黑龙江省齐齐哈尔市2018-2019学年高一下学期期末考试数学试题 20页

www.ks5u.com 齐齐哈尔市2018-2019学年高一下学期期末考试 数学试卷 本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分 第I卷 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 ‎1.设集合，集合为函数的定义域，则（）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 解不等式化简集合的表示，求出函数的定义域，表示成集合的形式，运用集合的并集运算法则，结合数轴求出.‎ ‎【详解】因为，所以.‎ 又因为函数的定义域为，所以.‎ 因此，故本题选B.‎ ‎【点睛】本题考查了集合的并集运算，正确求出对数型函数的定义域，运用数轴是解题的关键.‎ ‎2.已知a，b，c∈R，那么下列命题中正确的是 (　　)‎ A. 若a>b，则ac2>bc2‎ B. 若，则a>b C. 若a3>b3且ab<0，则 D. 若a2>b2且ab>0，则 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据不等式的性质，对A、B、C、D四个选项通过举反例进行一一验证．‎ ‎【详解】A．若a＞b，则ac2＞bc2（错），若c=0，则A不成立；‎ B．若，则a＞b（错），若c＜0，则B不成立；‎ C．若a3＞b3且ab＜0，则（对），若a3＞b3且ab＜0，则 ‎ D．若a2＞b2且ab＞0，则（错），若，则D不成立．‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】此题主要考查不等关系与不等式的性质及其应用，例如举反例法求解比较简单．两个式子比较大小的常用方法有：做差和0比，作商和1比，或者直接利用不等式的性质得到大小关系，有时可以代入一些特殊的数据得到具体值，进而得到大小关系.‎ ‎3.中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步并不难，次日脚痛减一半，六朝才得至其关，欲问每朝行里数，请公仔细算相还”.其意思为：“有一个人走378里路，第1天健步行走，从第2天起，因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，可求出此人每天走多少里路.”那么此人第5天走的路程为（ ）‎ A. 48里 B. 24里 C. 12里 D. 6里 ‎【答案】C ‎【解析】‎ 记每天走的路程里数为{an}，由题意知{an}是公比的等比数列，‎ 由S6=378，得=378，解得：a1=192，∴=12（里）．故选：C．‎ ‎4.若向量，的夹角为，且，，则向量与向量的夹角为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎，，设向量与向量的夹角为，，，故选A.‎ ‎5.函数的图象大致为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出函数为偶函数，再根据函数值的变化趋势或函数的单调性即可判断．‎ ‎【详解】解：，‎ 为偶函数，‎ 的图象关于y轴对称，故排除B，C，‎ 当时，，故排除D，‎ 或者根据，当时，为增函数，故排除D，‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】本题考查了函数图象的识别，关键是掌握函数的奇偶性和函数的单调性和函数值的变化趋势，属于基础题．‎ ‎6.已知，，，则 的大小关系为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据对数函数的单调性可知都大于1，把化成后可得的大小，从而可得的大小关系.‎ ‎【详解】因为及都是上的增函数，故 ‎，，‎ 又，故，选B.‎ ‎【点睛】对数的大小比较，可通过寻找合适的单调函数来构建大小关系，如果底数不统一，可以利用对数的运算性质统一底数.不同类型的数比较大小，应找一个中间数，通过它实现大小关系的传递.‎ ‎7.已知四面体中，，分别是，的中点，若，，与所成角的度数为30°，则与所成角的度数为（）‎ A. 90° B. 45° C. 60° D. 30°‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 取的中点,利用三角形中位线定理,可以得到,与所成角为，运用三角形中位线定理和正弦定理，可以求出的大小，也就能求出与所成角的度数.