数学卷·2018届四川省成都市新都一中高二上学期10月月考数学文试卷 （解析版） 17页

‎2016-2017学年四川省成都市新都一中高二（上）10月月考数学试卷（文科）‎ ‎　‎ 一、选择题.‎ ‎1．下列说法中正确的是（　　）‎ A．一条直线和x轴的正方向所成的正角，叫做这条直线的倾斜角 B．直线的倾斜角α的取值范围是第一或第二象限角 C．和x轴平行的直线，它的倾斜角为180○‎ D．每一条直线都是存在倾斜角，但并非每一条直线都存在斜率 ‎2．棱长为2个单位的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，以DA，DC，DD1分为x，y，z 坐标轴，则A1D1的中点E的坐标为（　　）‎ A．（1，1，2） B．（1，0，2） C．（2，1，0） D．（2，1，1）‎ ‎3．已知直线l过圆x2+（y﹣3）2=4的圆心，且与直线x+y+1=0垂直，则l的方程是（　　）‎ A．x+y﹣2=0 B．x﹣y+2=0 C．x+y﹣3=0 D．x﹣y+3=0‎ ‎4．已知m，n表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是（　　）‎ A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m⊥α，n⊂α，则m⊥n C．若m⊥α，m⊥n，则n∥α D．若m∥α，m⊥n，则n⊥α ‎5．直线ax+by+c=0同时要经过第一、二、四象限，则a，b，c应满足（　　）‎ A．ab＞0，bc＜0 B．ab＜0，bc＞0 C．ab＞0，bc＞0 D．ab＜0，bc＜0‎ ‎6．若圆C1：x2+y2=1与圆C2：x2+y2﹣6x﹣8y+m=0外切，则m=（　　）‎ A．21 B．19 C．9 D．﹣11‎ ‎7．已知直线ax+by+c=0（abc≠0）与圆x2+y2=1相切，则三条边长分别为|a|、|b|、|c|的三角形（　　）‎ A．是锐角三角形 B．是直角三角形 C．是钝角三角形 D．不存在 ‎8．能够把圆O：x2+y2=25的周长和面积同时分为相等的两部分的函数称为圆O的“太极函数”，下列函数不是圆O的“太极函数”的是（　　）‎ A．f（x）=4x3+x B．f（x）=ln C．f（x）=tan D．f（x）=ex+e﹣x ‎9．已知x、y满足以下约束条件，使z=x+ay（a＞0）取得最小值的最优解有无数个，则a的值为（　　）‎ A．﹣3 B．3 C．﹣1 D．1‎ ‎10．若圆x2+y2+2x﹣4y+1=0上的任意一点关于直线2ax﹣by+2=0（a，b∈R+）的对称点仍在圆上，则+最小值为（　　）‎ A．4 B．2 C．3+2 D．3+4‎ ‎11．正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积是（　　）‎ A．16π B． C．9π D．‎ ‎12．设m∈R，过定点A的动直线x+my=0和过定点B的直线mx﹣y﹣m+3=0交于点P（x，y），则|PA|+|PB|的取值范围是（　　）‎ A．[，2] B．[，2] C．[，4] D．[2，4]‎ ‎　‎ 二、填空题 ‎13．已知直线l1：（m+3）x+4y=5和l2：2x+（m+5）y=8，当l1⊥l2时，求实数m的值　　．‎ ‎14．圆心在直线x﹣2y=0上的圆C与y轴的正半轴相切，圆C截x轴所得弦的长为2，则圆C的标准方程为　　．‎ ‎15．半径为2cm的半圆纸片做成圆锥放在桌面上，它的最高处距离桌面　　cm．‎ ‎16．已知圆O：x2+y2=1和点A（﹣2，0），若定点B（b，0）（b≠﹣2）和常数λ满足：对圆O上任意一点M，都有|MB|=λ|MA|，则：‎ ‎（Ⅰ）b=　　；‎ ‎（Ⅱ）λ=　　．‎ ‎　‎ 三、解答题 ‎17．（10分）（1）求过点（1，3）且在两坐标轴上截距相等的直线方程 ‎（2）求到直线2x+3y﹣5=0和4x+6y+8=0的距离相等点的轨迹．‎ ‎18．（12分）已知圆C：x2+y2﹣4x﹣5=0，‎ ‎（1）过点M（﹣4，0）作圆C的切线，求切线的方程；‎ ‎（2）若圆C的弦AB的中点P（3，1），求AB所在直线方程．‎ ‎19．（12分）如表给出了甲、乙、丙三种食品的维生素A，B的含量及成本：‎ 甲 乙 丙 A（单位/千克）‎ ‎400‎ ‎600‎ ‎400‎ B（单位/千克）‎ ‎800‎ ‎200‎ ‎400‎ 成本 ‎7‎ ‎6‎ ‎5‎ 营养师想购买这三种食品共10kg，使其维生素A不少于4400单位，维生素B不少于4800单位，问：三种食品各购多少时，既能满足上述条件，又能使成本最低？最低成本是多少？‎ ‎20．（12分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱垂直于底面，AB⊥BC，AA1=AC=2，BC=1，E、F分别为A1C1、BC的中点．‎ ‎（1）求证：平面ABE⊥平面B1BCC1；‎ ‎（2）求证：C1F∥平面ABE；‎ ‎（3）求三棱锥E﹣ABC的体积．