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- 2021-06-23 发布
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单元评估检测(二) 第2章 函数、导数及其应用
(120分钟 150分)
(对应学生用书第232页)
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.设函数f(x)=+,则函数的定义域为( )
A. B.
C.∪(0,+∞) D.
[答案] A
2.已知函数f(x)=则f(f(4))的值为( )
【导学号:79140406】
A.- B.-9
C. D.9
[答案] C
3.设a=log37,b=21.1,c=0.83.1,则( )
A.b<a<c B.a<c<b
C.c<b<a D.c<a<b
[答案] D
4.下列函数中,在(-1,1)内有零点且单调递增的是( )
A.y=log2x B.y=2x-1
C.y=x2-2 D.y=-x3
[答案] B
5.(2017·洛阳模拟)函数y=(a>0,a≠1)的定义域和值域都是[0,1],则loga+loga=( )
A.1 B.2
C.3 D.4
[答案] C
6.(2017·珠海模拟)设函数f(x)是定义在R上的奇函数,且f(x)=则g(f(-7))=( )
A.3 B.-3
C.2 D.-2
[答案] D
7.某商场销售A型商品,已知该商品的进价是每件3元,且销售单价与日均销售量的关系如表所示:
销售单价(元)
4
5
6
7
8
9
10
日均销
售量(件)
400
360
320
280
240
200
160
请根据以上数据分析,要使该商品的日均销售利润最大,此商品的定价(单位:元/件)应为( )
A.4 B.5.5
C.8.5 D.10
[答案] C
8.函数y=的部分图像大致为( )
[答案] D
9.过点(-1,0)作抛物线y=x2+x+1的切线,则其中一条切线为( )
A.2x+y+2=0 B.3x-y+3=0
C.x+y+1=0 D.x-y+1=0
[答案] D
10.(2018·郑州模拟)设函数f(x)对x≠0的实数满足f(x)-2f=3x+2,那么f(x)dx=( )
A.- B.+2ln 2
C.- D.-(4+2ln 2)
[答案] A
11.若函数f(x)=1++sin x在区间[-k,k](k>0)上的值域为[m,n],则m+n=( )
【导学号:79140407】
A.0 B.1
C.2 D.4
[答案] D
12.(2018·岳阳模拟)设函数y=ax2与函数y=的图像恰有3个不同的交点,则实数a的取值范围为( )
A. B.∪
C. D.∪
[答案] C
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.请把正确答案填在题中横线上)
13.已知幂函数f(x)=(m2-3m+3)·xm+1为奇函数,则不等式f(2x-3)+f(x)>0的解集为________.
[答案] (1,+∞)
14.已知函数f(x)=|x2+3x|,x∈R,若方程f(x)-a=0恰有4个互异的实数根x1,x2,x3,x4,则x1+x2+x3+x4=________.
【导学号:79140408】
[答案] -6
15.已知函数f(x)=ax(a>0且a≠1)在区间[-1,2]上的最大值为8,最小值为m
,若函数g(x)=(3-10m)是单调增函数,则a=________.
[答案]
16.(2017·长治模拟)对于函数f(x)给出定义:
设f′(x)是函数y=f(x)的导函数,f″(x)是函数f′(x)的导函数,若方程f″(x)=0有实数解x0,则称点(x0,f(x0))为函数y=f(x)的“拐点”.
某同学经过探究发现:任何一个三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)都有“拐点”;任何一个三次函数都有对称中心,且“拐点”就是对称中心.给定函数f(x)=x3-x2+3x-,请你根据上面探究结果,计算f+f+f+…+f=________.
[答案] 2 016
三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分10分)已知二次函数f(x)=ax2+bx+1(a>0),F(x)=若f(-1)=0,且对任意实数x均有f(x)≥0恒成立.
(1)求F(x)的表达式;
(2)当x∈[-2,2]时,g(x)=f(x)-kx是单调函数,求k的取值范围.
[解] (1)F(x)=
(2)(-∞,-2]∪[6,+∞)
18.(本小题满分12分)已知实数x满足32x-4-·3x-1+9≤0且f(x)=log2·log.
(1)求实数x的取值范围;
(2)求f(x)的最大值和最小值,并求此时x的值.
[解] (1)由32x-4-·3x-1+9≤0,
得32x-4-10·3x-2+9≤0,
即(3x-2-1)(3x-2-9)≤0,
所以1≤3x-2≤9,2≤x≤4.
(2)因为f(x)=log2·log=(log2x-1)(log2x-2)=(log2x)2-3log2x+2=-,
当log2x=,即x=2时,f(x)min=-.
当log2x=1或log2x=2,
即x=2或x=4时,f(x)max=0.
19.(本小题满分12分)(2018·咸宁模拟)设函数f(x)=(ax+b)ex,g(x)=-x2+cx+d,若函数f(x)和g(x)的图像都过点P(0,1),且在点P处有相同的切线y=2x+1.
(1)求a,b,c,d的值;
(2)当x∈[0,+∞)时,判断函数h(x)=f(x)-g(x)的单调性.
[解] (1)f′(x)=(ax+a+b)ex,
所以所以a=b=1,
g′(x)=-2x+c,所以所以c=2,d=1.