‎ ‎【详解】取的中点连接，如下图所示：因为，分别是，‎ 的中点，所以有，因为与所成角的度数为30°，所以，与所成角的大小等于的度数.‎ 在中，‎ ‎，故本题选A.‎ ‎【点睛】本题考查了异面直线所成角的求法，考查了正弦定理，取中点利用三角形中位线定理是解题的关键.‎ ‎8.函数（其中，，）的图象如图所示，为了得到的图象，只需把的图象上所有的点（）‎ A. 向右平移个单位长度 B. 向左平移个单位长度 C. 向右平移个单位长度 D. 向左平移个单位长度 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 通过图象可以知道：最低点纵坐标为，函数的图象与横轴的交点的坐标为 ‎，与之相邻的最低点的坐标为，这样可以求出和最小正周期，利用余弦型函数最小正周期公式，可以求出，把零点代入解析式中，可以求出，这样可以求出函数的解析式，利用诱导公式化为正弦型三角函数解析式形式，最后利用平移变换解析式的变化得出正确答案.‎ ‎【详解】由图象可知：函数的最低点的纵坐标为，函数的图象与横轴的交点的坐标为，与之相邻的最低点的坐标为，所以，设函数的最小正周期为，则有，而，把代入函数 解析式中，得 ‎，‎ 所以，而，显然由 向右平移个单位长度得到 的图象，故本题选C.‎ ‎【点睛】本题考查了由函数图象求余弦型函数解析式，考查了正弦型函数图象之间的平移变换规律.‎ ‎9.如图，有一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，汽车在点测得公路北侧山顶的仰角为30°，汽车行驶后到达点测得山顶在北偏西30°方向上，且仰角为45°，则山的高度为（）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 通过题意可知：，设山的高度，分别在中求出，最后在中，利用余弦定理，列出方程，解方程求出的值.‎ ‎【详解】由题意可知：.‎ 在中，.‎ 在中，.‎ 中，由余弦定理可得：‎ ‎（舍去），故本题选D.‎ ‎【点睛】本题考查了余弦定理的应用，弄清题目中各个角的含义是解题的关键.‎ ‎10.已知是定义在上的奇函数，当时，，那么不等式的解集是（）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据奇函数的性质求出的解析式，然后分类讨论求出不等式 的解集.‎ ‎【详解】因为是定义在上的奇函数，所以有，显然是不等式的解集；‎ 当时，；‎ 当时，，综上所述：不等式的解集是，故本题选B.‎ ‎【点睛】本题考查了利用奇函数性质求解不等式解集问题，考查了分类思想，正确求出函数的解析式是解题的关键.‎ ‎11.已知数列的前项和为，若，则（）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 再递推一步，两个等式相减，得到一个等式，进行合理变形，可以得到一个等比数列，求出通项公式，最后求出数列的通项公式，最后求出，选出答案即可.‎ ‎【详解】因为，所以当时，，两式相减化简得：，而，所以数列是以 为首项，为公比的等比数列，因此有，所以，故本题选A.‎ ‎【点睛】本题考查了已知数列递推公式求数列通项公式的问题，考查了等比数列的判断以及通项公式，正确的递推和等式的合理变形是解题的关键.‎ ‎12.已知函数，若方程有5个解，则的取值范围是（）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用因式分解法，求出方程的解，结合函数的性质，根据题意可以求出的取值范围.‎ ‎【详解】，‎ ‎，或，由题意可知：，由题可知：当时，有2个解且有2个解且 ，‎ 当时，，因为，所以函数是偶函数，当时，函数是减函数，故有，函数是偶函数，所以图象关于纵轴对称，即当时有，，所以，综上所述；‎ 的取值范围是，故本题选D.‎ ‎【点睛】本题考查了已知方程解的情况求参数取值问题，正确分析函数的性质，是解题的关键.‎ 第II卷 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把正确答案写在答题卡相应题的横线上 ‎13.计算：________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 用正弦、正切的诱导公式化简求值即可.‎ ‎【详解】.‎ ‎【点睛】本题考查了正弦、正切的诱导公式，考查了特殊角的正弦值和正切值.‎ ‎14.已知，若数列满足，，则等于________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据首项、递推公式，结合函数解析式，求出的值，可以发现数列是周期数列，求出周期，利用数列的周期性可以求出的值.