2018-2019学年山西省临汾一中、忻州一中高二3月联考数学（文）试题（Word版） 9页

‎2018-2019学年山西省临汾一中、忻州一中高二3月联考 数 学 试 题 （ 文 科 ）‎ ‎（考试时间：120 分钟 满分：150 分） 第Ⅰ卷（选择题 共 60 分）‎ 一、选择题（本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分）‎ ‎2‎ ‎1．在复平面内，复数 ‎‎ ‎2 + i ‎对应的点位于（ ）‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎2．已知集合 A = {x | x < 2} ， B = {x x 2 - 3x + 2 < 0}，则（ ）‎ A． A Í B ‎B． A I B = Æ ‎C． B Í A ‎D． A U B = R ‎3．已知变量 x 和 y 满足关系 y = 2.6 - 1.5x ，变量 y 与 z 负相关，下列结论中正确的是（ ）‎ A． x 与 y 正相关， x 与 z 负相关 B． x 与 y 正相关， x 与 z 正相关 C． x 与 y 负相关， x 与 z 负相关 D． x 与 y 负相关， x 与 z 正相关 ‎4．曲线 y = x ln x + 1在点 x = 1 处的切线方程为（ ）‎ A． y = x + 1‎ C． y = 2 x + 1‎ ‎B． y = x - 1‎ D． y = 2 x - 1‎ ‎5．某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积为（ ）‎ A．1 B．2‎ C．3 D．4‎ ‎6. 已知 x > 0, y > 0 ，且 x + 2 y = 3 ，则 3 + 1‎ ‎‎ 的最小值为（ ）‎ x 6 y A． 16 B． 3 2‎ ‎9‎ ‎3 2 2‎ C． D．‎ ‎2 3‎ ‎+ 3 2‎ ‎2‎ ‎7.双曲线 C 的中心在原点，焦点在 x 轴上，C 与抛物线 y 2 = 2 x 交于 A 、B 两点，AB = 4 ，‎ C 的实轴长为 2，则 C 的离心率为（ ）‎ ‎21 14 7 3‎ A． B． C． D．‎ ‎3 3 3 3‎ ‎8.已知函数 y = f (x) 的导函数 y = f ¢(x) 的图像如图所示，且函数 y = f ¢(x) 的零点依次 ‎1‎ 为-2，‎ ‎2‎ ‎‎ ‎,3 则 xf ¢( x) < 0 的解集为（ ）‎ A．（- ¥,-2）U (3，+ ¥)‎ ‎B．（- 2,0）U ( 1 ,3)‎ ‎2‎ C． (-2, 1 ）U (3，+ ¥)‎ ‎2‎ ‎D． (0, 1 ）U (3，+ ¥)‎ ‎2‎ ‎9.在长方体 ABCD - A1B1C1D1 中，AB = BC = 2 ，AC1 与平面 BB1C1C 所成的角为 30° 则 该长方体的外接球的表面积为（ ）‎ A． 8p ‎B．8 2p ‎C．16p ‎D．16 2p ‎10.已知实数 x, y 满足 y = ‎1 - x 2 ，则 x - y 的取值范围为（ ）‎ A． [- 1,1] ‎B．[-1, 2 ]‎ ‎C．[- ‎‎ ‎2 ,1]‎ ‎D．[- 2 , 2 ]‎ ‎11.已知 P 为抛物线 y 2 = 4 x 上一点，F 为抛物线的焦点，定点 M (2,1) ，则 PM + PF 的 最小值为（ ）‎ A．4 B．3 C．2 D．1‎ ‎12.若不等式 ‎‎ x - 1‎ x 2 + 2 x + 6‎ ‎‎ £ a 对任意的实数 x > 1 恒成立，则实数 a 的最小值为（ ）‎ ‎1 1 1 1‎ A. B． C. D．‎ ‎10 6 4 2‎ 第Ⅱ卷（非选择题 共 90 分） 二、填空题（本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分）‎ ‎13.命题“ "x Î [0, +¥ ), ln x + x + 1 > 0 ”的否定是 .‎ ‎14.在∆ABC 中，内角 A, B, C 的对边是 a, b, c ，c=5，B= 2p ‎3‎ ‎DABC的面积为 25 3 ，则 ‎4‎ ‎1 < 3‎ ‎,1+‎ ‎1 + 1 < 5‎ ‎,1+‎ ‎1 + 1 + 1 < 7‎ ‎22 2‎ ‎22 32 3‎ ‎22 32 42 4‎ cos 2 A = .‎ ‎15.观察下列式子：1+‎ ‎……根据上述规律，‎ 第 17 个不等式可能为 .‎ ‎16.若函数 f ( x) = 1 x3 - x 在 (t, 8 - t 2 ) 上有最大值，则实数的取值范围是 .‎ ‎3‎ 三、解答题（本题共 6 个题，共 70 分，写出文字说明，证明过程或演算步骤）‎ ‎17 ．（本小题满分 10 分）已知数列 {an } 是等差数列，其公差 d > 0 ， a2 , a3 是方程 x2 - 8x + 15 = 0 的两根．‎ ‎（I）求数列{an } 的通项公式；‎ ‎（II）设数列{bn } 满足 bn = ‎1‎ an × an +1‎ ‎‎ ‎，求{bn } 的前 n 项和 Sn ．‎ ‎18．（本小题满分 12 分）如图，在直三棱柱 ABC - A1B1C1 中，AB ^ BC AA1 = AB = 2BC = 1 ．