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- 2021-06-23 发布
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全*品*高*考*网, 用后离不了!2016-2017学年河南省郑州市一中网校联考高二(上)期中数学试卷(文科)
一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.在△ABC中,b=2,A=,B=,则a的值为( )
A. B. C. D.
2.在等比数列{an}中,a1=1,q=,an=,则n=( )
A.5 B.6 C.7 D.8
3.下列不等式中解集为实数集R的是( )
A.x2+4x+4>0 B. C.x2﹣x+1≥0 D.
4.设a>0,b>0,若a+b=1,则的最小值为( )
A.4 B.8 C.1 D.
5.在△ABC中,角A,B,C的对边为a,b,c,若a2﹣b2+c2=ac,则角B为( )
A. B. C. D.
6.已知命题p:1∈{x|(x+2)(x﹣3)<0},命题q:∅={0},则下面判断正确的是( )
A.p假q真 B.“p∨q”为真 C.“p∧q”为真 D.“¬q”为假
7.在△ABC中,已知acosB=bcosA,那么△ABC一定是( )
A.等腰三角形 B.直角三角形
C.等腰三角形或直角三角形 D.等腰直角三角形
8.设x,y满足,则z=x+y( )
A.有最小值2,最大值3 B.有最小值2,无最大值
C.有最大值3,无最小值 D.既无最小值,也无最大值
9.在等比数列an中a7•a11=6,a4+a14=5,则等于( )
A. B. C.或 D.或
10.不等式≥2的解集为( )
A.[﹣1,0) B.[﹣1,+∞) C.(﹣∞,﹣1] D.(﹣∞,﹣1]∪(0,+∞)
11.已知关于x的不等式x2﹣2x﹣3>0和x2+bx+c≤0的解集分别为A,B,若A∪B=R,A∩B=(3,4],则b+c=( )
A.7 B.﹣7 C.12 D.﹣12
12.设a>b>0,则a2++的最小值是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,满分20分,将答案填在答题纸上
13.已知△ABC中,a=2,∠A=60°,则△ABC的外接圆直径为 .
14.an=2n﹣1,Sn= .
15.小华同学骑电动自行车以24km/h的速度沿着正北方向的公路行驶,在点A处望见电视塔S在电动车的北偏东30°方向 上,15min后到点B处望见电视塔在电动车的北偏东75°方向上,则电动车在点B时与电视塔S的距离是 km.
16.已知两个等差数列{an},{bn}的前n项和分别记为Sn,Tn, =,则= , = .
三、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.在△ABC中,角A、B、C的对边分别为a,b,c,且满足(2a﹣c)cosB=bcosC
(1)求角B的大小;
(2)若b=,a+c=4,求△ABC的面积S.
18.已知数列{an}的前n项和为Sn,且满足an+2Sn•Sn﹣1=0(n≥2),a1=.
(1)求证:{}是等差数列;
(2)求an的表达式.
19.已知命题p:∀x∈[1,2],x2﹣a≥0,命题q:∃x0∈R,使得x02+(a﹣1)x0﹣1<0,若p∨q为真,p∧q为假,求实数a的取值范围.
20.设0≤α≤π,不等式8x2﹣(8sinα)x+cos2α≥0对任意x∈R恒成立,求α的取值范围.
21.在△ABC中,设=﹣1, =,求角A,B,C.
22.已知等差数列{an}中,a1=1,an+1=2an+2n+1(2n+1),求数列{an}的通项公式.
2016-2017学年河南省郑州市一中网校联考高二(上)期中数学试卷(文科)
参考答案与试题解析
一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.在△ABC中,b=2,A=,B=,则a的值为( )
A. B. C. D.
【考点】正弦定理.
【分析】由已知利用正弦定理即可解得a的值.
【解答】解:∵b=2,A=,B=,
∴由正弦定理可得:a===.
故选:B.
2.在等比数列{an}中,a1=1,q=,an=,则n=( )
A.5 B.6 C.7 D.8
【考点】等比数列的通项公式.
【分析】利用等比数列的通项公式即可得出.
【解答】解:an==,解得n=6.
故选:B.
3.下列不等式中解集为实数集R的是( )
A.x2+4x+4>0 B. C.x2﹣x+1≥0 D.
【考点】其他不等式的解法;一元二次不等式的解法.