‎ ‎【详解】 ‎ ‎，所以数列是以5为周期的数列，‎ 因为20能被5整除，所以.‎ ‎【点睛】本题考查了数列的周期性，考查了数学运算能力.‎ ‎15.已知，，两圆和只有一条公切线，则的最小值为________‎ ‎【答案】9‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 两圆只有一条公切线，可以判断两圆是内切关系，可以得到一个等式，结合这个等式，可以求出的最小值.‎ ‎【详解】，圆心为，半径为2；‎ ‎，圆心为，半径为1.因为两圆只有一条公切线，所以两圆是内切关系，即，于是有 ‎（当且仅当取等号），因此的最小值为9.‎ ‎【点睛】本题考查了圆与圆的位置关系，考查了基本不等式的应用，考查了数学运算能力.‎ ‎16.(数学文卷·2017届广东省揭阳市届高三上学期期末调研考试第15题) 鲁班锁是中国传统的智力玩具，起源于古代汉族建筑中首创的榫卯结构，这种三维的拼插器具内部的凹凸部分（即榫卯结构）啮合，十分巧妙，外观看是严丝合缝的十字立方体，其上下、左右、 前后完全对称．从外表上看，六根等长的正四棱柱体分成三组，经榫卯起来，如图3，若正四棱柱体的高为，底面正方形的边长为，现将该鲁班锁放进一个球形容器内，则该球形容器的表面积的最小值为__________．（容器壁的厚度忽略不计） ‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 表面积最小的球形容器可以看成长、宽、高分别为1、2、6的长方体的外接球。设其半径为R, ，所以该球形容器的表面积的最小值为 。‎ ‎【点睛】将表面积最小的球形容器，看成其中两个正四棱柱的外接球，求其半径，进而求体积。‎ 三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、解答过程或演算步骤 ‎17.已知等比数列为递增数列，，，数列满足．‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）求数列的前项和．‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用等比数列的下标性质，可以由，得到，通过解方程组，结合已知可以求出的值，这样可以求出公比，最后可以求出等比数列的通项公式，最后利用对数的运算性质可以求出数列的通项公式；‎ ‎（2）利用错位相消法可以求出数列的前项和．‎ ‎【详解】解（1）∵是等比数列 ‎∴‎ 又∵‎ 由是递增数列解得，‎ 且公比 ‎∴‎ ‎（2）‎ ‎，两式相减得：‎ ‎∴‎ ‎【点睛】本题考查了等比数列下标的性质，考查了求等比数列通项公式，考查了对数运算的性质，考查了错位相消法，考查了数学运算能力.‎ ‎18.在中，已知，，且AC边的中点M在y轴上，BC边的中点N在x轴上，求：‎ 顶点C的坐标； ‎ 直线MN的方程．‎ ‎【答案】（1）；（2）．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）边AC的中点M在y轴上，由中点公式得，A，C两点的横坐标和的平均数为0，同理，B，C两点的纵坐标和的平均数为0．构造方程易得C点的坐标．‎ ‎（2）根据C点的坐标，结合中点公式，我们可求出M，N两点的坐标，代入两点式即可求出直线MN的方程．‎ 解：（1）设点C（x，y），‎ ‎∵边AC的中点M在y轴上得=0，‎ ‎∵边BC的中点N在x轴上得=0，‎ 解得x=﹣5，y=﹣3．‎ 故所求点C坐标是（﹣5，﹣3）．‎ ‎（2）点M的坐标是（0，﹣），‎ 点N的坐标是（1，0），‎ 直线MN的方程是=，‎ 即5x﹣2y﹣5=0．‎ 点评：在求直线方程时，应先选择适当的直线方程的形式，并注意各种形式的适用条件，用斜截式及点斜式时，直线的斜率必须存在，而两点式不能表示与坐标轴垂直的直线，截距式不能表示与坐标轴垂直或经过原点的直线，故在解题时，若采用截距式，应注意分类讨论，判断截距是否为零；若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况．‎ ‎19.已知向量，，函数．‎ ‎（1）求函数的单调递增区间；‎ ‎（2）在中，内角、、所对边的长分别是、、，若，，，求的面积.‎ ‎【答案】（1）的增区间是，（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用平面向量数量积的坐标表示公式、二倍角的正弦公式、余弦二倍角的降幂公式、以及辅助角公式可以函数的解析式化为正弦型函数解析式的形式，最后利用正弦型函数的单调性求出函数的单调递增区间；‎ ‎（2）根据（1）所得的结论和，可以求出角的值，利用三角形内角和定理可以求出角的值，再运用正弦定理可得出的值，最后利用三角形面积公式可以求出的面积..