河南省三门峡市外国语高级中学2020届高三模拟（四）考试数学（理）试卷 15页

数学试卷 一．选择题（共12小题）‎ ‎1．复数（i为虚数单位）等于（　　）‎ A．﹣1﹣3i B．﹣1+3i C．1﹣3i D．1+3i ‎【解答】解：＝＝﹣1﹣3i 故选：A．‎ ‎2．设U＝R，A＝{x|x＞0}，B＝{x|x＞1}，则A∩∁UB＝（　　）‎ A．{x|0≤x＜1} B．{x|0＜x≤1} C．{x|x＜0} D．{x|x＞1}‎ ‎【解答】解：对于∁UB＝{x|x≤1}，‎ 因此A∩∁UB＝{x|0＜x≤1}，‎ 故选：B．‎ ‎3．如图是‎2020年2月15日至‎3月2日武汉市新冠肺炎新增确诊病例的折线统计图．则下列说法不正确的是（　　）‎ A．‎2020年2月19日武汉市新增新冠肺炎确诊病例大幅下降至三位数 ‎ B．武汉市新冠肺炎疫情防控取得了阶段性的成果，但防控要求不能降低 ‎ C．‎2020年2月19日至‎3月2日武汉市新增新冠肺炎确诊病例低于400人的有8天 ‎ D．‎2020年2月15日到‎3月2日武汉市新冠肺炎新增确诊病例最多的一天比最少的一天多1549人 ‎【解答】解：对于A，由图可知18日病例1660人，19日615人，大幅下降至三位数，故A正确；‎ 对于B，很明显，病例人数呈大幅下降趋势，故防控取得了阶段性的成果，但防控要求不能降低，故B正确；‎ 对于C ‎，由图得到，病例低于400人的有2月20日、21日、23日、25日、26日、27日、3月1日、2日，共8天，故C正确；‎ 对于D，由图病例最多一天人数1690人比最少一天人数111人多了1579人，故D错误．‎ 故选：D．‎ ‎4．若0＜a＜1，则（　　）‎ A． B．‎4a﹣1＞logaa ‎ C．a1.1＞a D．‎ ‎【解答】解：∵0＜a＜1，‎ ‎∴＞0，4a﹣1＜1＝logaa，a1.1＜a，＞2＞log23，‎ 故选：D．‎ ‎5．已知实数x，y满足约束条件，则z＝（x﹣1）2+y2的最小值为（　　）‎ A． B． C．1 D．‎ ‎【解答】解：由题知可行域如图所示，‎ z＝（x﹣1）2+y2的几何意义表示可行域中点（x，y）与定点P（1，0）的距离的平方，‎ 由图可得，最小值为．‎ 故选：A．‎ ‎6．设，，且，则（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【解答】解：由tanβ＝，‎ 得：＝，‎ 即sinβcosα＝cosβsinα+cosβ，‎ sin（β﹣α）＝cosβ＝sin（﹣β）；‎ 又α∈（0，），β∈（0，），‎ ‎∴β﹣α∈（﹣，），﹣β∈（0，），‎ ‎∴β﹣α＝﹣β，‎ ‎∴α﹣2β＝﹣．‎ 故选：B．‎ ‎7．“α＝+2kπ（k∈Z）”是“cos2α＝”的（　　）‎ A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 ‎ C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【解答】解：当a＝+2kπ（k∈Z）时，‎ cos‎2a＝cos（4kπ+）＝cos＝‎ 反之，当cos2a＝时，‎ 有2a＝2kπ+⇒a＝kπ+（k∈Z），‎ 或2a＝2kπ﹣⇒a＝kπ﹣（k∈Z），‎ 故选：A．‎ ‎8．若直线l的方向向量为，平面α的法向量为，则可能使l∥α的是（　　）‎ A．＝（1，0，0），＝（﹣2，0，0） ‎ B．＝（1，3，5），＝（1，0，1） ‎ C．