【分析】选项A中x不能为﹣2,选项B中x不能为0,选项D中x也不能为0,选项C中根的判别式小于0,故不等式恒成立,即解集为R,即可得到正确的选项为C.
【解答】解:A、x2+4x+4>0变形为:(x+2)2>0,
∴不等式的解集为x≠﹣2,不合题意;
B、>0,则x是不为0的实数,不合题意;
C、x2﹣x+1≥0,
令x2﹣x+1=0,∵a=1,b=﹣1,c=1,∴b2﹣4ac=﹣3<0,
∴x2﹣x+1=0无解,
则x2﹣x+1≥0解集为R,符合题意;
D、,当x≠0时,去分母得:﹣1<0,恒成立,
则不等式的解集为x≠0,不合题意,
故选C
4.设a>0,b>0,若a+b=1,则的最小值为( )
A.4 B.8 C.1 D.
【考点】基本不等式.
【分析】利用“乘1法”和基本不等式的性质即可得出.
【解答】解:∵a>0,b>0,a+b=1,
∴=(a+b)=2+=4,当且仅当a=b=时取等号.
故选A.
5.在△ABC中,角A,B,C的对边为a,b,c,若a2﹣b2+c2=ac,则角B为( )
A. B. C. D.
【考点】余弦定理.
【分析】利用余弦定理表示出cosB,把已知的等式代入得出cosB的值,由∠B为三角形的内角,利用特殊角的三角函数值即可求出∠B的度数.
【解答】解:∵a2﹣b2+c2=ac,
∴由余弦定理得:cosB===,
又∠B为三角形的内角,
则∠B=.
故选:A.
6.已知命题p:1∈{x|(x+2)(x﹣3)<0},命题q:∅={0},则下面判断正确的是( )
A.p假q真 B.“p∨q”为真 C.“p∧q”为真 D.“¬q”为假
【考点】命题的真假判断与应用.
【分析】解二次不等式,可判断命题p的真假,根据空集的定义,可判断命题q的真假,最后结合复合命题真假判断的真值表,可得答案.
【解答】解:解(x+2)(x﹣3)<0得:x∈(﹣2,3);
故命题p:1∈{x|(x+2)(x﹣3)<0}为真命题;
命题q:∅={0}为假命题;
故p假q真,错误;
“p∨q”为真,正确;
“p∧q”为真,错误;
“¬q”为真,错误;
故选:B
7.在△ABC中,已知acosB=bcosA,那么△ABC一定是( )
A.等腰三角形 B.直角三角形
C.等腰三角形或直角三角形 D.等腰直角三角形
【考点】任意角的概念.
【分析】直接利用正弦定理,化简表达式,通过两角和与差的三角函数化简,即可判断三角形的形状.
【解答】解:因为在△ABC中,acosB=bcosA,由正弦定理可知,sinBcosA=sinAcosB,
所以sin(A﹣B)=0,所以A﹣B=π,或A=B,因为A,B是三角形内角,所以A=B,三角形是等腰三角形.
故选A.
8.设x,y满足,则z=x+y( )
A.有最小值2,最大值3 B.有最小值2,无最大值
C.有最大值3,无最小值 D.既无最小值,也无最大值
【考点】简单线性规划.
【分析】本题考查的知识点简单线性规划问题,我们先在坐标系中画出满足约束条件对应的平面区域,根据目标函数z=x+y及直线2x+y=4的斜率的关系,即可得到结论.
【解答】解析:如图作出不等式组表示的可行域,如下图所示:
由于z=x+y的斜率大于2x+y=4的斜率,
因此当z=x+y过点(2,0)时,z有最小值,
但z没有最大值.
故选B
9.在等比数列an中a7•a11=6,a4+a14=5,则等于( )
A. B. C.或 D.或
【考点】等比数列的性质.
【分析】根据等比中项的性质可知a7•a11=a4•a14求得a4•a14的值,进而根据韦达定理判断出a4和a14为方程x2﹣5x+6=0的两个根,求得a4和a14,则可求.
【解答】解:a7•a11=a4•a14=6
∴a4和a14为方程x2﹣5x+6=0的两个根,解得a4=2,a14=3或a4=3,a14=2
∴=或
故选C.
