数学理卷·2017届陕西省西安市第一中学高三高考押题卷（一）（2017 21页

理科数学（一）‎ 本试题卷共6页，23题(含选考题)。全卷满分150分。考试用时120分钟。‎ 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共12小题，每小题5分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。‎ ‎1．已知复数是一元二次方程的一个根，则的值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】因为，所以，所以．故选B．‎ ‎2．已知集合，集合，集合，则集合（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】根据题意可得，‎ ‎，则．故选A．‎ ‎3．已知等差数列，，，则的值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】因为，所以，因为，所以，所以公差，所以，所以．故选D．‎ ‎4．世界最大单口径射电望远镜FAST于2016年9月25日在贵州省黔南州落成启用，它被誉为“中国天眼”，从选址到启用历经22年，FAST选址从开始一万多个地方逐一审查．为了加快选址工作进度，将初选地方分配给工作人员．若分配给某个研究员8个地方，其中有三个地方是贵州省的，问：某月该研究员从这8个地方中任选2个地方进行实地研究，则这个月他能到贵州省的概率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】．故选D．‎ ‎5．某几何体的三视图如图所示，则它的表面积是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】此三视图的几何体如图：‎ ‎，，，，，，‎ ‎，，‎ ‎，∴．故选B．‎ ‎6．如图，在三棱锥中，面，，，，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】根据题意可得，设，则，，在中，，，由余弦定理得，即：，整理得：，解得或（舍），所以．故选D．‎ ‎7．已知函数，满足和是偶函数，且，设，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】因为为偶函数，所以，所以，所以为偶函数，又是偶函数，所以，当时，，．故选B．‎ ‎8．已知抛物线，过点作抛物线的两条切线，，、为切点，若直线经过抛物线的焦点，的面积为，则以直线为准线的抛物线标准方程是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】由抛物线的对称性知，轴，且是焦点弦，故，所以，解得（舍去）或，所以焦点坐标为，直线的方程为，所以以直线为准线的抛物线标准方程是．故选D．‎ ‎9．根据下列流程图输出的值是（ ）‎ A．11 B．31 C．51 D．79‎ ‎【答案】D ‎【解析】当时，，，‎ 当时，，，‎ 当时，，，‎ 当时，，，‎ 输出．故选D．‎ ‎10．在长方体中，，点在线段上运动，当异面直线与所成的角最大时，则三棱锥的体积为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 因为A1B∥D1C，所以CP与A1B成角可化为CP与D1C成角，显然当P与A重合时，异面直线CP与BA1所成的角最大，所以．故选B．‎ ‎11．已知函数的周期为，将函数的图像沿着y轴向上平移一个单位得到函数图像．设，对任意的恒成立，当取得最小值时，的值是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】因为，则，所以，所以，所以函数，所以，所以，；又，所以，，所以，所以，又，所以，所以取得最小值时，，所以的值是．故选C．‎ ‎12．已知函数，有下列四个命题；‎ ‎①函数是奇函数；‎ ‎②函数在是单调函数；‎ ‎③当时，函数恒成立；‎ ‎④当时，函数有一个零点，‎ 其中正确的个数是（ ）‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎【答案】B ‎【解析】①函数的定义域是，，不满足函数奇偶性定义，所以函数非奇非偶函数，所以①错误；②取，， ，所以函数在不是单调函数，所以②错误；③当时，，要使，即，即，令 ‎，，，得，所以在上递减，在上递增，所以，所以③正确；④当时，函数的零点即为的解，也就是，等价于函数与函数图像有交点，在同一坐标系画出这两个函数图像，可知他们只有一个交点，所以④是正确的．故选B．‎ 第Ⅱ卷 本卷包括必考题和选考题两部分。第13~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22~23题为选考题，考生根据要求作答。‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。‎ ‎13．共享单车是指企业与政府合作，在公共服务区等地方提供自行车单车共享服务．现从6辆黄色共享单车和4辆蓝色共享单车中任取4辆进行检查，则至少有两个蓝色共享单车的取法种数是_____________．‎ ‎【答案】115‎ ‎【解析】分三类，两辆蓝色共享单车，有种，三辆蓝色共享单车，有种，四辆蓝色共享单车，有种，根据分类计数原理可得，至少有两辆蓝色共享单车的取法种数是90+24+1＝115．