历届高考数学真题汇编专题4_数列_理(2) 75页

‎【2012高考试题】‎ 一、选择题 ‎1.【2012高考真题重庆理1】在等差数列中，，则的前5项和=‎ ‎ A.7 B‎.15 C.20 D.25 ‎ ‎2.【2012高考真题浙江理7】设是公差为d（d≠0）的无穷等差数列﹛an﹜的前n项和，则下列命题错误的是 A.若d＜0，则数列﹛Sn﹜有最大项 B.若数列﹛Sn﹜有最大项，则d＜0‎ C.若数列﹛Sn﹜是递增数列，则对任意，均有 D. 若对任意，均有，则数列﹛Sn﹜是递增数列 ‎3.【2012高考真题新课标理5】已知为等比数列，，，则（ ）‎ ‎ ‎ ‎【答案】D ‎ ‎ ‎【解析】因为为等比数列，所以，又，所以或.若，解得，‎ ‎；若，解得，仍有，综上选D.‎ ‎4.【2012高考真题上海理18】设，，在中，正数的个数是（ ）‎ A．25 B．‎50 ‎‎ C．75 D．100‎ ‎5.【2012高考真题辽宁理6】在等差数列{an}中，已知a4+a8=16，则该数列前11项和S11=‎ ‎(A)58 (B)88 (C)143 (D)176‎ ‎【答案】B ‎【解析】在等差数列中，，答案为B ‎6.【2012高考真题四川理12】设函数，是公差为的等差数列，，则（ ）‎ A、 B、 C、 D、‎ ‎7.【2012高考真题湖北理7】定义在上的函数 ‎，如果对于任意给定的等比数列， 仍是等比数列，则称为“保等比数列函数”. 现有定义在上的如下函数：‎ ‎①； ②； ③； ④.‎ 则其中是“保等比数列函数”的的序号为 ‎ A． ‎① ② B．③ ④ C．① ③ D．② ④ ‎ ‎8.【2012高考真题福建理2】等差数列{an}中，a1+a5=10,a4=7,则数列{an}的公差为 A.1 B‎.2 C.3 D.4‎ ‎【答案】B.‎ ‎ 【解析】由等差中项的性质知，又.故选B.‎ ‎9.【2012高考真题安徽理4】公比为等比数列的各项都是正数，且，则=（ ）‎ ‎ ‎ ‎【答案】B ‎ 【解析】．‎ ‎10.【2012高考真题全国卷理5】已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a5=5，S5=15，则数列的前100项和为 ‎(A) (B) (C) (D) ‎ ‎【答案】A 二、填空题 ‎11.【2012高考真题浙江理13】设公比为q（q＞0）的等比数列{an}的前n项和为Sn。若S2=‎3a2+2，S4=‎3a4+2，则q=______________。‎ ‎ 【答案】‎ ‎【解析】将，两个式子全部转化成用，q表示的式子．‎ 即，两式作差得：，即：，解之得：(舍去)．‎ ‎12.【2012高考真题四川理16】记为不超过实数的最大整数，例如，，，。设为正整数，数列满足，，现有下列命题：‎ ‎①当时，数列的前3项依次为5,3,2；‎ ‎②对数列都存在正整数，当时总有；‎ ‎③当时，；‎ ‎④对某个正整数，若，则。‎ 其中的真命题有____________。（写出所有真命题的编号）‎ ‎【答案】①③④‎ ‎【解析】当时， ，‎ ‎，故①正确；同样验证可得③④正确，②错误.‎ ‎13.【2012高考真题新课标理16】数列满足，则的前项和为 ‎ ‎14.【2012高考真题辽宁理14】已知等比数列｛an｝为递增数列，且，则数列｛an｝的通项公式an =______________。‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎15.【2012高考真题江西理12】设数列{an},{bn}都是等差数列，若，，则__________。‎ ‎【答案】35‎ ‎【解析】设数列的公差分别为，则由，得，即，所以，‎ 所以。