＝（0，2，1），＝（﹣1，0，﹣1） ‎ D．＝（1，﹣1，3），＝（0，3，1）‎ ‎【解答】解：若l∥α，则•＝0，‎ 而A中•＝﹣2，不满足条件；‎ B中•＝1+5＝6，不满足条件；‎ C中•＝﹣1，不满足条件；‎ D中•＝﹣3+3＝0，满足条件．‎ 故选：D．‎ ‎9．执行如图的程序框图，如果输入a＝4，那么输出的n的值为（　　）‎ A．5 B．‎4 ‎C．3 D．2‎ ‎【解答】解：执行程序框图，有 n＝0，0≤1，P＝1，Q＝3，n＝1；‎ n＝1，1≤3，P＝1+4＝5，Q＝7，n＝2；‎ n＝2，5≤7，P＝5+16＝21，Q＝15，n＝3；‎ n＝3，21≤15不成立，输出，n＝3；‎ 故选：C．‎ ‎10．在x（1+x）6的展开式中，含x3项的系数为（　　）‎ A．30 B．‎20 ‎C．15 D．10‎ ‎【解答】解：（1+x）6展开式中通项Tr+1＝C6rxr，‎ 令r＝2可得，T3＝C62x2＝15x2，‎ ‎∴（1+x）6展开式中x2项的系数为15，‎ 在x（1+x）6的展开式中，含x3项的系数为：15．‎ 故选：C．‎ ‎11．过抛物线y2＝4x焦点的直线l与抛物线交于A，B两点，与圆（x﹣1）2+y2＝r2交于C，D两点，若有三条直线满足|AC|＝|BD|，则r的取值范围为（　　）‎ A． B．（2，+∞） C． D．‎ ‎【解答】解：①当l⊥x轴时，过x＝1与抛物线交于（1，土2），与圆交于（1，土r），满足题设．‎ ‎②当l不与x轴垂直时，设直线l：x＝my+1，（1）‎ 代入y2＝4x，得y2﹣4my﹣4＝0，‎ ‎△＝16（m2+1），‎ 把（1）代入：（x﹣1）2+y2＝r2得y2＝．‎ 设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4），‎ ‎∵|AC|＝|BD|，∴y1﹣y3＝y2﹣y4，y1﹣y2＝y3﹣y4，可得4 ＝，‎ r＝2（m2+1）＞2，‎ 即r＞2时，l仅有三条．‎ 故选：B．‎ ‎12．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x＜0时，f（x）＝（x+1）ex则对任意的m∈R，函数F（x）＝f（f（x））﹣m的零点个数至多有（　　）‎ A．3个 B．4个 C．6个 D．9个 ‎【解答】解：当x＜0时，f（x）＝（x+1）ex，可得f′（x）＝（x+2）ex，可知x∈（﹣∞，﹣2），函数是减函数，x∈（﹣2，0）函数是增函数，‎ f（﹣2）＝，f（﹣1）＝0，且x→0时，f（x）→1，又f（x）是定义在R上的奇函数，f（0）＝0，而x∈（﹣∞，﹣1）时，f（x）＜0，‎ 所以函数的图象如图：令t＝f（x）则f（t）＝m，‎ 由图象可知：当t∈（﹣1，1）时，方程f（x）＝t至多3个根，当t∉（﹣1，1）时，方程没有实数根，‎ 而对于任意m∈R，方程f（t）＝m至多有一个根，t∈（﹣1，1），‎ 从而函数F（x）＝f（f（x））﹣m的零点个数至多有3个．‎ 故选：A．‎ 二．填空题（共4小题）‎ ‎13．已知y＝f（x）+x2是奇函数，且f（1）＝1，若g（x）＝f（x）+2，则g（﹣1）＝　﹣1　．‎ ‎【解答】解：由题意，y＝f（x）+x2是奇函数，且f（1）＝1，‎ 所以f（1）+1+f（﹣1）+（﹣1）2＝0解得f（﹣1）＝﹣3‎ 所以g（﹣1）＝f（﹣1）+2＝﹣3+2＝﹣1‎ 故答案为：﹣1．‎ ‎14．