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  • 2021-06-23 发布

2019高三数学理北师大版一轮单元评估检测2 第2章 函数、导数及其应用

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单元评估检测(二) 第2章 函数、导数及其应用 ‎(120分钟 150分)‎ ‎(对应学生用书第232页)‎ 一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)‎ ‎1.设函数f(x)=+,则函数的定义域为(  )‎ A. B. C.∪(0,+∞) D. ‎[答案] A ‎2.已知函数f(x)=则f(f(4))的值为(  ) ‎ ‎【导学号:79140406】‎ A.- B.-9 ‎ C. D.9‎ ‎[答案] C ‎3.设a=log37,b=21.1,c=0.83.1,则(  )‎ A.b<a<c B.a<c<b C.c<b<a D.c<a<b ‎[答案] D ‎4.下列函数中,在(-1,1)内有零点且单调递增的是(  )‎ A.y=log2x B.y=2x-1‎ C.y=x2-2 D.y=-x3‎ ‎[答案] B ‎5.(2017·洛阳模拟)函数y=(a>0,a≠1)的定义域和值域都是[0,1],则loga+loga=(  )‎ A.1 B.2 ‎ C.3 D.4‎ ‎[答案] C ‎6.(2017·珠海模拟)设函数f(x)是定义在R上的奇函数,且f(x)=则g(f(-7))=(  )‎ A.3 B.-3 ‎ C.2 D.-2‎ ‎[答案] D ‎7.某商场销售A型商品,已知该商品的进价是每件3元,且销售单价与日均销售量的关系如表所示:‎ 销售单价(元)‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ 日均销 售量(件)‎ ‎400‎ ‎360‎ ‎320‎ ‎280‎ ‎240‎ ‎200‎ ‎160‎ 请根据以上数据分析,要使该商品的日均销售利润最大,此商品的定价(单位:元/件)应为(  )‎ A.4 B.5.5 ‎ C.8.5 D.10‎ ‎[答案] C ‎8.函数y=的部分图像大致为(  )‎ ‎[答案] D ‎9.过点(-1,0)作抛物线y=x2+x+1的切线,则其中一条切线为(  )‎ A.2x+y+2=0 B.3x-y+3=0‎ C.x+y+1=0 D.x-y+1=0‎ ‎[答案] D ‎10.(2018·郑州模拟)设函数f(x)对x≠0的实数满足f(x)-2f=3x+2,那么f(x)dx=(  )‎ A.- B.+2ln 2‎ C.- D.-(4+2ln 2)‎ ‎[答案] A ‎11.若函数f(x)=1++sin x在区间[-k,k](k>0)上的值域为[m,n],则m+n=(  )‎ ‎【导学号:79140407】‎ A.0 B.1 ‎ C.2 D.4‎ ‎[答案] D ‎12.(2018·岳阳模拟)设函数y=ax2与函数y=的图像恰有3个不同的交点,则实数a的取值范围为(  )‎ A. B.∪ C. D.∪ ‎[答案] C 二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.请把正确答案填在题中横线上)‎ ‎13.已知幂函数f(x)=(m2-3m+3)·xm+1为奇函数,则不等式f(2x-3)+f(x)>0的解集为________.‎ ‎[答案] (1,+∞)‎ ‎14.已知函数f(x)=|x2+3x|,x∈R,若方程f(x)-a=0恰有4个互异的实数根x1,x2,x3,x4,则x1+x2+x3+x4=________. ‎ ‎【导学号:79140408】‎ ‎[答案] -6‎ ‎15.已知函数f(x)=ax(a>0且a≠1)在区间[-1,2]上的最大值为8,最小值为m ‎,若函数g(x)=(3-10m)是单调增函数,则a=________.