‎ ‎16.【2012高考真题北京理10】已知等差数列为其前n项和。若，，则=_______。‎ ‎18.【2012高考真题重庆理12】 .‎ ‎ 【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎19.【2012高考真题上海理6】有一列正方体，棱长组成以1为首项、为公比的等比数列，体积分别记为，则 。‎ ‎【答案】。‎ ‎【解析】由题意可知，该列正方体的体积构成以1为首项，为公比的等比数列，‎ ‎∴++…+==，∴。‎ ‎20.【2012高考真题福建理14】数列{an}的通项公式，前n项和为Sn，则S2012=___________.‎ 三、解答题 ‎21【2012高考江苏20】（16分）已知各项均为正数的两个数列和满足：，，‎ ‎（1）设，，求证：数列是等差数列；‎ ‎（2）设，，且是等比数列，求和的值．‎ ‎【答案】解：（1）∵，∴。‎ ‎ ∴ 。‎ ‎∴ 。‎ ‎ ∴数列是以1 为公差的等差数列。‎ ‎（2）∵，∴。‎ ‎ ∴。（﹡）‎ ‎ 设等比数列的公比为，由知，下面用反证法证明 ‎ 若则，∴当时，，与（﹡）矛盾。‎ ‎【解析】（1）根据题设和，求出，从而证明而得证。‎ ‎ （2）根据基本不等式得到，用反证法证明等比数列的公比。‎ 从而得到的结论，再由知是公比是的等比数列。最后用反证法求出。‎ ‎ 22.【2012高考真题湖北理18】（本小题满分12分）‎ 已知等差数列前三项的和为，前三项的积为.‎ ‎（Ⅰ）求等差数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）若，，成等比数列，求数列的前项和.‎ ‎ ‎ ‎（Ⅱ）当时，，，分别为，，，不成等比数列；‎ 当时，，，分别为，，，成等比数列，满足条件.‎ 故 ‎ 记数列的前项和为.‎ 当时，；当时，；‎ 当时，‎ ‎ ‎ ‎. 当时，满足此式.‎ 综上， ‎ ‎23.【2012高考真题广东理19】（本小题满分14分）‎ 设数列{an}的前n项和为Sn，满足，n∈N﹡,且a1，a2+5，a3成等差数列．‎ （1） 求a1的值；‎ （2） 求数列{an}的通项公式．‎ （3） 证明：对一切正整数n，有.‎ ‎【答案】本题考查由数列的递推公式求通项公式，不等式证明问题，考查了学生的运算求解能力与推理论证能力，难度一般.‎ ‎25.【2012高考真题四川理20】(本小题满分12分) 已知数列的前项和为，且对一切正整数都成立。‎ ‎（Ⅰ）求，的值；‎ ‎（Ⅱ）设，数列的前项和为，当为何值时，最大？并求出的最大值。‎ ‎【答案】本题主要考查等比数列、等差数列的概念和前n项和公式，以及对数运算等基础知识，考查逻辑推理能力，基本运算能力，以及方程与函数、化归与转化等数学思想 ‎ ‎ ‎26.【2012高考真题四川理22】(本小题满分14分)‎ ‎ 已知为正实数，为自然数，抛物线与轴正半轴相交于点，设为该抛物线在点处的切线在轴上的截距。‎ ‎（Ⅰ）用和表示；‎ ‎（Ⅱ）求对所有都有成立的的最小值；‎ ‎（Ⅲ）当时，比较与的大小，并说明理由。‎ ‎【答案】本题主要考查导数的应用、不等式、数列等基础知识，考查基本运算能力、逻辑推理能力、分析问题与解决问题的能力和创新意识，考查函数与方程、数形结合、分类讨论、化归与转化由特殊到一般等数学思想 ‎ ‎ ‎27.【2012高考真题广东理19】（本小题满分14分）‎ 设数列{an}的前n项和为Sn，满足，n∈N﹡,且a1，a2+5，a3成等差数列．‎ （1） 求a1的值；‎ （2） 求数列{an}的通项公式．‎ （3） 证明：对一切正整数n，有.