10.不等式≥2的解集为( )
A.[﹣1,0) B.[﹣1,+∞) C.(﹣∞,﹣1] D.(﹣∞,﹣1]∪(0,+∞)
【考点】其他不等式的解法.
【分析】本题为基本的分式不等式,利用穿根法解决即可,也可用特值法.
【解答】解: ⇔⇔⇔⇔﹣1≤x<0
故选A
11.已知关于x的不等式x2﹣2x﹣3>0和x2+bx+c≤0的解集分别为A,B,若A∪B=R,A∩B=(3,4],则b+c=( )
A.7 B.﹣7 C.12 D.﹣12
【考点】交、并、补集的混合运算.
【分析】由二次不等式的解法,可得集合A,再由A∪B=R,A∩B=(3,4],[﹣1,4]=B,由韦达定理即可得到系数b,c,进而得到所求和.
【解答】解:x2﹣2x﹣3>0,解得x>3或x<﹣1,
即A=(3,+∞)∪(﹣∞,﹣1),
A∪B=R,A∩B=(3,4],
则[﹣1,3]⊆B,(3,4]⊆B,
即有[﹣1,4]=B,
即﹣1,4为x2+bx+c=0的两根,
可得﹣1+4=﹣b,﹣1×4=c,
解得b=﹣3,c=﹣4,
b+c=﹣7.
故选:B.
12.设a>b>0,则a2++的最小值是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
【考点】基本不等式.
【分析】a2++=ab++a2﹣ab+,利用基本不等式的性质即可得出.
【解答】解:∵a>b>0,∴a﹣b>0,
∴a2++=a2﹣ab+ab++=ab++a(a﹣b)+≥2+2=4,
当且仅当ab=1,a(a﹣b)=1即a=,b=时等号成立,
故选:D.
二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,满分20分,将答案填在答题纸上
13.已知△ABC中,a=2,∠A=60°,则△ABC的外接圆直径为 .
【考点】正弦定理.
【分析】根据已知及正弦定理利用2R=,即可求得三角形外接圆的直径.
【解答】解:在△ABC中,∵a=2,∠A=60°,
∴△ABC的外接圆的直径等于2R===
故答案为:.
14.an=2n﹣1,Sn= n2 .
【考点】等差数列的前n项和;数列的函数特性.
【分析】判断数列是等差数列,然后求解数列的Sn.
【解答】解:an=2n﹣1,可得an+1﹣an=2(n+1)﹣1﹣(2n﹣1)=2,所以数列是等差数列,公差为2,首项为:1,
Sn=n•1+=n2.
故答案为:n2.
15.小华同学骑电动自行车以24km/h的速度沿着正北方向的公路行驶,在点A处望见电视塔S在电动车的北偏东30°方向 上,15min后到点B处望见电视塔在电动车的北偏东75°方向上,则电动车在点B时与电视塔S的距离是 km.
【考点】解三角形的实际应用.
【分析】在△ABS中,可得∠BAS=30°,AB=6,∠ABS=180°﹣75°=105°则∠ASB=45°,由正弦定理可得BS=.
【解答】解:如图,由已知可得,AB=24×=6
在△ABS中,∠BAS=30°,AB=6,∠ABS=180°﹣75°=105°
∠ASB=45°
由正弦定理可得BS==3,
故答案为:3.
16.已知两个等差数列{an},{bn}的前n项和分别记为Sn,Tn, =,则= , = .
【考点】等差数列的性质.
【分析】利用等差数列的性质,S2n﹣1=(2n﹣1)an,化简所求的表达式,代入已知的等式,求解即可.
【解答】解:两个等差数列{an},{bn}的前n项和分别记为Sn,Tn, =,
====.
====.
故答案为:.
三、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.在△ABC中,角A、B、C的对边分别为a,b,c,且满足(2a﹣c)cosB=bcosC
(1)求角B的大小;
(2)若b=,a+c=4,求△ABC的面积S.
【考点】正弦定理;余弦定理.
【分析】(1)在△ABC中,由(2a﹣c)cosB=bcosC以及正弦定理可得2sinAcosB=sin(B+C)=sinA,求得cosB的值,
可得 B的值.
(2)由条件利用余弦定理可得 cosB==,可得ac=3,从而求得△ABC的面积S=ac•sinB 的值.