‎ ‎[答案]  ‎16.(2017·长治模拟)对于函数f(x)给出定义:‎ 设f′(x)是函数y=f(x)的导函数,f″(x)是函数f′(x)的导函数,若方程f″(x)=0有实数解x0,则称点(x0,f(x0))为函数y=f(x)的“拐点”.‎ 某同学经过探究发现:任何一个三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)都有“拐点”;任何一个三次函数都有对称中心,且“拐点”就是对称中心.给定函数f(x)=x3-x2+3x-,请你根据上面探究结果,计算f+f+f+…+f=________.‎ ‎[答案] 2 016‎ 三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)‎ ‎17.(本小题满分10分)已知二次函数f(x)=ax2+bx+1(a>0),F(x)=若f(-1)=0,且对任意实数x均有f(x)≥0恒成立.‎ ‎(1)求F(x)的表达式;‎ ‎(2)当x∈[-2,2]时,g(x)=f(x)-kx是单调函数,求k的取值范围.‎ ‎[解] (1)F(x)= ‎(2)(-∞,-2]∪[6,+∞)‎ ‎18.(本小题满分12分)已知实数x满足32x-4-·3x-1+9≤0且f(x)=log2·log.‎ ‎(1)求实数x的取值范围;‎ ‎(2)求f(x)的最大值和最小值,并求此时x的值.‎ ‎[解] (1)由32x-4-·3x-1+9≤0,‎ 得32x-4-10·3x-2+9≤0,‎ 即(3x-2-1)(3x-2-9)≤0,‎ 所以1≤3x-2≤9,2≤x≤4.‎ ‎(2)因为f(x)=log2·log=(log2x-1)(log2x-2)=(log2x)2-3log2x+2=-,‎ 当log2x=,即x=2时,f(x)min=-.‎ 当log2x=1或log2x=2,‎ 即x=2或x=4时,f(x)max=0.‎ ‎19.(本小题满分12分)(2018·咸宁模拟)设函数f(x)=(ax+b)ex,g(x)=-x2+cx+d,若函数f(x)和g(x)的图像都过点P(0,1),且在点P处有相同的切线y=2x+1.‎ ‎(1)求a,b,c,d的值;‎ ‎(2)当x∈[0,+∞)时,判断函数h(x)=f(x)-g(x)的单调性.‎ ‎[解] (1)f′(x)=(ax+a+b)ex,‎ 所以所以a=b=1,‎ g′(x)=-2x+c,所以所以c=2,d=1.‎ ‎(2)由(1)可知h(x)=f(x)-g(x)=(x+1)ex-(-x2+2x+1)=(x+1)ex+x2-2x-1,‎ 所以h′(x)=(x+2)ex+2x-2=(x+2)ex+2x+4-6=(x+2)(ex+2)-6≥2×3-6=0,所以h(x)在[0,+∞)上为增函数.‎ ‎20.(本小题满分12分)设函数f(x)=ax-(k-1)a-x(a>0且a≠1)是定义域为R的奇函数.‎ ‎(1)求k的值;‎ ‎(2)若f(1)<0,试判断函数的单调性,并求使不等式f(x2+tx)+f(4-x)<0恒成立的t的取值范围;‎ ‎(3)若f(1)=,且g(x)=a2x+a-2x-2mf(x)在[1,+∞)上的最小值为-2,求m的值. ‎ ‎【导学号:79140409】‎ ‎[解] (1)因为f(x)是定义域为R的奇函数,所以f(0)=a0-(k-1)a0=1-(k-1)=0,所以k=2.‎ ‎(2)由(1)知f(x)=ax-a-x(a>0且a≠1).‎ 因为f(1)<0,所以a-<0,‎ 又a>0且a≠1,所以0<a<1,‎ 所以y=ax在R上单调递减,y=a-x在R上单调递增,‎ 故f(x)=ax-a-x在R上单调递减.‎ 不等式f(x2+tx)+f(4-x)<0可化为f(x2+tx)<f(x-4),所以x2+tx>x-4,‎ 所以x2+(t-1)x+4>0恒成立,‎ 所以Δ=(t-1)2-16<0,解得-3<t<5.