‎ ‎【答案】本题考查由数列的递推公式求通项公式，不等式证明问题，考查了学生的运算求解能力与推理论证能力，难度一般.‎ ‎29.【2012高考真题重庆理21】（本小题满分12分，（I）小问5分，（II）小问7分.）‎ ‎ 设数列的前项和满足，其中.‎ ‎ （I）求证：是首项为1的等比数列；‎ ‎（II）若，求证：，并给出等号成立的充要条件.‎ ‎【答案】‎ ‎30.【2012高考真题江西理17】（本小题满分12分）‎ 已知数列{an}的前n项和，,且Sn的最大值为8.‎ ‎（1）确定常数k，求an；‎ ‎（2）求数列的前n项和Tn。‎ ‎【答案】‎ ‎ ‎ ‎31.【2012高考真题安徽理21】（本小题满分13分）‎ ‎ 数列满足：‎ ‎（I）证明：数列是单调递减数列的充分必要条件是；‎ ‎（II）求的取值范围，使数列是单调递增数列。‎ ‎【答案】本题考查数列的概念及其性质，不等式及其性质，充要条件的意义，数列与函数的关系等基础知识，考查综合运用知识分析问题的能力，推理论证和运算求解能力。‎ ‎【解析】（I）必要条件 当时，数列是单调递减数列。‎ 充分条件 数列是单调递减数列，‎ 得：数列是单调递减数列的充分必要条件是。‎ ‎（II）由（I）得：，‎ ①当时，，不合题意；‎ ②当时，，‎ ‎，‎ ‎。‎ ‎32.【2012高考真题天津理18】（本小题满分13分）‎ 已知是等差数列，其前n项和为Sn，是等比数列，且，‎ ‎.‎ ‎（Ⅰ）求数列与的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）记，，证明（）.‎ ‎【答案】‎ ‎33.【2012高考真题湖南理19】（本小题满分12分）‎ 已知数列{an}的各项均为正数，记A（n）=a1+a2+……+an，B（n）=a2+a3+……+an+1，C（n）=a3+a4+……+an+2，n=1,2，…… ‎ （1） 若a1=1，a2=5，且对任意n∈N﹡，三个数A（n），B（n），C（n）组成等差数列，求数列{ an }的通项公式.‎ （2） 证明：数列{ an }是公比为q的等比数列的充分必要条件是：对任意，三个数A（n），B（n），C（n）组成公比为q的等比数列.‎ ‎【答案】解（１）对任意,三个数是等差数列，所以 ‎　　　　　　　　　　　　‎ 即亦即 故数列是首项为１，公差为４的等差数列.于是 ‎（Ⅱ）（１）必要性：若数列是公比为ｑ的等比数列，则对任意，有 由知，均大于０，于是 ‎　　　　‎ ‎　　　　‎ 即＝＝，所以三个数组成公比为的等比数列.‎ ‎【解析】‎ ‎【2011年高考试题】‎ ‎1. (2011年高考四川卷理科8)数列的首项为， 为等差数列且 .若则，，则( )‎ ‎（A）0 （B）3 （C）8 （D）11‎ 答案：B 解析：由已知知由叠加法.‎ ‎2.(2011年高考全国卷理科4)设为等差数列的前项和，若，公差，，则 ‎ ‎（A）8 （B）7 （C）6 （D）5‎ ‎3. (2011年高考广东卷理科11)等差数列前9项的和等于前4项的和.若，则 .‎ ‎【答案】10‎ ‎【解析】由题得 ‎5. (2011年高考湖北卷理科13)《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自下而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共‎3升，下面3节的容积共‎4升，则第5节的容积为 升 答案： ‎ 解析：设从上往下的9节竹子的容积依次为a1,a2,，……，a9，公差为d，则有a1+a2+a3+a4=3, a7+a8+a9=4,即‎4a5-10d=3,‎3a5+9d=4,联立解得：.