已知双曲线＝1（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程是y＝x，它的一个焦点与抛物线y2＝16x的焦点相同．则双曲线的方程为　＝1　．‎ ‎【解答】解：由双曲线渐近线方程可知①‎ 因为抛物线的焦点为（4，0），所以c＝4②‎ 又c2＝a2+b2③‎ 联立①②③，解得a2＝4，b2＝12，‎ 所以双曲线的方程为．‎ 故答案为．‎ ‎15．已知平面α截球O的球面得圆M，过圆心M的平面β与α的夹角为，且平面β截球O的球面得圆N，已知球O的半径为5，圆M的面积为9π，则圆N的半径为　　．‎ ‎【解答】解：如图，∵圆M的面积为9π，‎ ‎∴AM＝3，‎ 又OA＝5，∴OM＝4，‎ 又∵过圆心M且与α成二面角的平面β截该球面得圆N，‎ ‎∴∠NMO＝，‎ ‎∴ON＝OM•sin＝2，‎ 又∵OB＝5．∴NB＝＝，‎ 故答案为：．‎ ‎16．已知△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若（a+c）（sinA﹣sinC）＝b（sinA﹣sinB），且，则的取值范围为　（﹣，）　．‎ ‎【解答】解：△ABC中，（a+c）（sinA﹣sinC）＝b（sinA﹣sinB），‎ 由正弦定理得（a+c）（a﹣c）＝b（a﹣b），‎ ‎∴a2﹣c2＝ab﹣b2，‎ ‎∴a2+b2﹣c2＝ab，‎ ‎∴cosC＝＝＝；‎ 又C∈（0，π），‎ ‎∴C＝，‎ ‎∴A+B＝；‎ 又，‎ ‎∴＝＝＝＝2，‎ ‎∴a＝2sinA，b＝2sinB，‎ ‎∴＝2sinA﹣sinB ‎＝2sinA﹣sin（﹣A）‎ ‎＝2sinA﹣cosA﹣sinA ‎＝sinA﹣cosA ‎＝sin（A﹣）；‎ 又A∈（0，），‎ ‎∴A﹣∈（﹣，），‎ ‎∴sin（A﹣）∈（﹣，1），‎ ‎∴sin（A﹣）∈（﹣，），‎ 即a﹣的取值范围是（﹣，）．‎ 故答案为：（﹣，）．‎ 三．解答题（共7小题）‎ ‎17．已知等比数列{an}满足an＜an+1，a2+a3+a4＝28，且a3+2是a2，a4的等差中项．‎ ‎（1）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（2）若，Sn＝b1+b2+…+bn，对任意正整数n，Sn+（n+m）an+1＜0恒成立，试求m的取值范围．‎ ‎【解答】解：（1）设等比数列{an}的首项为a1，公比为q．依题意，‎ 有2（a3+2）＝a2+a4，代入a2+a3+a4＝28，得a3＝8．因此a2+a4＝20‎ 即有解得，或，‎ 又数列{an}单调递增，则故．‎ ‎（2）∵，∴，①‎ ‎，②‎ ‎①﹣②，得．‎ ‎∵Sn+（n+m）an+1＜0，∴2n+1﹣n•2n+1﹣2+n•2n+1+m•2n+1＜0对任意正整数n恒成立，‎ ‎∴m•2n+1＜2﹣2n+1对任意正整数n恒成立，即恒成立．‎ ‎∵，∴m≤﹣1，即m的取值范围是（﹣∞，﹣1]．‎ ‎18．在等腰直角△EBC中，A，D分别为EB，EC的中点，AD＝2，将△EBC沿AD折起，使得二面角E﹣AD﹣B为60°．‎ ‎（1）作出平面EBC和平面EAD的交线l，并说明理由；‎ ‎（2）二面角E﹣CD﹣B的余弦值．‎ ‎【解答】解：（1）在面EAD内过点E作AD的平行线l即为所求．‎ 证明：因为l∥AD，而l在面ABCD外，AD在面ABCD内，所以，l∥面ABCD．‎ 同理，AD∥面EBC，于是l在面EBC上，从而l即为平面EBC和平面EAD的交线．