‎ ‎(3)因为f(1)=,所以a-=,‎ 即2a2-3a-2=0,‎ 所以a=2或a=-(舍去).‎ 所以g(x)=22x+2-2x-2m(2x-2-x)‎ ‎=(2x-2-x)2-2m(2x-2-x)+2.‎ 令n=f(x)=2x-2-x,‎ 因为f(x)=2x-2-x为增函数,x≥1,‎ 所以n≥k(1)=.‎ 令h(n)=n2-2mn+2=(n-m)2+2-m2.‎ 若m≥时,则当n=m时,h(n)min=2-m2=-2,所以m=2.‎ 若m<,则当n=时,h(n)min=-3m=-2,所以m=>(舍去).‎ 综上可知,m=2.‎ ‎21.(本小题满分12分)(2017·大同模拟)已知函数f(x)=x-(a+1)·ln x-(a∈R),g(x)=x2+ex-xex.‎ ‎(1)当x∈[1,e]时,求f(x)的最小值;‎ ‎(2)当a<1时,若存在x1∈[e,e2],使得对任意的x2∈[-2,0],f(x1)<g(x2)恒成立,求a的取值范围.‎ ‎[解] (1)f(x)的定义域为(0,+∞),‎ f′(x)=.‎ ‎①当a≤1时,x∈[1,e]时,f′(x)≥0,‎ f(x)为增函数,f(x)min=f(1)=1-a.‎ ‎②当1<a<e时,‎ x∈[1,a]时,f′(x)≤0,f(x)为减函数;‎ x∈(a,e]时,f′(x)>0,f(x)为增函数.‎ 所以x∈[1,e]时,f(x)min=f(a)=a-(a+1)·ln a-1.‎ ‎③当a≥e时,x∈[1,e]时,f′(x)≤0,‎ f(x)在[1,e]上为减函数.‎ f(x)min=f(e)=e-(a+1)-.‎ 综上,在x∈[1,e]上,当a≤1时,f(x)min=1-a;‎ 当1<a<e时,f(x)min=a-(a+1)ln a-1;‎ 当a≥e时,f(x)min=e-(a+1)-.‎ ‎(2)由题意知,当a<1时,f(x)(x∈[e,e2])的最小值小于g(x)(x∈[-2,0])的最小值.‎ 由(1)可知,当a<1时,f(x)在[e,e2]上单调递增,‎ 则f(x)min=f(e)=e-(a+1)-,‎ 又g′(x)=(1-ex)x,‎ 当x∈[-2,0]时,g′(x)≤0,g(x)为减函数,g(x)min=g(0)=1,‎ 所以e-(a+1)-<1,即a>,‎ 所以a的取值范围为.‎ ‎22.(本小题满分12分)设函数f(x)=eax(a∈R).‎ ‎(1)当a=-2时,求函数g(x)=x2f(x)在区间(0,+∞)内的最大值;‎ ‎(2)若函数h(x)=-1在区间(0,16)内有两个零点,求实数a的取值范围.‎ ‎[解] (1)当a=-2时,函数f(x)=e-2x,所以函数g(x)=x2e-2x,‎ 所以g′(x)=2xe-2x+x2e-2x·(-2)‎ ‎=2x(1-x)e-2x,‎ 令g′(x)=0,解得x=0或x=1.‎ 所以当x∈(0,1)时,g′(x)>0,g(x)是增函数,‎ 当x∈(1,+∞)时,g′(x)<0,g(x)是减函数,‎ 所以在区间(0,+∞)内g(x)的最大值是g(1)=e-2.‎ ‎(2)因为函数h(x)=-1=x2e-ax-1,‎ 所以h′(x)=2xe-ax+x2(-a)e-ax ‎=e-ax(-ax2+2x),‎ 令h′(x)=0,因为e-ax>0,‎ 所以-ax2+2x=0,解得x=0或x=(a≠0).‎ 又h(x)在(0,16)内有两个零点,‎ 所以h(x)在(0,16)内不是单调函数,‎ 所以∈(0,16),解得a>.①‎ 又x∈时,h′(x)>0,h(x)是增函数,‎ x∈时,h′(x)<0,h(x)是减函数,‎ 所以在(0,16)上h(x)max=h ‎=e-2-1.‎ 令e-2-1>0,解得-<a<.②‎ 又即 解得a>ln 2.③‎ 解①②③组成不等式组,解得ln 2<a<.‎ 所以实数a的取值范围是ln 2<a<.‎

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