即第5节竹子的容积.‎ ‎5.(2011年高考陕西卷理科14)植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树，每人植一棵，相邻两棵树相距‎10米，开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边，使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小，这个最小值为 （米）。‎ ‎【答案】2000‎ ‎【解析】设树苗集中放置在第号坑旁边，则20名同学返所走的路程总和为 ‎=即时.‎ ‎6.(2011年高考重庆卷理科11)在等差数列中，，则 ‎ 解析：74. ，故 ‎7.(2011年高考江苏卷13)设，其中成公比为q的等比数列，成公差为1的等差数列，则q的最小值是________‎ ‎8．(2011年高考北京卷理科11)在等比数列{an}中，a1=，a4=-4，则公比q=______________；____________。‎ ‎【答案】—2 ‎ ‎9. (2011年高考山东卷理科20)（本小题满分12分）‎ 等比数列中，分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且中的任何两个数不在下表的同一列.‎ 第一列 第二列 第三列 第一行 ‎3‎ ‎2‎ ‎10‎ 第二行 ‎6‎ ‎4‎ ‎14‎ 第三行 ‎9‎ ‎8‎ ‎18‎ ‎（Ⅰ）求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）若数列满足：，求数列的前项和.‎ ‎【解析】（I）当时，不合题意；‎ 当时，当且仅当时，符合题意；‎ 当时，不合题意。‎ 因此 所以公式q=3，‎ 故 ‎10.(2011年高考辽宁卷理科17)（本小题满分12分）‎ ‎ 已知等差数列{an}满足a2=0，a6+a8= -10‎ ‎ （I）求数列{an}的通项公式；‎ ‎ （II）求数列的前n项和.‎ 所以.‎ 综上，数列的前n项和为.‎ ‎11.(2011年高考浙江卷理科19)（本题满分14分）已知公差不为0的等差数列的首项 (),设数列的前n项和为，且，，成等比数列（Ⅰ）求数列的通项公式及（Ⅱ）记，，当时，试比较与的大小.[‎ ‎【解析】（Ⅰ）‎ ‎ 则 ，‎ ‎（Ⅱ） ‎ 因为，所以 当时， 即；‎ 所以当时，；当时， .‎ ‎12.(2011年高考安徽卷理科18)（本小题满分13分）‎ 在数1和100之间插入个实数，使得这个数构成递增的等比数列，将这个数的乘积记作，再令.‎ ‎（Ⅰ）求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）设求数列的前项和.‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知，‎ 又 所以数列的前项和为 ‎13. (2011年高考天津卷理科20)（本小题满分14分）‎ 已知数列与满足：， ，且．‎ ‎（Ⅰ）求的值；‎ ‎（Ⅱ）设，证明：是等比数列；‎ ‎（Ⅲ）设证明：．‎ ‎【解析】本小题主要考查等比数列的定义、数列求和等基础知识，考查运算能力、推理论证能力、综合分析能力和解决问题的能力及分类讨论的思想方法.‎ ‎（Ⅰ）解:由,,可得, 又 当n=1时,,由,,得;‎ 当n=2时,,可得.‎ 当n=3时,,可得.‎ ‎（III）证明：由（II）可得，‎ 于是，对任意，有 将以上各式相加，得 即，‎ 此式当k=1时也成立.由④式得 从而 所以，对任意，‎ 对于n=1，不等式显然成立.