‎ ‎14．如图所示，在南海上有两座灯塔，这两座灯塔之间的距离为60千米，有个货船从岛P处出发前往距离120千米岛Q处，行驶致一半路程时刚好到达M处，恰巧M处在灯塔A的正南方，也正好在灯塔B的正西方，向量⊥，则＝_____________．‎ ‎【答案】－3600‎ ‎【解析】由题意可知，⊥，⊥，，‎ 所以＝‎ ‎15．若，满足约束条件，设的最大值点为，则经过点和的直线方程为_______________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】在直角坐标系中，满足不等式组可行域为：‎ 表示点 到可行域的点的距离的平方减4．如图所示，点到点的距离最大，即，则经过，两点直线方程为．‎ ‎16．已知数列满足（，，且为常数），若为等比数列，且首项为，则的通项公式为________________．‎ ‎【答案】或 ‎【解析】①若，则，‎ 由，得，由，得，‎ 联立两式，得或，则或，经检验均合题意．‎ ‎②若，则，由，得，得，则，经检验适合题意．‎ 综上①②，满足条件的的通项公式为或．‎ 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。‎ ‎17．（本小题满分12分）在中，设向量，，．‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）求的取值范围．‎ ‎【答案】（1）＝，（2）．‎ ‎【解析】（1）由，‎ ‎，································1分 由正弦定理，等式可为，‎ ‎∴，····················································3分 由余弦定理可得，‎ ‎∴＝．··························································6分 ‎（2）由（1）可知，，所以，······················7分 ‎，·····················································10分 ‎∵，∴，∴，‎ ‎∴的取值范围为．··································12分 ‎18．（本小题满分12分）某研究所设计了一款智能机器人，为了检验设计方案中机器人动作完成情况．现委托某工厂生产500个机器人模型，并对生产的机器人进行编号：001，002，……，500，采用系统抽样的方法抽取一给容量为50个机器人样本．试验小组对50个机器人样本的动作个数进行分组，频率分布直方图及频率分布表中的部分数组如图所示，请据此回答如下问题：‎ 分组 机器人数 频率 ‎[50，60)‎ ‎0.08‎ ‎[60，70)‎ ‎10‎ ‎[70，80)‎ ‎10‎ ‎[80，90)‎ ‎[90，100]‎ ‎6‎ ‎（1）补全频率分布表，画出频率分布直方图；‎ ‎（2）若随机抽的号码为003，这500个机器人分别放在A，B，C三个房间，从001到200在A房间，从201到355在B房间，从356到500在C房间，求B房间被抽中的人数是多少？‎ ‎（3）从动作个数不低于80的机器人中随机选取2个机器人，该2个机器人中动作个数不低于90的机器人数记为，求的分布列与数学期望．‎ ‎【答案】（1）见解析，（2）16，（3）．‎ ‎【解析】（1）频率分布直方图及频率分布表中的部分数组如图所示，请据此回答如下问题：‎ 分组 机器人数 频率 ‎[50，60)‎ ‎4‎ ‎0.08‎ ‎[60，70)‎ ‎10‎ ‎0.2‎ ‎[70，80)‎ ‎10‎ ‎0.2‎ ‎[80，90)‎ ‎20‎ ‎0.4‎ ‎[90，100]‎ ‎6‎ ‎0.12‎ ‎·········4分 ‎（2）系统抽样的分段间隔为＝10，在随机抽样中，首次抽到003号，以后每隔10个抽到一个，则被抽中的机器人数构成以3为首项，10为公差的等差数列，故可分别求出在001到200中有20个，在201至355号中共有16个．··························6分 ‎（3）该2个机器人中动作个数不低于90的机器人数记为，的取值为0，1，2，··7分 所以，，，‎ 所以的分布列 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ P ‎················11分 数学期望．·····························12分 ‎19．（本小题满分12分）已知正方体的棱长为1，S是的中点，M是SD上的点，且SD⊥MC．‎ ‎（1）求证：SD⊥面MAC ‎（2）求平面SAB与平面SCD夹角的余弦值．‎ ‎【答案】（1）见解析，（2）．‎ ‎【解析】（1）证明：由题意可知，SA＝SB＝SC＝SD，连BD，设AC交于BD于O，由题意知SO⊥平面ABCD．以O为坐标原点，所在的直线分别为x轴，y轴，z轴，建立坐标系O-xyz如图，‎ 则高SO＝1，于是S(0，0，1)，D(，0，0)，A（0，，0），C（0，，0），所以，，所以，即AC⊥SD，又因为SD⊥MC，所以SD⊥面MAC．