高中数学选修1-2：1_1同步练习 7页

高中数学人教A版选修1-2 同步练习 ‎1.下列各项中的两个变量具有相关关系的是(　　)‎ A．长方体的体积与高 B．人的寿命与营养 C．正方形的边长与面积 D．匀速行驶的车辆的行驶距离与时间 解析：选B.相关关系是一种不确定关系，A、C、D是确定关系，是函数关系，故选B.‎ ‎2.(2011·高考山东卷)某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表：‎ 广告费用x(万元)‎ ‎4‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎5‎ 销售额y(万元)‎ ‎49‎ ‎26‎ ‎39‎ ‎54‎ 根据上表可得回归方程＝x＋中的为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时，销售额为(　　)‎ A．63.6万元　　　　　　　　　　 B．65.5万元 C．67.7万元 D．72.0万元 解析：选B.由表可计算x＝＝，y＝＝42，因为点(，42)在回归直线＝＋x上，且为9.4，所以42＝9.4×＋，解得＝9.1，‎ 故回归方程为＝9.4x＋9.1，令x＝6得＝65.5.‎ ‎3.为了考察两个变量y与x的线性相关性，测得x，y的13对数据，若y与x具有线性相关关系，则相关指数R2的取值范围是________．‎ 解析：相关指数R.R2的取值范围是［0，1］. 当R2=0时，即残差平方和等于总偏差平方和，解释变量效应为0，x与y没有任何关系；当R2=1时，即残差平方和为0,x与y之间是确定的函数关系.其他情形，即当x与y是不确定的相关关系时，R2∈(0,1).‎ 答案：（0，1）‎ ‎4.如图是x和y的一组样本数据的散点图,去掉一组数据________________后,剩下的4组数据的相关指数最大. 解析：经计算,去掉D（3，10）这一组数据后，其他4‎ 组数据对应的点都集中在某一条直线附近，即两变量 的线性相关性最强，此时相关指数最大. 答案：D(3,10)‎ ‎1.在回归分析中，代表了数据点和它在回归直线上相应位置的差异的是 A.残差 B.残差平方和 C.随机误差 D.相关指数R2 解析：选B.残差平方和的大小表明了数据点和它在回归直线上相应位置的差异.‎ ‎3.对两个变量y和x进行回归分析，得到一组样本数据：（x1,y1）,( x2,y2),…,( xn,yn),则下列说法中不正确的是 A.若残差恒为0，则R2为1 B.残差平方和越小的模型，拟合的效果越好 C.用相关指数R2来刻画回归效果，R2的值越小，说明模型的拟合效果越好 D.若变量y和x之间的相关系数r=-0.9362,则变量y和x之间具有线性相关关系 解析：选C. R2的值越大,说明残差平方和越小,也就是说模型的拟合效果越好,故选C. ‎ ‎6.（2012·莱州一中高二期中考试）一机器可以按各种不同速度运转，其生产物件有一些会有缺点.每小时生产有缺点物件的多少，随机器运转速度而变化，下列即为其试验结果.‎ ‎(1)求出机器运转速度影响每小时生产有缺点物件数的回归直线方程； ‎（2）若实际生产中所允许的每小时最大缺点物件数为10，那么机器的运转速度不得超过多少转/秒？‎ ‎7.（2012·莱阳一中期中考试）〖HT〗如下所示的是一组观测值的四个回归模型对应的残差图，由残差图分析拟合效果最好的回归模型为 解析：选A.如题中A所示的残差图中的点分布在以原点为中心的水平带状区域上，并且沿水平方向散点的分布规律相同，说明残差是随机的，所选择的回归模型是合理的. 如题中B所示的残差图中的点分布在一条倾斜的带状区域上,并且沿带状区域方向散点的分布规律相同,说明残差与横坐标有线性关系,此时所选用的回归模型的效果不是最好的,有改进的余地. 如题中C所示的残差图中的点分布在一条抛物线形状的弯曲带状区域上,说明残差与坐标轴变量有二次关系,此时所选用的回归模型的效果不是最好的,有改进的余地. 如题中D所示的残差图中的点分布范围随着横坐标的增加而扩大,说明残差与横坐标变量有关,所选用的回归模型的效果不是最好的，有改进的余地. 综上分析可知,应选A ‎8.如果散点图中所有的样本点均在同一条直线上,那么残差平方和与相关系数分别为 A.1,0‎ B.0,1 C.0.5,0.5‎ D.0.43,0.57 解析：选B.如果所有的样本点均在同一条直线上,建立的回归模型一定是这条直线,所以每个样本点的残差均为0,所以残差平方和也为0,即此时的模型为y=bx+a,没有随机误差项,所以是严格的一次函数关系,通过计算可以证明解释变量与预报变量之间的相关系数是1.‎ ‎9.为了考察两个变量x和y之间的线性相关性,甲、乙两位同学各自独立地做了10次和15次试验，并且利用线性回归方程，求得回归直线分别为l1和l2.已知两个人在试验中发现变量x的观测数据的平均值都是s，变量y的观测数据的平均值都为t，那么下列说法正确的是 ‎①l1与l2的相交点为（s,t）；‎ ‎②l1与l2相交，相交点不一定是(s,t);‎ ‎③l1与l2必关于点（s,t）对称；‎ ‎④l1与l2必定重合. ‎10.某运动员训练次数与成绩之间的数据关系如下:‎ ‎(1)作出散点图； ‎（2）求出线性回归方程； ‎（3）作出残差图； ‎（4）计算R2，并作出解释； ‎（5）试预测该运动员训练47次及55次时的成绩. 解： (1)作出该运动员训练次数(x)与成绩(y)之间的散点图,如图所示 ‎(3)残差分析 将这8名运动员依次编号为1，2，3，…，8，因残差1≈－1.24，2≈－0.37，3≈0.55，4≈0.47，5≈1.39，6≈0.18，7≈0.09，8≈－1.07，于是可作残差图如图所示：‎ 由图可知，残差点比较均匀地分布在水平带状区域中，说明选用的模型比较合适．‎ ‎(4)计算相关指数R2‎ 计算相关指数R2＝0.9855.说明了该运动员的成绩的差异有98.55%是由训练次数引起的．‎ ‎(5)作出预报 由上述分析可知，我们可用回归方程＝1.0415x－0.003875作为该运动员成绩的预报值．‎ 将x＝47和x＝55分别代入该方程可得y≈49和y≈57.‎ 故预测运动员训练47次和55次的成绩分别为49和57.‎ (创新题)已知x，y之间的5组数据如下表所示：‎ x ‎1‎ ‎3‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ y ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ 对于表中数据，甲、乙两位同学给出的拟合直线分别为＝x＋1与＝x＋，试利用“最小二乘法”判断哪条直线拟合效果更好？‎ 解：用＝x＋1作为拟合直线时，所得y值与y实际值的差的平方和，即残差平方和为(yi－i)2＝＋(2－2)2＋(3－3)2＋＋＝.‎ 用＝x＋作为拟合直线时，所得y值与y实际值的差的平方和，即残差平方和为(yi－i ‎)2＝(1－1)2＋(2－2)2＋＋(4－4)2＋＝.‎ ‎∵<，而残差平方和小的拟合效果好，‎ ‎∴直线y＝x＋拟合效果更好．‎