‎ 所以，对任意 ‎14. (2011年高考江西卷理科18)（本小题满分12分）‎ 已知两个等比数列，，满足，，，.‎ ‎（1）若，求数列的通项公式；‎ ‎（2）若数列唯一，求的值.‎ ‎15. (2011年高考湖南卷理科16)对于，将表示为，当时，‎ ‎，当时，为或.记为上述表示中为的个数（例如：，‎ ‎，故，），则（1） ；（2） .‎ 答案：2; 1093‎ 解析：（1）由题意知，所以2；‎ ‎（2）通过例举可知：，，，，，，，‎ ‎，且相邻之间的整数的个数有0，1，3，7，15，31，63.它们正好满足“杨辉三角”中的规律：‎ 从而 ‎.‎ 评析：本小题主要考查学生的阅读理解能力、探究问题能力和创新意识.以二进制为知识背景，着重考查等比数列求和以及“杨辉三角”中的规律的理解和运用.‎ ‎16. (2011年高考广东卷理科20)设数列满足,‎ (1) 求数列的通项公式；‎ (2) 证明：对于一切正整数n,‎ ‎ ‎ ‎②当 ‎ ‎ ‎ （2）当时，（欲证）‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ，‎ ‎ ‎ ‎ 当 ‎ 综上所述 ‎17. (2011年高考湖北卷理科19)（本小题满分13分）‎ 已知数列的前n项和为，且满足：‎ ‎(Ⅰ)求数列的通项公式；‎ ‎(Ⅱ)若存在，使得成等差数列，试判断：对于任意的，且，‎ 是否成等差数列，并证明你的结论.‎ 本小题主要考查等差数列、等比数列基础知识，同时考查推理论证能力，以及特殊与一般的思想.‎ 解析：‎ ‎（Ⅰ）由已知，可得，两式相减可得 即又，所以当时，数列为：；‎ 当时，由已知，所以 于是由，可得，‎ 成等比数列，‎ 当时，‎ 综上，数列的通项公式为 ‎18.(2011年高考重庆卷理科21)（本小题满分12分。（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问7分）‎ ‎ 设实数数列的前n项和满足 ‎ （Ⅰ）若成等比数列，求和 ‎ （Ⅱ）求证：对有。‎ 解析：（Ⅰ）由题意，得，‎ 由是等比中项知，因此，‎ 由，解得，‎ ‎ （Ⅱ）证明：有题设条件有，‎ 故，且 从而对有 ①‎ ‎19．(2011年高考四川卷理科20) (本小题共12分) ‎ ‎ 设d为非零实数，an = [C1n d+2Cn2d2+…+(n—1)Cnn-1d n-1+nCnndn](n∈N*).‎ (I) 写出a1,a2,a3并判断{an}是否为等比数列.若是，给出证明；若不是，说明理由；‎ ‎(II)设bn=ndan (n∈N*)，求数列{bn}的前n项和Sn．‎ 解析：（1）‎ ‎20.(2011年高考全国卷理科20)设数列满足且 ‎（Ⅰ）求的通项公式；（Ⅱ）设 ‎【解析】：（Ⅰ）由得，‎ 前项为，‎ ‎（Ⅱ）‎ ‎21.(2011年高考江苏卷20)设M为部分正整数组成的集合，数列的首项，前n项和为，已知对任意整数k属于M，当n>k时，都成立 ‎（1）设M=｛1｝，，求的值；‎ ‎（2）设M=｛3，4｝，求数列的通项公式 ‎（2）由题意：，‎ 当时，由（1）（2）得：‎ 由（3）（4）得： ‎ 由（1）（3）得：‎ 由（2）（4）得：‎ 由（7）（8）知：成等差，成等差；设公差分别为：‎ 由（5）（6）得：‎ 由（9）（10）得：成等差，设公差为d,‎ 在（1）（2）中分别取n=4,n=5得：‎ ‎22．(2011年高考江苏卷23)（本小题满分10分）‎ ‎ 设整数，是平面直角坐标系中的点，其中 ‎ （1）记为满足的点的个数，求；‎ ‎（2）记为满足是整数的点的个数，求 ‎23．(2011年高考北京卷理科20)（本小题共13分）‎ ‎ 若数列满足，数列为数列，记=．