‎ ‎【详解】（1）‎ 令，‎ 解得 ‎∴的增区间是，‎ ‎（2）‎ ‎∵‎ ‎∴解得 又∵∴中，‎ 由正弦定理得 ‎∴‎ ‎【点睛】本题考查了平面向量数量积的坐标表示公式，考查了二倍角的正弦公式、余弦二倍角的降幂公式、以及辅助角公式，考查了正弦定理和三角形面积公式，考查了数学运算能力.‎ ‎20.某企业用180万元购买一套新设备，该套设备预计平均每年能给企业带来100万元的收入，为了维护设备的正常运行，第一年需要各种维护费用10万元，且从第二年开始，每年比上一年所需的维护费用要增加10万元 ‎（1）求该设备给企业带来的总利润（万元）与使用年数的函数关系；‎ ‎（2）试计算这套设备使用多少年，可使年平均利润最大？年平均利润最大为多少万元？‎ ‎【答案】（1），（2）这套设备使用6年，可使年平均利润最大，最大利润为35万元 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）运用等差数列前项和公式可以求出年的维护费，这样可以由题意可以求出该设备给企业带来的总利润（万元）与使用年数的函数关系；‎ ‎（2）利用基本不等式可以求出年平均利润最大值.‎ ‎【详解】解：（1）由题意知，年总收入为万元 年维护总费用为万元.‎ ‎∴总利润，‎ 即，‎ ‎（2）年平均利润为 ‎∵，∴‎ 当且仅当，即时取“”‎ ‎∴‎ 答：这套设备使用6年，可使年平均利润最大，最大利润35万元.‎ ‎【点睛】本题考查了应用数学知识解决生活实际问题的能力，考查了基本不等式的应用，考查了数学建模能力，考查了数学运算能力.‎ ‎21.如图，四边形是平行四边形，平面平面，，，，，，，为的中点．‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）求证：平面平面.‎ ‎【答案】（1）见解析（2）见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）取中点，连接，，利用三角形中位线定理，结合已知，可以证明出四边形为平行四边形，利用平行四边形的性质和线面平行的判定定理可以证明出平面；‎ ‎（2）在中，利用余弦定理可以求出的值，利用勾股定理的逆定理可以得，由平面平面，利用面面垂直的性质定理，可以得到平面，最后利用面面垂直的判断定理可以证明出平面平面.‎ ‎【详解】（1）取中点，连接，，在中，因为是中点 所以且 又因为，，所以 且，即四边形为平行四边形，‎ 所以，又平面，平面 平面.‎ ‎（2）在中，，，‎ 由余弦定理得，‎ 进而由勾股定理的逆定理得 又因为平面，平面，又因为平面 所以平面 又平面，所以平面平面 ‎【点睛】本题考查了线面平行、面面垂直的证明，考查了线面平行的判断定理、面面垂直的性质定理和判定定理，考查了推理论证能力.‎ ‎22.已知圆：，点是直线：上的一动点，过点作圆M的切线、，切点为、．‎ ‎（Ⅰ）当切线PA的长度为时，求点的坐标；‎ ‎（Ⅱ）若的外接圆为圆，试问：当运动时，圆是否过定点？若存在，求出所有的定点的坐标；若不存在，说明理由；‎ ‎（Ⅲ）求线段长度的最小值．‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）‎ ‎；（Ⅲ）AB有最小值 ‎【解析】‎ 试题分析：（Ⅰ）求点的坐标，需列出两个独立条件,根据解方程组解：由点是直线：上的一动点，得，由切线PA的长度为得，解得（Ⅱ）设P（2b,b），先确定圆的方程：因为∠MAP＝90°，所以经过A、P、M三点的圆以MP为直径，其方程为：，再按b整理：由解得或，所以圆过定点（Ⅲ）先确定直线方程，这可利用两圆公共弦性质解得：由圆方程为及 圆：，相减消去x,y平方项得圆方程与圆相交弦AB所在直线方程为：，相交弦长即：‎ ‎，当时，AB有最小值 试题解析：（Ⅰ）由题可知，圆M的半径r＝2，设P（2b,b），‎ 因为PA是圆M的一条切线，所以∠MAP＝90°,‎ 所以MP＝，解得 所以4分 ‎（Ⅱ）设P（2b，b），因为∠MAP＝90°，所以经过A、P、M三点的圆以MP为直径，‎ 其方程为：‎ 即 由， 7分 解得或，所以圆过定点9分 ‎（Ⅲ）因为圆方程为 即①‎ 圆：，即②‎ ‎②－①得圆方程与圆相交弦AB所在直线方程为：‎ ‎11分 点M到直线AB的距离13分 相交弦长即：‎ 当时，AB有最小值16分 考点：圆的切线长，圆的方程，两圆的公共弦方程 ‎ ‎