(2)由(1)可知h(x)=f(x)-g(x)=(x+1)ex-(-x2+2x+1)=(x+1)ex+x2-2x-1,
所以h′(x)=(x+2)ex+2x-2=(x+2)ex+2x+4-6=(x+2)(ex+2)-6≥2×3-6=0,所以h(x)在[0,+∞)上为增函数.
20.(本小题满分12分)设函数f(x)=ax-(k-1)a-x(a>0且a≠1)是定义域为R的奇函数.
(1)求k的值;
(2)若f(1)<0,试判断函数的单调性,并求使不等式f(x2+tx)+f(4-x)<0恒成立的t的取值范围;
(3)若f(1)=,且g(x)=a2x+a-2x-2mf(x)在[1,+∞)上的最小值为-2,求m的值.
【导学号:79140409】
[解] (1)因为f(x)是定义域为R的奇函数,所以f(0)=a0-(k-1)a0=1-(k-1)=0,所以k=2.
(2)由(1)知f(x)=ax-a-x(a>0且a≠1).
因为f(1)<0,所以a-<0,
又a>0且a≠1,所以0<a<1,
所以y=ax在R上单调递减,y=a-x在R上单调递增,
故f(x)=ax-a-x在R上单调递减.
不等式f(x2+tx)+f(4-x)<0可化为f(x2+tx)<f(x-4),所以x2+tx>x-4,
所以x2+(t-1)x+4>0恒成立,
所以Δ=(t-1)2-16<0,解得-3<t<5.
(3)因为f(1)=,所以a-=,
即2a2-3a-2=0,
所以a=2或a=-(舍去).
所以g(x)=22x+2-2x-2m(2x-2-x)
=(2x-2-x)2-2m(2x-2-x)+2.
令n=f(x)=2x-2-x,
因为f(x)=2x-2-x为增函数,x≥1,
所以n≥k(1)=.
令h(n)=n2-2mn+2=(n-m)2+2-m2.
若m≥时,则当n=m时,h(n)min=2-m2=-2,所以m=2.
若m<,则当n=时,h(n)min=-3m=-2,所以m=>(舍去).
综上可知,m=2.
21.(本小题满分12分)(2017·大同模拟)已知函数f(x)=x-(a+1)·ln x-(a∈R),g(x)=x2+ex-xex.
(1)当x∈[1,e]时,求f(x)的最小值;
(2)当a<1时,若存在x1∈[e,e2],使得对任意的x2∈[-2,0],f(x1)<g(x2)恒成立,求a的取值范围.
[解] (1)f(x)的定义域为(0,+∞),
f′(x)=.
①当a≤1时,x∈[1,e]时,f′(x)≥0,
f(x)为增函数,f(x)min=f(1)=1-a.
②当1<a<e时,
x∈[1,a]时,f′(x)≤0,f(x)为减函数;
x∈(a,e]时,f′(x)>0,f(x)为增函数.
所以x∈[1,e]时,f(x)min=f(a)=a-(a+1)·ln a-1.
③当a≥e时,x∈[1,e]时,f′(x)≤0,
f(x)在[1,e]上为减函数.
f(x)min=f(e)=e-(a+1)-.
综上,在x∈[1,e]上,当a≤1时,f(x)min=1-a;
当1<a<e时,f(x)min=a-(a+1)ln a-1;
当a≥e时,f(x)min=e-(a+1)-.
(2)由题意知,当a<1时,f(x)(x∈[e,e2])的最小值小于g(x)(x∈[-2,0])的最小值.
由(1)可知,当a<1时,f(x)在[e,e2]上单调递增,
则f(x)min=f(e)=e-(a+1)-,
又g′(x)=(1-ex)x,
当x∈[-2,0]时,g′(x)≤0,g(x)为减函数,g(x)min=g(0)=1,
所以e-(a+1)-<1,即a>,
所以a的取值范围为.
22.(本小题满分12分)设函数f(x)=eax(a∈R).
(1)当a=-2时,求函数g(x)=x2f(x)在区间(0,+∞)内的最大值;
(2)若函数h(x)=-1在区间(0,16)内有两个零点,求实数a的取值范围.
[解] (1)当a=-2时,函数f(x)=e-2x,所以函数g(x)=x2e-2x,
所以g′(x)=2xe-2x+x2e-2x·(-2)
=2x(1-x)e-2x,
令g′(x)=0,解得x=0或x=1.
所以当x∈(0,1)时,g′(x)>0,g(x)是增函数,
当x∈(1,+∞)时,g′(x)<0,g(x)是减函数,
所以在区间(0,+∞)内g(x)的最大值是g(1)=e-2.
(2)因为函数h(x)=-1=x2e-ax-1,
所以h′(x)=2xe-ax+x2(-a)e-ax
=e-ax(-ax2+2x),
令h′(x)=0,因为e-ax>0,
所以-ax2+2x=0,解得x=0或x=(a≠0).
又h(x)在(0,16)内有两个零点,
所以h(x)在(0,16)内不是单调函数,
所以∈(0,16),解得a>.①
又x∈时,h′(x)>0,h(x)是增函数,
x∈时,h′(x)<0,h(x)是减函数,
所以在(0,16)上h(x)max=h
=e-2-1.
令e-2-1>0,解得-<a<.②
又即
解得a>ln 2.③
解①②③组成不等式组,解得ln 2<a<.
所以实数a的取值范围是ln 2<a<.