‎ ‎ （Ⅰ）写出一个满足，且〉0的数列；‎ ‎ （Ⅱ）若，n=2000，证明：E数列是递增数列的充要条件是=2011；‎ ‎ （Ⅲ）对任意给定的整数n（n≥2），是否存在首项为0的E数列，使得=0？如果存在，写出一个满足条件的E数列；如果不存在，说明理由。‎ 解：（Ⅰ）0，1，2，1，0是一具满足条件的E数列A5。‎ ‎（答案不唯一，0，1，0，1，0也是一个满足条件的E的数列A5）‎ ‎（Ⅱ）必要性：因为E数列A5是递增数列，‎ 所以.‎ 因为 所以为偶数,‎ 所以要使为偶数,‎ 即4整除.‎ 当 时，有 当的项满足，‎ 当不能被4整除，此时不存在E数列An，‎ 使得 ‎24．(2011年高考福建卷理科16)（本小题满分13分）‎ 已知等比数列{an}的公比q=3，前3项和S3=。‎ ‎（I）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（II）若函数在处取得最大值，且最大值为a3，求函数f（x）的解析式。‎ ‎25．(2011年高考上海卷理科22)（18分）已知数列和的通项公式分别为，（），将集合 中的元素从小到大依次排列，构成数列 ‎。‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）求证：在数列中．但不在数列中的项恰为；‎ ‎（3）求数列的通项公式。‎ ‎【2010年高考试题】‎ ‎（2010浙江理数）（3）设为等比数列的前项和，，则 ‎（A）11 （B）5 （C） （D）‎ 解析：解析：通过，设公比为，将该式转化为，解得=-2，带入所求式可知答案选D，本题主要考察了本题主要考察了等比数列的通项公式与前n项和公式，属中档题 ‎（2010全国卷2理数）（4）.如果等差数列中，，那么 ‎（A）14 （B）21 （C）28 （D）35‎ ‎（2010辽宁理数）（6）设{an}是有正数组成的等比数列，为其前n项和。已知a‎2a4=1, ,则 ‎（A） (B) (C) (D) ‎ ‎【答案】B ‎【命题立意】本题考查了等比数列的通项公式与前n项和公式，考查了同学们解决问题的能力。‎ ‎【解析】由a‎2a4=1可得，因此，又因为，联力两式有，所以q=,所以，故选B。‎ ‎（2010江西理数）5.等比数列中，，=4，函数，则（ ）‎ A． B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】考查多项式函数的导数公式，重点考查学生创新意识，综合与灵活地应用所学的数学知识、思想和方法。考虑到求导中，含有x项均取0，则只与函数的一次项有关；得：。‎ ‎（2010江西理数）4. （ ）‎ A. B. C. 2 D. 不存在 ‎【答案】B ‎【解析】考查等比数列求和与极限知识.解法一：先求和，然后对和取极限。‎ ‎（2010重庆理数）（1）在等比数列中， ，则公比q的值为 A. 2 B. ‎3 C. 4 D. 8 ‎ 解析： ‎ ‎（2010四川理数）（8）已知数列的首项，其前项的和为，且，则 ‎（A）0 （B） （C） 1 （D）2‎ ‎（2010天津理数）（6）已知是首项为1的等比数列，是的前n项和，且，则数列的前5项和为 ‎（A）或5 （B）或5 （C） （D）‎ ‎【答案】C ‎【解析】本题主要考查等比数列前n项和公式及等比数列的性质，属于中等题。‎ 显然q1，所以，所以是首项为1，公比为的等比数列， 前5项和.‎ ‎【温馨提示】在进行等比数列运算时要注意约分，降低幂的次数，同时也要注意基本量法的应用。‎ ‎（2010广东理数）4. 已知为等比数列，Sn是它的前n项和。若， 且与2的等差中项为，则=‎ A．