【解答】解:(1)在△ABC中,由(2a﹣c)cosB=bcosC以及正弦定理可得
2sinAcosB﹣sinCcosB=sinBcosC,即 2sinAcosB=sin(B+C)=sinA,
求得cosB=,可得 B=.
(2)若,由余弦定理可得 cosB====,
故有ac=3,
故△ABC的面积S=ac•sinB=×3×sin=.
18.已知数列{an}的前n项和为Sn,且满足an+2Sn•Sn﹣1=0(n≥2),a1=.
(1)求证:{}是等差数列;
(2)求an的表达式.
【考点】等差关系的确定;数列递推式.
【分析】(1)本题关键是将an=Sn﹣Sn﹣1代入化简,再根据等差数列的定义进行判定即可.
(2)先求出Sn,利用Sn求an,必须分类讨论an=,求解可得.
【解答】(1)证明:∵﹣an=2SnSn﹣1,
∴﹣Sn+Sn﹣1=2SnSn﹣1(n≥2),Sn≠0(n=1,2,3).
∴﹣=2.
又==2,∴{}是以2为首项,2为公差的等差数列.
(2)解:由(1),=2+(n﹣1)•2=2n,∴Sn=.
当n≥2时,an=Sn﹣Sn﹣1=﹣=﹣〔或n≥2时,an=﹣2SnSn﹣1=﹣〕;
当n=1时,S1=a1=.
∴an=
19.已知命题p:∀x∈[1,2],x2﹣a≥0,命题q:∃x0∈R,使得x02+(a﹣1)x0﹣1<0,若p∨q为真,p∧q为假,求实数a的取值范围.
【考点】命题的真假判断与应用.
【分析】先分别求出命题p,q为真命题时,a的取值范围,然后根据复合函数的真假得到p,q中必有一个为真,另一个为假,分两类求出a的取值范围.
【解答】解:若命题p为真,则∀x∈[1,2],a≤x2,
∵x∈[1,2]时,x2≥1,∴a≤1;
若命题q为真,则△=(a﹣1)2﹣4>0,得a<﹣1,或a>3;
∵p∨q为真,p∧q为假
∴p,q中必有一个为真,另一个为假,
若p真q假,则,得﹣1≤a≤1;
若p假q真,则,得a>3.
故a的取值范围为﹣1≤a≤1,或a>3.
20.设0≤α≤π,不等式8x2﹣(8sinα)x+cos2α≥0对任意x∈R恒成立,求α的取值范围.
【考点】函数恒成立问题.
【分析】将不等式看成二次函数恒成立问题,利用二次函数≥0对一切x∈R恒成立,可得△≤0,转化成三角函数问题,即可求解实数α的取值范围.
【解答】解:由题意:不等式8x2﹣(8sinα)x+cos2α≥0对任意x∈R恒成立,
由二次函数的性质可得:△≤0,
即:(8sinα)2﹣4×8×cos2α≤0
整理得:4sin2α≤1,
∴
∵0≤α≤π,
∴或.
所以α的取值范围是[0,]∪[,π].
21.在△ABC中,设=﹣1, =,求角A,B,C.
【考点】正弦定理.
【分析】利用同角三角函数基本关系式化简已知等式,整理可得cosB=,结合B的范围可求B的值,利用正弦定理,三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得cos=cos(﹣C),利用余弦函数的性质即可得解3C﹣A=π,进而可求C,A的值.
【解答】(本题满分为14分)
解:∵由,得:,…
∴整理解得:.…
∵,
∴或.…
∴A+C=π,或3C﹣A=π,
∴当A+C=π时,由于A+C=,矛盾,
∴可得:3C﹣A=π,结合A+C=,可得:C=,A=…
22.已知等差数列{an}中,a1=1,an+1=2an+2n+1(2n+1),求数列{an}的通项公式.
【考点】数列递推式.
【分析】an+1=2an+2n+1(2n+1),两边同除2n+1可得:﹣=2n+1,利用“累加求和”方法、等差数列的求和公式即可得出.
【解答】解:∵an+1=2an+2n+1(2n+1),
两边同除2n+1可得:﹣=2n+1,
∴=++…++
=(2n﹣1)+(2n﹣3)+…+3+
=+
=n2﹣.
∴an=n2•2n﹣2n﹣1.
2016年11月25日