的方程为.……6分 ‎（2）设直线的方程为，与椭圆方程联立得.‎ 设，则，……7分 且，，所以②‎ ‎……9分 令，则②式可化为.‎ 当且仅当，即时，等号成立. ……11分 所以直线的方程为或……12分．‎ ‎22.解：(1)由题意得,‎ ‎∵函数的定义域为,‎ ‎ 由,.∴函数有极小值。‎ ‎ ………………4分 ‎ ‎ （2）易知要证即证在上恒成立，令 ‎ ‎ ‎ ………………8分 ‎ ‎(3)∵,‎ ‎∴.‎ ‎ 当时,,∴.即时,恒成立.‎ 又由（2）知在上恒成立,‎ ‎∴在上恒成立.当时取等号,‎ ‎ ∴当时,,∴由上知.………………12分