35 B‎.33 C.31 D.29‎ ‎1.（2010安徽理数）10、设是任意等比数列，它的前项和，前项和与前项和分别为，则下列等式中恒成立的是 A、 B、‎ C、 D、‎ ‎【答案】D ‎【分析】取等比数列,令得代入验算，只有选项D满足。‎ ‎【方法技巧】对于含有较多字母的客观题，可以取满足条件的数字代替字母，代入验证，若能排除3个选项，剩下唯一正确的就一定正确；若不能完全排除，可以取其他数字验证继续排除.本题也可以首项、公比即项数n表示代入验证得结论.‎ ‎（2010湖北理数）7、如图，在半径为r 的园内作内接正六边形，再作正六边形的内切圆，又在此内切圆内作内接正六边形，如此无限继续下去，设为前n个圆的面积之和，则= ‎ A． 2 B. C.4 D.6‎ ‎（2010福建理数）3．设等差数列的前n项和为,若,,则当取最小值时,n等于 A．6 B．‎7 ‎ C．8 D．9‎ ‎【答案】A ‎【解析】设该数列的公差为，则，解得，‎ 所以，所以当时，取最小值。‎ ‎【命题意图】本题考查等差数列的通项公式以及前n项和公式的应用，考查二次函数最值的求法及计算能力。‎ ‎（2010辽宁理数）（16）已知数列满足则的最小值为__________.‎ ‎（2010福建理数）11．在等比数列中,若公比,且前3项之和等于21,则该数列的通项公式 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题意知，解得，所以通项。‎ ‎【命题意图】本题考查等比数列的通项公式与前n项和公式的应用，属基础题。‎ ‎3. （2010江苏卷）8、函数y=x2(x>0)的图像在点(ak,ak2)处的切线与x轴交点的横坐标为ak+1,k为正整数，a1=16，则a1+a3+a5=____▲_____‎ ‎[解析]考查函数的切线方程、数列的通项。 ‎ 在点(ak,ak2)处的切线方程为：当时，解得，‎ 所以。‎ ‎（2010江西理数）22. （本小题满分14分）‎ 证明以下命题：‎ （1） 对任一正整a,都存在整数b,c(b1)。设=+…..+ ,=-+…..+(-1 ,n ‎ ‎ (1)若== 1，d=2，q=3，求 的值；‎ ‎(2)若=1，证明(1-q)-(1+q)=，n；‎ ‎(3) 若正数n满足2nq，设的两个不同的排列， ， 证明。‎ 本小题主要考查等差数列的通项公式、等比数列的通项公式与前n项和公式等基础知识，考查运算能力，推理论证能力及综合分析和解决问题的能力的能力，满分14分。‎ 所以，‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎(Ⅲ)证明：‎ ‎ ‎ 因为所以 ‎ ‎ 若，取i=n ‎ 若，取i满足且 ‎【2008年高考试题】‎ ‎4.(2008·广东卷理2)记等差数列的前项和为，若，，则( )‎ A．16 B．‎24 ‎‎ ‎ C．36 D．48‎ 答案：D 解析：，，故 ‎7.(2008·广东理2)记等差数列的前项和为，若，，则( )‎ A．16 B．‎24 ‎ C．36 D．48‎ 答案：D 。‎ ‎3.(2008·海南宁夏卷理17)已知数列是一个等差数列，且，。‎ ‎(1)求的通项；‎ ‎(2)求前n项和的最大值。‎ 解：(Ⅰ)设的公差为，由已知条件，，解出，．‎ 所以．‎ ‎(Ⅱ)．‎ 所以时，取到最大值．‎ ‎4.(2008·山东理19文20)将数列｛an｝中的所有项按每一行比上一行多一项的规则排成如下数表：‎ a1‎ a‎2 a3‎ a‎4 a5 a6‎ a‎7 a8 a9 a10‎ ‎……‎ 记表中的第一列数a1，a2，a4，a7，…构成的数列为｛bn｝,b1=a1=1. Sn为数列｛bn｝的前n项和，且满足＝1=(n≥2).