‎ ‎（I）求证：平面 A1BC1 ^ 平面 AB1C1 ；‎ ‎（II）设 A1B 与 AB1 交于点 D ，求四棱锥 D - ACC1 A1 的体积．‎ ‎19．（本小题满分 12 分）通过随机采访某地 100 名高中学生是否喜欢吃零食，得到如下 2 ´ 2‎ 列联表：‎ 喜欢 不喜欢 合计 男生 ‎30‎ ‎20‎ ‎50‎ 女生 ‎40‎ ‎10‎ ‎50‎ 总计 ‎70‎ ‎30‎ ‎100‎ ‎（I）从这 50 名男生中按是否喜欢吃零食采取分层抽样的方法抽取一个容量为 5 的样本，‎ 现从这 5 人中随机选取 3 人做深度采访，求这 3 名学生中至少有 2 名喜欢吃零食的概率；‎ ‎（II）根据以上 2 ´ 2 列联表，是否有 95%以上的把握认为“性别与是否喜欢吃零食”有关？ 下面为临界值表供参考：‎ P ( K 2 ≥ k ) ‎0‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ k0‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.828‎ 参考公式： k 2 = ‎n(ad - bc) 2‎ ‎‎ ‎，其中 n = a + b + c + d ．‎ ‎(a + b)(c + d )(a + c)(b + d )‎ ‎20．（本小题满分 12 分）已知函数 f ( x ) = ‎x + a + x - 2 ．‎ ‎（I）当 a = -3 时，求不等式 f ( x ) ≤ 3 的解集；‎ ‎（II）若 f ( x ) ≤ x - 4 在[1, 2] 上恒成立，求 a 的取值范围．‎ ‎21．（本小题满分 12 分）已知点 A ( -2, 0 ) ， B ( 2, 0 ) ，直线 AM 与 BM 相交于点 M ，且 ‎1‎ 它们的斜率之积为 - ．‎ ‎2‎ ‎（I）求点 M 的轨迹方程；‎ ‎（II）设直线 AM 与 y 轴相交于点 P ，若点 Q 在 y 轴上，且以 PQ 为直径的圆过点 F ( 2, 0) ，求证： AQ / / BM ．‎ ‎‎ a - x2‎ ‎22．（本小题满分 12 分）已知函数 f ( x) = ，其中 a ≥0 ．‎ ex ‎（I）若 a =3，求函数 f ( x ) 的单调区间；‎ ‎4‎ ‎（II）求证：当 x > 0 时， f ( x ) ≥ - ．‎ e2‎ ‎2018-2019学年度第一学期高二年级阶段性考试 文科数学答案 一、DCDBB AABCC BA 二、13. ‎ ‎ 14. ‎ ‎15. ‎ ‎16. ‎ 三、17．解：（I）因为,是方程的两根，‎ 所以，，，则 所以．……………………………………………………………………………5分 ‎（II）因为，‎ 所以．………10分 ‎18．解：（I）因为三棱柱中，侧棱垂直于底面，所以平面．‎ 因为平面，所以．‎ 又因为，，所以平面．………………2分 因为平面，所以．…………………………………………3分 因为，所以四边形为正方形，所以．‎ 因为，所以平面．…………………………………………5分 因为平面，所以平面平面；………………………………6分 ‎（II）因为为的中点，所以 因为三棱柱体积，‎ 三棱锥的体积为，‎ 所以四棱锥的体积，‎ 所以= ． ………………………………………………12分 ‎19．解：（I）根据分层抽样方法抽取容量为5的样本，喜欢吃零食有3人，记为，‎ 不喜欢吃零食的有2人，记为；………………………………………………………1分 从这5人中随机选取3人，基本事件为：‎ ‎，共10种；…………………3分 这3名学生中至少有2名喜欢吃零食的事件为：‎ ‎，共7种；………………………………………5分 故所求的概率为．……………………………………………………………………6分 ‎（II）根据列联表，‎ 计算观测值， ………………………10分 对照临界值表知，‎ 于是有95%以上的把握认为“性别与是否喜欢吃零食”有关．……………………………12分 ‎20．解（I）当时，由知，‎ 所以或或，‎ 解得．‎ 所以不等式的解集为．……………………………………………………6分 ‎(2)因为在上恒成立，所以在上恒成立，‎ 于是在上恒成立，‎ 解得．……………………………………………………………………………12分 ‎21．解：（I）设坐标为，于是有，‎ 化简为，所以点的轨迹方程为．…………………5分 ‎（II）设，，其中，则．‎ 直线的方程为．令，得点P的坐标为．………6分 由以为直径的圆过点，得，…………………………………7分 所以，‎ 即，解得，所以．………………………9分 因为，，‎ 所以， ………………………11分 故，即．…………………………………………………………………12分 ‎22．解：（I）因为，‎ 所以，…………………………………………………1分 当， 单调递增 ‎ 当， 单调递减 当， 单调递增 …………………………………………4分 单调递增区间为，单调递减区间为 ………………6分 ‎（II）因为，所以当时，．…………………………8分 设，其中，所以，‎ 所以，，的变化情况如下表:‎ ‎0‎ 减 极小值 增 所以在区间上单调递减，在上单调递增，…………………………10分 所以函数在时取得最小值，‎ 所以当时，成立．……………………………………………………12分