高中数学必修2教案：柱、锥、台和球的体积(1) 3页

柱、锥、台和球的体积(1)‎ 教学目标：了解柱、锥、台的体积的计算方法 教学重点：了解柱、锥、台的体积的计算方法 教学过程：‎ ‎（一）祖暅原理：‎ 祖暅(音gèng)，一名祖暅之，是祖冲之的儿子，他的活动时期大约在公元504—526年．祖氏父子在数学和天文学上都有杰出的贡献．‎ 祖暅的主要工作是修补编辑祖冲之的《缀术》．他推导球体积公式的方法非常巧妙．‎ 根据中国算书《九章算术》中李淳风的注释，下面我们使用现代的术语，并将原来的图形略加修改，把祖暅当时推导球体积公式的方法介绍如下：‎ 作一个几何体V1．底面OABC是一个正方形，边长为r(图2-18)．高 取一点S，过点S与底面平行的截面为SPQR，设它的边长为a，OS为h，则截面面积a2=r2-h2．‎ 另取一个边长为r的正方体V2(图2-19)，连结O′D′，O′C′，O′A′，锥体O′-A′B′C′D′记作V3，V2-V3是正方体O′D′挖去锥体O′-A′B′C′D′剩下的几何体．下面来证明 V1=V2-V3．‎ 设平行于底面与底面距离为h的平面，截V2的截面是正方形P′TS′M，面积等于r2，截V3的截面是正方形Q′TR′N，面积等于h2(因为Q′T=O′T=h)，所以这两个正方形的差形成曲尺形P′Q′NR′S′M，它的面积等于r2-h2．‎ 比较V1与V2-V3在等高(h)处的截面，它们的面积都是r2-h2，因此体积相等，即V1=V2-V3．‎ 祖暅原理的原文是“幂势既同，则积不容异．”“幂”是截面积，“势”‎ 是几何体的高．意思是：两个同高的几何体，如果与底等距离的截面积总相等，那么几何体的体积相等．这就是现在说的：夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等．‎ 积为V4(是未知数)．和V1比较，在高h处的截面积C″EF是以a为半 祖暅提出的“幂势既同，则积不容异”，及“体积之比等于对应截面积之比”，在这里是当作公理使用．提法“幂势既同，则积不容异”，在西方通常叫做“卡瓦列利原理”(Cavalierisches，Prinzip)．卡瓦列利[米兰Milan(现意大利城市)人]在他的名著《连续不可分几何》中提出这一原理，这本书出版于1635年．‎ ‎（二）长方体的体积 ‎（三）利用祖暅原理可以说明：等底面积等高的长方体与柱体的体积相等，故柱体的体积为：‎ ‎（四）利用祖暅原理可以说明：等底面积等高的锥体的体积均相等 ‎（五）三棱住可以分割成三个体积相等的锥 故锥体的体积为 ‎（六）利用两个锥体做差可得台体的体积公式 ‎（七）例子：‎ ‎(1) 长方体的三个面的面积分别为2、6和9，则长方体的体积为[ ]‎ ‎(2)平行六面体ABCD-A1B‎1C1D1中，在从B点出发的三条棱上分别取其中点E、F、G，则棱锥B-EFG的体积是平行六面体体积的[ ]‎ ‎(3)如果一个正四面体的体积为9dm3，则其表面积S的值为[ ]‎ 棱锥的体积是 [ ]‎ ‎(5)设正三棱柱的外接圆柱体体积为V1，内切切圆柱体积为V2，则[ ]‎ A．V1∶V2=∶1 B．V1∶V2=2∶1‎ C．V1∶V2=4∶1 D．V1∶V2=8∶1‎ 课堂练习：教材第33页 练习A1.2、B‎1.2.3‎ 小结：‎ 本节课应了解：祖暅原理以及柱锥台的体积计算公式 课后作业：教材第34页 习题1‎-1A：7、8.‎