‎ ‎(Ⅰ)证明数列｛｝成等差数列，并求数列｛bn｝的通项公式；‎ ‎(Ⅱ)上表中，若从第三行起，每一行中的数按从左到右的顺序均构成等比数列，且公比为同一个正数.当时，求上表中第k(k≥3)行所有项和的和.‎ ‎ (Ⅱ)解：设上表中从第三行起，每行的公比都为q,且q＞0.‎ ‎ 因为　　　‎ ‎ 　所以表中第1行至第12行共含有数列｛an｝的前78项，‎ ‎ 　故 a82在表中第13行第三列，　因此 ‎ 又　　 　所以 q=2.‎ ‎ 记表中第k(k≥3)行所有项的和为S，‎ 则(k≥3).‎ 点评：本题考查等差数列、等比数列的基本知识，考查数列求和及推理运算能力。‎ ‎5.(2008·江苏卷19).(Ⅰ)设是各项均不为零的等差数列()，且公差，若将此数列删去某一项得到的数列(按原来的顺序)是等比数列：‎ ‎①当n =4时，求的数值；②求的所有可能值；‎ ‎(Ⅱ)求证：对于一个给定的正整数n(n≥4)，存在一个各项及公差都不为零的等差数列，其中任意三项(按原来顺序)都不能组成等比数列．‎ ‎②当n＝5 时， 中同样不可能删去首项或末项．‎ 若删去，则有＝，即．故得=6 ；‎ 若删去，则＝，即．‎ 化简得3＝0，因为d≠0，所以也不能删去；‎ 若删去，则有＝，即．故得= 2 ．‎ 当n≥6 时，不存在这样的等差数列．事实上，在数列，，，…，，， 中，由于不能删去首项或末项，若删去，则必有＝，这与d≠0 矛盾；同样若删去也有＝，这与d≠0 矛盾；若删去，…，中任意一个，则必有＝，这与d≠0 矛盾．综上所述，n∈{4，5}．‎ 点评：等差等比数列这部分内容主要考查公式的灵活应用，这是高考的热点。‎ ‎6.(2008·广东卷21)设为实数，是方程的两个实根，数列 满足，，(…)．(1)证明：，；(2)求数列的通项公式；‎ ‎(3)若，，求的前项和．‎ ‎①当时，此时方程组的解记为 即、分别是公比为、的等比数列，‎ 由等比数列性质可得,,‎ 两式相减，得 ‎，，‎ ‎，‎ ‎，即，‎ ‎②当时，即方程有重根，，‎ 即，得，不妨设，由①可知 ‎，，‎ 即，等式两边同时除以，得，即 数列是以1为公差的等差数列，,‎ 综上所述，‎ ‎【2007年高考试题】‎ ‎1．(2007·宁夏、海南理4)已知是等差数列，，其前10项和，‎ 则其公差(　　)‎ Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．‎ 答案：D 解析： 选D ‎2．(2007·宁夏、海南理7)已知，，成等差数列，成等比数列，则的最小值是(　　)‎ Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．‎ 答案：D 解析： 选D。‎ ‎3．(2007·广东理5) 已知数列｛｝的前n项和，第k项满足５＜＜８，则=‎ ‎ A．9 B．‎8 C．7 D．6‎ ‎1．(2007·山东理17)设数列满足，．‎ ‎(Ⅰ)求数列的通项；‎ ‎(Ⅱ)设，求数列的前项和．‎ 解：(I)‎ ‎ ‎ 验证时也满足上式，‎ ‎(II) ，‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ，‎ ‎ ‎ ‎2．(2007·山东理18)‎ ‎ 设是公比大于1的等比数列，为数列的前项和．已知，‎ 且构成等差数列．‎ ‎(1)求数列的等差数列．‎ ‎(2)令求数列的前项和．‎ ‎ ‎ ‎(2)由于 ‎ 由(1)得 ‎ ‎ ‎ 又 ‎ 是等差数列．‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 故．‎ ‎ ‎ ‎ ‎