‎ ‎（2）由题意可得∠EAB为二面角E﹣AD﹣B的平面角，所以，∠EAD＝60°．‎ 过点E作AB的垂线，垂足为F，则EF⊥面ABCD．‎ 以F为原点，AB所在直线为x轴正方向，垂直AB 的直线为y轴，FE所在直线为z轴，‎ AF为单位长度建立空间直角坐标系；如图：‎ 则B（1，0，0），C（1，4，0），A（﹣1，0，0），D（﹣1，2，0），，‎ 从而，，‎ 设面BCD的一个法向量为，‎ 则由得，所以，不妨取．‎ 由EF⊥面ABCD知平面BCD的法向量不妨设为 于是，，‎ 所以二面角E﹣CD﹣B的余弦值为．‎ ‎19．某兴趣小组欲研究昼夜温差大小与患感冒人数多少之间的关系，他们分别到气象局与医院抄录1至6月份每月10号的昼夜温差情况与因患感冒而就诊的人数，得到如表资料：‎ 日期 ‎1月10日 ‎2月10日 ‎3月10日 ‎4月10日 ‎5月10日 ‎6月10日 昼夜温差x（℃）‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎13‎ ‎12‎ ‎8‎ ‎6‎ 就诊人数y（个）‎ ‎22‎ ‎25‎ ‎29‎ ‎26‎ ‎16‎ ‎12‎ 该兴趣小组的研究方案是先从这6组数据中选取2组，用剩下的4组数据求线性回归方程，再用被选取的两组数据检验．‎ ‎（1）求选取的两组数据恰好相邻的概率；‎ ‎（2）若选取的是1月与6月的两组数据，请据2～5月份的数据，求出y关于x 的线性回归方程；‎ ‎（3）若线性回归方程得出的估计数据与所选出的检验数据的误差不超过2人，则认为得到的线性回归方程是理想的．试问该兴趣小组得到的线性回归方程是否理想？‎ ‎【解答】解：（1）设抽到相邻两个月的数据为事件A，‎ ‎∵从6组数据中选取2组数据共有种情况，每种情况是等可能出现的，其中抽到相邻两个月的数据的情况有5种，‎ ‎∴‎ ‎（2）由数据求得＝11，＝24，由公式求得，由求得 ‎∴y关于x的线性回归方程为 ‎（3）当x＝10时，，‎ 同样，当x＝6时，，所以该小组所得线性回归方程是理想的 ‎20．已知抛物线D的顶点是椭圆+＝1的中心，焦点与该椭圆的右焦点重合．‎ ‎（1）求抛物线D的方程；‎ ‎（2）已知动直线l过点P（4，0），交抛物线D于A、B两点，坐标原点O为PQ中点，求证：∠AQP＝∠BQP；‎ ‎（3）是否存在垂直于x轴的直线m被以AP为直径的圆所截得的弦长恒为定值？如果存在，求出m的方程；如果不存在，说明理由．‎ ‎【解答】（本小题满分14分）‎ ‎（1）解：由题意，可设抛物线方程为y2＝2px（p＞0）．‎ 由a2﹣b2＝4﹣3＝1，得c＝1．‎ ‎∴抛物线的焦点为（1，0），∴p＝2．‎ ‎∴抛物线D的方程为y2＝4x．…（4分）‎ ‎（2）证明：设A（x1，y1），B（x2，y2），‎ 由于O为PQ之中点，故当l⊥x轴时，由抛物线的对称性知，一定有∠AQP＝∠BQP，‎ 当l不垂直x轴时，设l：y＝k（x﹣4），‎ 由，得k2x2﹣4（2k2+1）x+16k2＝0，‎ ‎∴，‎ ‎∵＝，‎ ‎＝，‎ ‎∴＝，‎ ‎∴∠AQP＝∠BQP．‎ 综上证知，∠AQP＝∠BQP ‎（3）解：设存在直线m+x＝a满足题意，‎ 则圆心，‎ 过M作直线x＝a的垂线，垂足为E，‎ ‎∴|EG|2＝|MG|2﹣|ME|2，‎ 即|EG|2＝|MA|2﹣|ME|2‎ ‎＝‎ ‎＝‎ ‎＝‎ ‎＝，‎ 当a＝3时，|EG|2＝3，‎ 此时直线m被以AP为直径的圆截得的弦长恒为定值．…（13分）‎ 因此存在直线m：x＝3满足题意…（14分）‎ ‎21．设函数f（x）＝lnx﹣ax2﹣bx．‎ ‎（Ⅰ）当a＝b＝时，求函数f（x）的最大值；‎ ‎（Ⅱ）令F（x）＝f（x）+x2+bx+（0＜x≤3）若其图象上的任意点P（x0，y0）处切线的斜率k≤恒成立，求实数a的取值范围；‎ ‎（Ⅲ）当a＝0，b＝﹣1时，方程x2＝2mf（x）（其中m＞0）有唯一实数解，求m的值．‎ ‎【解答】解：（I）依题意，知f（x）的定义域为（0，+∞），当时，，（2′）‎ 令f'（x）＝0，解得x＝1．（∵x＞0）‎ 因为g（x）＝0有唯一解，所以g（x2）＝0，当0＜x＜1时，f'（x）＞0，此时f（x）单调递增；‎ 当x＞1时，f'（x）＜0，此时f（x）单调递减．‎ 所以f（x）的极大值为，此即为最大值…（4分）‎ ‎（II），x∈（0，3]，则有≤，在x0∈（0，3]上恒成立，‎ 所以a≥，x0∈（0，3]，‎ 当x0＝1时，取得最大值，‎ 所以a≥…（8分）‎ ‎（III）因为方程2mf（x）＝x2有唯一实数解，所以x2﹣2mlnx﹣2mx＝0有唯一实数解，‎ 设g（x）＝x2﹣2mlnx﹣2mx，则．‎ 令g'（x）＝0，x2﹣mx﹣m＝0．因为m＞0，x＞0，‎ 所以（舍去），，‎ 当x∈（0，x2）时，g'（x）＜0，g（x）在（0，x2）上单调递减，‎ 当x∈（x2，+∞）时，g'（x）＞0，g（x）在（x2，+∞）单调递增 当x＝x2时，g'（x2）＝0，g（x）取最小值g（x2）．（12′）‎ 则既 所以2mlnx2+mx2﹣m＝0，因为m＞0，所以2lnx2+x2﹣1＝0（*）‎ 设函数h（x）＝2lnx+x﹣1，因为当x＞0时，h（x）是增函数，所以h（x）＝0至多有一解．‎ 因为h（1）＝0，所以方程（*）的解为x2＝1，即，解得．…（12分）‎ ‎22．已知函数f（x）＝|x+3|+|x﹣a|（a＞0）．‎ ‎（Ⅰ）当a＝4时，已知f（x）＝7，求x的取值范围；‎ ‎（Ⅱ）若f（x）≥6的解集为{x|x≤﹣4或x≥2}，求a的值．‎ ‎【解答】解：（I）当a＝4时，函数f（x）＝|x+3|+|x﹣4|＝|x+3|+|4﹣x|≥|x+3+4﹣x|＝7‎ 当且仅当（x+3）（4﹣x）≥0时，即﹣3≤x≤4时取等号 故x的取值范围为[﹣3，4]‎ ‎（II）若f（x）≥6的解集为{x|x≤﹣4或x≥2}，‎ 则﹣4和2是方程f（x）＝|x+3|+|x﹣a|＝0的两根 即 解得a＝1‎ ‎23．在极坐标系中，圆C的圆心坐标为C（2，），半径为2．以极点为原点，极轴为x的正半轴，取相同的长度单位建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为（t为参数）‎ ‎（Ⅰ）求圆C的极坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）设l与圆C的交点为A，B，l与x轴的交点为P，求|PA|+|PB|．‎ ‎【解答】解：（I）在直角坐标系中，圆心的坐标为，‎ ‎∴圆C的方程为即，‎ 把x＝ρcosθ，y＝ρsinθ代入可得：，即．‎ ‎（II）法一：把（t为参数）代入得t2＝4，‎ ‎∴点A、B对应的参数分别为t1＝2，t2＝﹣2，‎ 令得点P对应的参数为．‎ ‎∴|PA|+|PB|＝|t1﹣t0|+|t2﹣t0|＝+＝．‎ 法二：把把（t为参数）化为普通方程得，‎ 令y＝0得点P坐标为P（4，0），‎ 又∵直线l恰好经过圆C的圆心C，‎ 故．‎