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- 2021-06-23 发布
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第三章 不等式
一、选择题.
1. 若 a∈R,则下列不等式恒成立的是( ).
A. a2 + 1>a B.<1 C. a2 + 9>6a D. lg(a2 + 1)>lg|2a|
2. 下列函数中,最小值为 2 是( ).
A. y =,x∈R,且 x≠0 B. y = lgx +,1<x<10
C. y = 3x + 3-x,x∈R D. y = sin x +,
3. 不等式组表示的平面区域的面积等于( ).
A. 28 B. 16 C. D. 121
4. 不等式 lgx2<lg2x 的解集是( ).
A. B. (100,+∞)
C. ∪(100,+∞) D. (0,1)∪(100,+∞)
5. 不等式(x4 - 4)-(x2 - 2)≥0 的解集是( ).
A. x≥或 x≤- B. -≤x≤ C. x<-或 x> D. -<x<
6. 若 x,y∈R,且 x + y = 5,则 3x + 3y 的最小值是( ).
A. 10 B. C. D.
7. 若 x>0,y>0,且 ,则 xy 有( ).
A. 最大值 64 B. 最小值 C. 最小值 D. 最小值 64
8. 若,则目标函数 z = 2x + y 的取值范围是( ).
A. [0,6] B. [2,4] C. [3,6] D. [0,5]
9. 若不等式 ax2 + bx + c>0 的解是 0<α<x<β,则不等式 cx2 - bx + a>0 的解为( ).
A. <x< B. -<x<-
C. -<x<- D. <x<
10. 若 a>0,b>0 ,且 ,则的最小值是( ).
A. 9 B. 8 C. D. 6
二、填空题.
1. 函数 的定义域是 .
2. 若 x,y 满足 ,则的最大值为_____ __,最小值为____ __.
3. 函数 的最大值为 .
4. 若直角三角形斜边长是 1,则其内切圆半径的最大值是 .
5. 若集合 A = {(x,y)| |x| + |y|≤1},B = {(x,y)|(y - x)(y + x)≤0},M = A∩B,则 M 的面积为___________.
6. 若不等式 2x - 1>m(x2 - 1)对满足 -2≤m≤2 的所有 m 都成立,则 x 的取值范围是 .
三、解答题.
1. 若奇函数 f(x)在其定义域(-2,2)上是减函数,且 f(1 - a)+ f(1 - a2)<0,求实数 a 的取值范围.
2. 已知 a>b>0,求的最小值.
(选)3. 设实数 x,y 满足不等式组 .
(1)作出点(x,y)所在的平面区域;
(2)设 a>-1,在(1)所求的区域内,求f(x,y)= y – ax 的最大值和最小值.
4. 某工厂拟建一座平面图形为矩形,且面积为 200 m2 的三级污水处理池(平面图如右). 如果池外圈周壁建造单价为每米 400 元,中间两条隔墙建筑单价为每米 248 元,池底建造单价为每平方米 80 元,池壁的厚度忽略不计. 试设计污水池的长和宽,使总造价最低,并求出最低造价.
参考答案
一、选择题.
1. A
【解析】A:a2 - a + 1 = a2 - a +=+>0. a2 + 1>a 恒成立.
B:当 a = 0 时,左 = 右.
C:当 a = 3 时,左 = 右.
D:当 a = ±1 时,左 = 右.
2. C
【解析】A:y没有最小值.
B:∵ 1<x<10,
∴ 0<lg x<1.
∴ y≥2.
lg x=1,即x =10时,ymin = 2.
此时不符合1<x<10.
C:∵ 3x>0,
∴ y = 3x +≥2.
x = 0时,ymin = 2.
D:∵ 0<x<,
∴ sin x>0.
∴ y≥2.
当 sin x =时,此时 sin x = 1,x =,不符合 0<x<.
3. B
【解析】由不等式组,画出符合条件的平面区域(下图阴影部分).
解两两直线方程组成的方程组,可得 A(3,5),B(3,-3), C(-1,1).
∴ S阴 =· |AB| · |xA - xc| = ×8×4 = 16.
4. D
【解析】∵
∴ x>0.∵ lg x2<lg2x,∴ lg2x - 2lg x>0.∴ lg x>2 ,或 lg x<0,∴ x>100 ,或 0<x<1.
5. A
【解析】∵(x4 - 4)-(x2 - 2)≥ 0,∴ x4 - x2 - 2≥0,∴(x2 - 2)(x2 + 1)≥0.∴ x2≥2.
∴ x≥,或 x≤-.
6. D
【解析】 3x + 3y≥2= 2,
∴ 3x + 3y≥2×9×= 18,当 x = y = 时,等号成立.
7. D
【解析】 ≥2= 8,当,即 时,8取最大值,即 xy 取最小值 64.
8. A
【解析】 据不等式组画出可行域.
易知 A(-1,2),B(2,2).
将 y = -2x 进行平移,当直线过 A 点时,zmin = 0,
当直线过 B 点时,zmax = 6.
9. C
【解析】由题知, 且 a<0.
∴ b = -a(a + b ),
c = a(ab ).
∴ 所求不等式可代为 a(ab )x2 + a(a + b )x + a>0.
∴(ab )x2 +(a + b )x + 1<0.
∴(ax + 1)(bx + 1)<0.
∵ 0<a<b,
∴ -<-.
∴ -<x<-.
10. A
【解析】 =+ 1 =+ 1 =+1≥+ 1 = 9.∴ 当 a = b=时,原式取最小值 9.
二、填空题.
1. (-8,8).
【解析】∵ 64 - x2>0 ∴ x2<64,-8<x<8,即(-8,8).
2. 2,0.
【解析】 据不等式组画出可行域.
由图可知,,0.
3. .
【解析】设 x = cos q,q∈[0,π].
∴ y = cos q sin q
=sin 2q.
∵ q∈[0,π],∴ 2q∈[0,2π],
∴ ymax =,此时 q =,x = cos=.
4. .
【解析】
如图,r ==≤==. 当且仅当 a = b = 时, rmax =.
5. 1.
【解析】如图,M为阴影部分. M的面积为= 1.
6. <x<.
【解析】令 f(m)= m(x2 - 1)-(2x - 1)(x≠±1),把它看作关于 m 的一次函数.
由于 -2≤m≤2 时,f(m)<0 恒成立,
解得 1<x<,或<x<1,又x = 1 时,亦符合题意.
∴ <x<.
三、解答题.
1. 由f(1 - a)+ f(1 - a2)<0,得 f(1 - a)<- f(1 - a2). 又因为函数f(x)为奇函数,所以- f(1 - a2) = f(a2 - 1).
∴ f(1 - a)< f(a2 - 1). 又∵ 函数 f(x) 在其定义域(-2,2)上是减函数,
∴ a∈(-1,1).
2. 由 a>b>0 知,a - b>0,
∴ b(a - b)≤.
∴ a2 +≥a2 +≥2= 16.
当且仅当 a2 =,b = a - b,
即当 a = 2,b =时,a2 +取得最小值 16.
3. (1)(-3,7)
【解析】
(2) 最大值为7+3a,最小值为
4. 【解】设污水池总造价为 y 元,污水池长为 x m. 则宽为m,水池外圈周壁长2x + 2 · (m),中间隔墙长2 · (m),池底面积200(m2).
∴ y = 400+ 248 · · 2 + 80×200 = 800+ 16 000
≥1 600+ 16 000 = 44 800.
当且仅当 x =,即 x = 18,=时,ymin = 44 800.
答:当污水池长为 18 m,宽为m 时,总造价最低,最低为 44 800元.