‎ ‎21．（12分）已知圆C：x2+y2﹣2x+4y﹣4=0，‎ ‎（1）求圆心和半径 ‎（2）是否存在斜率为1的直线l，使l被圆C截得的弦AB为直径的圆过原点．若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．‎ ‎22．（12分）已知点P（2，2），圆C：x2+y2﹣8y=0，过点P的动直线l与圆C交于A，B两点，线段AB的中点为M，O为坐标原点．‎ ‎（1）求M的轨迹方程；‎ ‎（2）当|OP|=|OM|时，求l的方程及△POM的面积．‎ ‎（3）在（2）的条件下过圆C：x2+y2﹣8y=0和l交点且面积最小的圆的方程．‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年四川省成都市新都一中高二（上）10月月考数学试卷（文科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题.‎ ‎1．（2016秋•成都校级月考）下列说法中正确的是（　　）‎ A．一条直线和x轴的正方向所成的正角，叫做这条直线的倾斜角 B．直线的倾斜角α的取值范围是第一或第二象限角 C．和x轴平行的直线，它的倾斜角为180○‎ D．每一条直线都是存在倾斜角，但并非每一条直线都存在斜率 ‎【考点】确定直线位置的几何要素．‎ ‎【专题】转化思想；直线与圆．‎ ‎【分析】利用直线倾斜角的定义及其范围即可判断出结论．‎ ‎【解答】解：A．一条直线和x轴的正方向所成的角，叫做这条直线的倾斜角，当直线与x轴平行或重合时，规定其倾斜角为0°，其范围是[0°，180°），因此不正确．‎ B．直线的倾斜角α的取值范围是[0°，180°），因此不正确．‎ C．和x轴平行的直线，它的倾斜角为0°，因此不正确；‎ D．每一条直线都是存在倾斜角，但并非每一条直线都存在斜率，例如倾斜角为90°的直线没有斜率，因此正确．‎ ‎【点评】本题考查了直线倾斜角的定义及其范围，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎2．（2016秋•成都校级月考）棱长为2个单位的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，以DA，DC，DD1分为x，y，z 坐标轴，则A1D1的中点E的坐标为（　　）‎ A．（1，1，2） B．（1，0，2） C．（2，1，0） D．（2，1，1）‎ ‎【考点】空间中的点的坐标．‎ ‎【专题】计算题；数形结合；数形结合法；空间向量及应用．‎ ‎【分析】分别求出A1（2，0，2），D1（0，0，2），由此利用中点坐标公式能求出A1D1的中点E的坐标．‎ ‎【解答】解：棱长为2个单位的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，‎ 以DA，DC，DD1分为x，y，z 坐标轴，‎ 建立空间直角坐标系，‎ 则A1（2，0，2），D1（0，0，2），‎ A1D1的中点E的坐标E（1，0，2）．‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查线段中点坐标的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意中点坐标公式的合理运用．‎ ‎　‎ ‎3．（2014•福建）已知直线l过圆x2+（y﹣3）2=4的圆心，且与直线x+y+1=0垂直，则l的方程是（　　）‎ A．x+y﹣2=0 B．x﹣y+2=0 C．x+y﹣3=0 D．x﹣y+3=0‎ ‎【考点】直线与圆的位置关系．‎ ‎【专题】直线与圆．‎ ‎【分析】由题意可得所求直线l经过点（0，3），斜率为1，再利用点斜式求直线l的方程．‎ ‎【解答】解：由题意可得所求直线l经过点（0，3），斜率为1，‎ 故l的方程是 y﹣3=x﹣0，即x﹣y+3=0，‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题主要考查用点斜式求直线的方程，两条直线垂直的性质，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎4．（2014•辽宁）已知m，n表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是（　　）‎ A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m⊥α，n⊂α，则m⊥n C．若m⊥α，m⊥n，则n∥α D．若m∥α，m⊥n，则n⊥α ‎【考点】空间中直线与直线之间的位置关系．‎ ‎【专题】空间位置关系与距离．‎ ‎【分析】A．运用线面平行的性质，结合线线的位置关系，即可判断；‎ B．运用线面垂直的性质，即可判断；‎ C．运用线面垂直的性质，结合线线垂直和线面平行的位置即可判断；‎ D．运用线面平行的性质和线面垂直的判定，即可判断．‎ ