2021高考数学一轮复习课后限时集训47直线的倾斜角与斜率直线方程文北师大版2 6页

课后限时集训47‎ 直线的倾斜角与斜率、直线方程 建议用时：45分钟 一、选择题 ‎1．(2019·衡水质检)直线2x·sin 210°－y－2＝0的倾斜角是(　　)‎ A．45°　　　B．135°　　　C．30°　　　D．150°‎ B　[由题意得，直线的斜率k＝2sin 210°＝－2sin 30°＝－1，即tan θ＝－1(θ为倾斜角)，∴θ＝135°，故选B.]‎ ‎2．倾斜角为120°，在x轴上的截距为－1的直线方程是(　　)‎ A.x－y＋1＝0 B.x－y－＝0‎ C.x＋y－＝0 D.x＋y＋＝0‎ D　[由于倾斜角为120°，故斜率k＝－.又直线过点(－1，0)，所以直线方程为y＝－(x＋1)，即x＋y＋＝0.]‎ ‎3．过点(2,1)且倾斜角比直线y＝－x－1的倾斜角小的直线方程是(　　)‎ A．x＝2 B．y＝1‎ C．x＝1 D．y＝2‎ A　[直线y＝－x－1的斜率为－1，故其倾斜角为，故所求直线的倾斜角为，直线方程为x＝2.]‎ ‎4．直线l经过点A(1,2)，在x轴上的截距的取值范围是(－3，3)，则其斜率k的取值范围是(　　)‎ A．－1＜k＜ B．－1＜k＜ C．k＞或k＜－1 D．k＜－1或k＞ D　[设直线的斜率为k，则直线方程为y－2＝k(x－1)，直线在x轴上的截距为1－.令－3＜1－＜3，解不等式得k＜－1或k＞.]‎ ‎5．在同一平面直角坐标系中，直线l1：ax＋y＋b＝0和直线l2：bx＋y＋a＝0有可能是(　　)‎ - 6 -‎ A　　　　　B　　　　　　C　　　　　D B　[直线l1的方程为y＝－ax－b，直线l2的方程为y＝－bx－a，即直线l1的斜率和纵截距与直线l2的纵截距和斜率相等．逐一验证知选B.]‎ 二、填空题 ‎6．已知三角形的三个顶点A(－5,0)，B(3，－3)，C(0,2)，则BC边上中线所在的直线方程为________．‎ x＋13y＋5＝0　[BC的中点坐标为，∴BC边上中线所在直线方程为＝，即x＋13y＋5＝0.]‎ ‎7．在y轴上的截距为－6，且与y轴相交成30°角的直线方程是________．‎ y＝x－6或y＝－x－6　[与y轴相交成30°角的直线方程的斜率为 k＝tan 60°＝或k＝tan 120°＝－ 故所求直线方程为y＝x－6或y＝－x－6.]‎ ‎8．设直线l：(a－2)x＋(a＋1)y＋6＝0，则直线l恒过定点________．‎ ‎(2，－2)　[直线l的方程变形为a(x＋y)－2x＋y＋6＝0，‎ 由解得 所以直线l恒过定点(2，－2)．]‎ 三、解答题 ‎9．设直线l的方程为x＋my－2m＋6＝0，根据下列条件分别确定m的值：‎ ‎(1)直线l的斜率为1；‎ ‎(2)直线l在x轴上的截距为－3.‎ ‎[解](1)因为直线l的斜率存在，所以m≠0，‎ 于是直线l的方程可化为y＝－x＋.‎ 由题意得－＝1，解得m＝－1.‎ ‎(2)法一：令y＝0，得x＝2m－6.‎ 由题意得2m－6＝－3，解得m＝.‎ 法二：直线l的方程可化为x＝－my＋2m－6.由题意得2m－6＝－3，解得m＝.‎ ‎10．已知直线l与两坐标轴围成的三角形的面积为3，分别求满足下列条件的直线l的方程：‎ ‎(1)过定点A(－3,4)；‎ - 6 -‎ ‎(2)斜率为.‎ ‎[解](1)设直线l的方程为y＝k(x＋3)＋4，它在x轴，y轴上的截距分别是－－3,3k＋4，‎ 由已知，得＝6，‎ 解得k1＝－或k2＝－.‎ 故直线l的方程为2x＋3y－6＝0或8x＋3y＋12＝0.