··················································5分 ‎（2）根据题意可知，，，，‎ ‎，则，‎ 设平面SAB的法向量为，‎ 则，所以，所以解得，‎ 令，解得，‎ 所以法向量，················································7分 设平面SCD的法向量为，‎ 则，所以，所以解得，‎ 令，解得，‎ 所以法向量，············································9分 所以，，所以两个法向量的夹角余弦值为 ‎．···········································11分 所以平面SAB与平面SCD夹角的余弦值为．····························12分 ‎20．（本小题满分12分）已知椭圆C：（a＞b＞0）的离心率为，其中一个顶点是双曲线的焦点，‎ ‎（1）求椭圆C的标准方程；‎ ‎（2）过点的直线与椭圆C相交于不同的两点A，B，过点A，B分别作椭圆的两条切线，求其交点的轨迹方程．‎ ‎【答案】（1），（2）．‎ ‎【解析】（1）由题意可知双曲线的焦点，，‎ 所以椭圆的C：中a＝5，········································1分 根据，解得c＝，所以，·································3分 所以椭圆的标准方程为．·································4分 ‎（2）当直线的斜率存在时，设直线的方程为，另设，‎ 设在处切线的方程为，与椭圆C：联立：‎ ‎，‎ 消去可得：，‎ 由，得，‎ 化简可得：‎ 由，可得，，‎ 所以上式可化为：，‎ ‎∴，，‎ 所以椭圆在点A处的切线方程为：①，··························7分 同理可得椭圆在点B的切线方程为：②，·······················8分 联立方程①②，消去x得：，解得，··········9分 而A，B都在直线上，所以有，所以，‎ 所以，即此时的交点的轨迹方程为；······11分 当直线的斜率不存在时，直线的方程为x＝0，则，则椭圆在点A处的切线方程为：①，椭圆在点B的切线方程为：，此时无交点．‎ 综上所述，交点的轨迹方程为 ‎．······································12分 ‎21．（本小题满分12分）已知函数（a是常数），‎ ‎（1）求函数的单调区间；‎ ‎（2）当时，函数有零点，求a的取值范围．‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）或．‎ ‎【解析】（1）根据题意可得，当a＝0时，，函数在上是单调递增的，在上是单调递减的．···········································1分 当a≠0时，，因为＞0，‎ 令，解得x＝0或．·····························3分 ‎①当a＞0时，函数在，上有，即，函数单调递减；函数在上有，即，函数单调递增；························4分 ‎②当a＜0时，函数在，上有，即，函数单调递增；函数在上有，即，函数单调递减；························5‎ 分 综上所述，当a＝0时，函数的单调递增区间，递减区间为；‎ 当a＞0时，函数的单调递减区间为，，递增区间为；‎ 当a＜0时，函数的单调递增区间为，，递减区间为；·······6分 ‎（2）①当a＝0时，可得，，故a＝0可以；·········7分 ‎②当a＞0时，函数的单调递减区间为，递增区间为，‎ ‎（I）若，解得；‎ 可知：时，是增函数，时，是减函数，‎ 由，∴在上；‎ 解得，所以；·······································10分 ‎（II）若，解得；‎ 函数在上递增，‎ 由，则，解得 由，即此时无解，所以；·····························11分 ‎③当a＜0时，函数在上递增，类似上面时，此时无解．‎ 综上所述，．···········································12分 请考生在22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分。‎ ‎22．（本小题满分10分）已知在直角坐标系中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的参数方程为：，曲线C2的极坐标方程：，‎ ‎（1）写出C1和C2的普通方程；‎ ‎（2）若C1与C2交于两点A，B，求的值．‎ ‎【答案】（1），；（2）．‎ ‎【解析】（1）将曲线C2的极坐标方程转化为直角坐标方程；····2分 将曲线C1的方程消去t化为普通方程：；··············4分 ‎（2）若C1与C2交于两点A，B，可设，‎ 联立方程组，消去y，可得，··················6分 整理得，所以有，·····························8分 则．·················10分 ‎23．（本小题满分10分）已知函数，‎ ‎（1）若不等式恒成立，求实数的取值范围；‎ ‎（2）若对于实数x，y，有，，求证:．‎ ‎【答案】（1）；（2）见解析．‎ ‎【解析】（1）根据题意可得恒成立，‎ 即，‎ 化简得，‎ 而是恒成立的，‎ 所以，解得；·········································5分 ‎（2），‎ 所以