四川省自贡市2018-2019学年高一下学期期末考试数学（理）试题 19页

www.ks5u.com ‎2018-2019学年高一年级下学期期末考试 数学试卷（理工类）‎ 本试卷分第I卷（选择题）和第1I卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间为120分钟.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试条形码.答卷时，须将答案答在答题卡上，在本试题卷、草稿纸上答题无效考试结束后，本试题卷由学生自己保留，只将答题卡交回.‎ 第I卷（选择题，共60分）‎ 注意事项:‎ ‎1.选择题必须使用2B铅笔将答案标号填涂在答题卡上对应题目标号的位置上，如需必动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.‎ ‎2.本部分共12个题，每小题5分，共60分.‎ 一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 ‎1.过点的直线的斜率为，则等于（）‎ A. B. 10 C. 2 D. 4‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直接应用斜率公式，解方程即可求出的值.‎ ‎【详解】因为过点的直线的斜率为，所以有，故本题选B.‎ ‎【点睛】本题考查了直线斜率公式，考查了数学运算能力.‎ ‎2.已知向量，，若，则实数a的值为　　‎ A. B. 2或 C. 或1 D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意，由向量平行的坐标表示公式可得，解可得a的值，即可得答案．‎ ‎【详解】根据题意，向量，，‎ 若，则有，‎ 解可得或1；‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】本题考查向量平行的坐标表示方法，熟记平行的坐标表示公式得到关于a的方程是关键，是基础题 ‎3.已知等差数列公差为2，若成等比数列，则（）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 分析】‎ 通过成等比数列，可以列出一个等式，根据等差数列的性质，可以把该等式变成关于的方程，解这个方程即可.‎ ‎【详解】因为成等比数列，所以有，又因为是公差为2的等差数列，所以有，故本题选B.‎ ‎【点睛】本题考查了等比中项的性质，考查了等差数列的性质，考查了数学运算能力.‎ ‎4.若三点共线，则（）‎ A. 13 B. C. 9 D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据三点共线，有成立，解方程即可.‎ ‎【详解】因为三点共线，所以有成立，‎ 因此，故本题选D.‎ ‎【点睛】本题考查了斜率公式的应用，考查了三点共线的性质，考查了数学运算能力.‎ ‎5.设平面向量，，若，则等于（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 分析：由向量垂直的条件，求解，再由向量的模的公式和向量的数量积的运算，即可求解结果.‎ 详解：由题意，平面向量，且，‎ 所以，所以，即，‎ 又由，所以，故选D.‎ 点睛：本题主要考查了向量的数量积的运算和向量模的求解，其中解答中熟记平面向量的数量积的运算公式和向量模的计算公式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.‎ ‎6.已知为等比数列，是它的前项和．若，且与的等差中项为，则（）‎ A. 31 B. 32 C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据与的等差中项为，可得到一个等式，和，组成一个方程组，结合等比数列的性质，这个方程组转化为关于和公比的方程组，解这个方程组，求出和公比的值，再利用等比数列前项和公式，求出的值.‎ ‎【详解】因为与的等差中项为，所以，‎ 因此有，故本题选A.‎ ‎【点睛】本题考查了等差中项的性质，等比数列的通项公式以及前项和公式，‎ ‎7.过点且与点距离最大的直线方程是（）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 过点且与点距离最大的直线满足: ，根据两直线互相垂直，斜率的关系可以求出直线的斜率，写出点斜式方程，最后化成一般方程，选出正确的选项.‎ ‎【详解】因为过点且与点距离最大的直线满足: ，所以有，‎ 而，所以直线方程为，故本题选C.‎ ‎【点睛】本题考查了直线与直线垂直时斜率的性质，考查了数学运算能力.‎ ‎8.在△ABC中，若2cosB•sinA=sinC，则△ABC的形状一定是（　　）‎ A. 等腰直角三角形 B. 直角三角形 C. 等腰三角形 D. 等边三角形 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎∵2sinAcosB＝sin（A＋B）＋sin（A－B），且2sinAcosB＝sinC，‎ ‎∴sin（A－B）＝0．∴A＝B．‎ ‎9.已知a，b，c∈R，那么下列命题中正确的是 (　　)‎ A. 若a>b，则ac2>bc2‎ B. 若，则a>b C. 若a3>b3且ab<0，则 D. 若a2>b2且ab>0，则 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据不等式的性质，对A、B、C、D四个选项通过举反例进行一一验证．‎ ‎【详解】A．若a＞b，则ac2＞bc2（错），若c=0，则A不成立；‎ B．若，则a＞b（错），若c＜0，则B不成立；‎ C．若a3＞b3且ab＜0，则（对），若a3＞b3且ab＜0，则 ‎ D．若a2＞b2且ab＞0，则（错），若，则D不成立．‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】此题主要考查不等关系与不等式的性质及其应用，例如举反例法求解比较简单．两个式子比较大小的常用方法有：做差和0比，作商和1比，或者直接利用不等式的性质得到大小关系，有时可以代入一些特殊的数据得到具体值，进而得到大小关系.‎ ‎10.已知点A(2，-3)，B(-3，-2)直线l过点P(1,1)，且与线段AB相交，则直线l的斜率的取值k范围是（　 ）‎ A. 或 B. 或 C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 试题分析：画出图象如下图所示，由图可知，斜率取值范围是或，根据已知两点的斜率公式，有，所以取值范围是或.‎ 考点：两条直线位置关系．‎ ‎11.如图，位于处的海面观测站获悉，在其正东方向相距40海里的处有一艘渔船遇险，并在原地等待营救．在处南偏西且相距20海里的处有一救援船，其速度为海里小时，则该船到求助处的时间为（）分钟．‎ A. 24 B. 36 C. 48 D. 60‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用余弦定理求出的长度，然后根据速度、时间、路程之间的关系求出时间即可.‎ ‎【详解】由题意可知：，运用余弦定理可知：‎ 该船到求助处的时间，故本题选A.‎ ‎【点睛】本题考查了余弦定理的应用，考查了数学运算能力.‎ ‎12.某公司计划在甲、乙两个电视台做总时间不超过300分钟的广告，广告费用不超过9万元，甲、乙电视台的广告费标准分别是500元/分钟和200元分钟，假设甲、乙两个电视台为该公司做的广告能给公司带来的收益分别为0.4万元/分钟和0.2万元分钟，那么该公司合理分配在甲、乙两个电视台的广告时间，能使公司获得最大的收益是（）万元 A. 72 B. 80 C. 84 D. 90‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设公司在甲、乙两个电视台的广告时间分别为分钟，总收益为元，根据题意得到约束条件，目标函数，平行目标函数图象找到在纵轴上截距最大时所经过的点,把点的坐标代入目标函数中即可.‎ ‎【详解】设公司在甲、乙两个电视台的广告时间分别为分钟，总收益为元，则由题意可得可行解域：，目标函数为 可行解域化简得，，在平面直角坐标系内，画出可行解域，如下图所示：‎ 作直线，即，平行移动直线，当直线过点时，目标函数取得最大值，联立，解得，所以点坐标为 ‎，因此目标函数最大值为，故本题选B.‎ ‎【点睛】本题考查了应用线性规划知识解决实际问题的能力，正确列出约束条件，画出可行解域是解题的关键.‎ 第Ⅱ卷（非选择题，共90分）‎ 注意事项:‎ ‎1.必须使用0.5毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上题目所指示的答题区域内作答。作图题可先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色墨迹签宇笔描清楚，答在试题卷上无效.‎ ‎2.本部分共10个题，共90分。‎ 二、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分）‎ ‎13.已知直线l过点P(－2，5)，且斜率为－，则直线l的方程为________．‎ ‎【答案】3x＋4y－14＝0‎ ‎【解析】‎ 由y－5＝－(x＋2)，得3x＋4y－14＝0.‎ ‎14.在中，，则_____________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先由正弦定理得到，再由余弦定理求得的值。‎ ‎【详解】由，结合正弦定理可得，‎ 故设，，()，由余弦定理可得，‎ 故.‎ ‎【点睛】本题考查了正弦定理和余弦定理运用，属于基础题。‎ ‎15.已知函数．利用课本中推导等差数列的前项和的公式的方法，可求得的值为_____．‎ ‎【答案】13．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意可知：可以计算出的值，‎ 最后求出的值.‎ ‎【详解】设,，‎ 所以有，因为,因此 ‎【点睛】本题考查了数学阅读能力、知识迁移能力，考查了倒序相加法.‎ ‎16.在中，给出如下命题:‎ ‎①是所在平面内一定点，且满足，则是的垂心；‎ ‎②是所在平面内一定点，动点满足，，则动点一定过的重心；‎ ‎③是内一定点，且，则；‎ ‎④若且，则为等边三角形，‎ 其中正确的命题为_____（将所有正确命题的序号都填上）‎ ‎【答案】①②④．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎①:运用已知的式子进行合理的变形，可以得到，进而得到，再次运用等式同样可以得到,，这样可以证明出是的垂心；‎ ‎②：运用平面向量的减法的运算法则、加法的几何意义，结合平面向量共线定理，可以证明本命题是真命题；‎ ‎③：运用平面向量的加法的几何意义以及平面向量共线定理，结合面积公式，可证明出本结论是错误的；‎ ‎④：运用平面向量的加法几何意义和平面向量的数量积的定义，可以证明出本结论是正确的.‎ ‎【详解】①: ，同理可得：,，所以本命题是真命题；‎ ‎②: ，设的中点为，所以有，因此动点一定过的重心，故本命题是真命题；‎ ‎③: 由，可得设的中点为，,‎ ‎,故本命题是假命题；‎ ‎④: 由可知角的平分线垂直于底边，故是等腰三角形，‎ 由可知：，所以是等边三角形，故本命题是真命题，因此正确的命题为①②④.‎ ‎【点睛】本题考查了平面向量的加法的几何意义和平面向量数量积的运算，考查了数形结合思想.‎ 三、解答题:本大题共6小题，共70分．‎ ‎17.求经过直线L1：3x + 4y – 5 = 0与直线L2：2x – 3y + 8 = 0的交点M，且满足下列条件的直线方程 ‎（1）与直线2x + y + 5 = 0平行 ；‎ ‎（2）与直线2x + y + 5 = 0垂直；‎ ‎【答案】（1）；（2）。‎ ‎【解析】‎ 试题分析：先通过两直线方程联立解方程组求出交点坐标.（1）根据两直线平行，斜率相等，设出所求直线方程，将交点坐标代入即可求出平行直线的方程.‎ ‎（2）根据两直线垂直，斜率之积等于-1,设出所求直线的斜截式方程，然后将交点坐标代入所求直线的方程，即可得解.‎ 解得--------2分 所以交点（-1，2）‎ ‎（1）-----4分 直线方程--------6分 ‎（2）---------8分 直线方程为--------10分.‎ 考点：两直线平行与垂直的判定..‎ 点评：两直线平行：斜率都不存在或斜率相等.两直线垂直：斜率之积等于-1或一条直线的斜率不存在，另一条斜率等于0.‎ ‎18.已知关于的不等式．‎ ‎（1）若不等式的解集为，求实数的值；‎ ‎（2）若不等式的解集为，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）不等式的解集为说明和1是的两个实数根，运用韦达定理，可以求出实数的值；‎ ‎（2）不等式的解集为，只需，或即可，解不等式组求出实数的取值范围．‎ ‎【详解】（1）若关于的不等式的解集为，‎ 则和1是的两个实数根，由韦达定理可得，‎ 求得．‎ ‎（2）若关于的不等式解集为，则，或，‎ 求得或，‎ 故实数的取值范围为．‎ ‎【点睛】本题考查了已知一元二次不等式的解集求参问题，考查了数学运算能力 ‎19.已知向量，，且．‎ ‎（1）求向量的夹角；‎ ‎（2）求的值．‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）求出向量的模，对等式两边平方，最后可求出向量的夹角；‎ ‎（2）直接运用向量运算的公式进行运算即可.‎ ‎【详解】（1）向量，，，‎ ‎∴，‎ 又， ‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ 又∵，‎ ‎∴向量的夹角；‎ ‎（2）由（1），，，‎ ‎∴.‎ ‎【点睛】本题考查了平面向量的数量积定义，考查了平面向量的运算，考查了平面向量模公式，考查了数学运算能力.‎ ‎20.的内角所对的边分别为，且．‎ ‎（1）求角；‎ ‎（2）若，且的面积为，求的值．‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）对等式，运用正弦定理实现边角转化，再利用同角三角函数关系中的商关系，可求出角的正切值，最后根据角的取值范围，求出角；‎ ‎（2）由三角形面积公式，可以求出的值，最后利用余弦定理，求出的值．‎ ‎【详解】（1）∵，∴，‎ ‎∵，∴，‎ ‎∴，∴在中；‎ ‎（2）∵的面积为，‎ ‎∴，∴，‎ 由余弦定理，有 ‎，‎ ‎∴．‎ ‎【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理、三角形面积公式，考查了数学运算能力.‎ ‎21.设矩形的周长为，把沿向折叠，折过去后交于，设，的面积为．‎ ‎（1）求的解析式及定义域；‎ ‎（2）求的最大值．‎ ‎【答案】（1）（2）的最大值为.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用周长，可以求出的长，利用平面几何的知识可得，再利用勾股定理，可以求出的值，由矩形的周长为，可求出的取值范围，最后利用三角形面积公式求出的解析式；‎ ‎（2）化简（1）的解析式，利用基本不等式，可以求出的最大值．‎ ‎【详解】（1）如下图所示：‎ ‎∵设，则，‎ 又，‎ 即，‎ ‎∴，得 ‎，‎ ‎∵，‎ ‎∴，‎ ‎∴的面积．‎ ‎（2）由（1）可得，‎ ‎，‎ 当且仅当，即时取等号，‎ ‎∴的最大值为，此时．‎ ‎【点睛】本题考查了求函数解析式，考查了基本不等式，考查了数学运算能力.‎ ‎22.已知数列中，，．‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）求数列的前项和；‎ ‎（3）若对任意的，都有成立，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】（1）（2）（3）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用递推公式求出，，递推到当 时，，两个式子相减，得到 ‎，进而求出数列的通项公式；‎ ‎（2）运用错位相减法可以求出数列的前项和；‎ ‎（3）对任意的，都有成立，转化为的最小值即可，‎ 利用商比的方法可以确定数列的单调性，最后求出实数的取值范围．‎ ‎【详解】（1）数列{an}中，，．‎ 可得时，，即，‎ 时，，‎ 又，‎ 两式相减可得，‎ 化为，‎ 可得，即，‎ 综上可得；‎ ‎（2），‎ 则前项和，‎ ‎，‎ 相减可得，‎ 化为；‎ ‎（3）对任意的，都有成立，‎ 即为的最小值，‎ 由可得，‎ ‎，‎ 可得时，递增，‎ 当或2时，取得最小值，‎ 则．‎ ‎【点睛】本题考查了已知递推公式求数列通项公式，考查了数列的单调性，考查了错位相减法，考查了数学运算能力.‎ ‎ ‎ ‎ ‎