‎ ‎(2)设直线l在y轴上的截距为b，‎ 则直线l的方程是y＝x＋b，‎ 它在x轴上的截距是－6b，‎ 由已知，得|(－6b)·b|＝6，∴b＝±1.‎ ‎∴直线l的方程为x－6y＋6＝0或x－6y－6＝0.‎ ‎1．直线2xcos α－y－3＝0的倾斜角的取值范围是(　　)‎ A.　　　　　　 B. C. D. B　[由题意知，直线的斜率k＝2cos α，又≤α≤，所以≤cos α≤，即1≤k≤，设直线的倾斜角为θ，则1≤tan θ≤，故θ∈.]‎ ‎2．(2019·福州模拟)若直线ax＋by＝ab(a>0，b>0)过点(1,1)，则该直线在x轴、y轴上的截距之和的最小值为(　　)‎ A．1 B．2 ‎ C．4　　　　 D．8‎ C　[∵直线ax＋by＝ab(a>0，b>0)过点(1,1)，‎ ‎∴a＋b＝ab，即＋＝1，‎ ‎∴a＋b＝(a＋b) ‎＝2＋＋≥2＋2＝4，‎ - 6 -‎ 当且仅当a＝b＝2时上式等号成立．‎ ‎∴直线在x轴、y轴上的截距之和的最小值为4.]‎ ‎3．已知A(2,3)，B(－1,2)，若点P(x，y)在线段AB上，则的最大值是________．‎ ‎－　[的几何意义是点P(x，y)与点Q(3,0)连线的斜率，又点P(x，y)在线段AB上，由图知，当点P与点B重合时，有最大值，又kBQ＝＝－，因此的最大值为－.‎ ‎]‎ ‎4．已知直线l：kx－y＋1＋2k＝0(k∈R)．‎ ‎(1)证明：直线l过定点；‎ ‎(2)若直线l不经过第四象限，求k的取值范围；‎ ‎(3)若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，O为坐标原点，设△AOB的面积为S，求S的最小值及此时直线l的方程．‎ ‎[解](1)证明：直线l的方程可化为y＝k(x＋2)＋1，‎ 故无论k取何值，直线l总过定点(－2,1)．‎ ‎(2)直线l的方程可化为y＝kx＋2k＋1，‎ 则直线l在y轴上的截距为2k＋1，‎ 要使直线l不经过第四象限，‎ 则故k的取值范围是k≥0.‎ ‎(3)依题意，直线l在x轴上的截距为－，‎ 在y轴上的截距为1＋2k，且k＞0，‎ 所以A，B(0,1＋2k)，‎ 故S＝|OA||OB|‎ ‎＝××(1＋2k)‎ - 6 -‎ ‎＝≥×(4＋4)＝4，‎ 当且仅当4k＝，即k＝时取等号，‎ 故S的最小值为4，此时直线l的方程为x－2y＋4＝0.‎ ‎1．在等腰三角形MON中，MO＝MN，点O(0,0)，M(－1,3)，点N在x轴的负半轴上，则直线MN的方程为(　　)‎ A．3x－y－6＝0 B．3x＋y＋6＝0‎ C．3x－y＋6＝0 D．3x＋y－6＝0‎ C　[法一：在等腰三角形MON中，因为MO＝MN，所以直线MN的斜率与直线MO的斜率互为相反数，所以kMN＝－kMO＝3，所以直线MN的方程为y－3＝3(x＋1)，即3x－y＋6＝0，选C.‎ 法二：由题意知，点O，N关于直线x＝－1对称，则N(－2,0)，从而直线MN的方程为＝，即3x－y＋6＝0，故选C.]‎ ‎2．如图所示，射线OA，OB分别与x轴正半轴成45°和30°角，过点P(1,0)做直线AB分别交OA，OB于A，B两点，当AB的中点C恰好落在直线y＝x上时，求直线AB的方程．‎ ‎[解]　由题意可得kOA＝tan 45°＝1，‎ kOB＝tan (180°－30°)＝－，‎ 所以直线lOA：y＝x，lOB：y＝－x.‎ 设A(m，m)，B(－n，n)，‎ 所以AB的中点C，‎ 由点C在直线y＝x上，且A，P，B三点共线得 解得m＝，所以A(，)．‎ 又P(1,0)，所以kAB＝kAP＝＝，‎ - 6 -‎ 所以lAB：y＝(x－1)，‎ 即直线AB的方程为(3＋)x－2y－3－＝0.‎ - 6 -‎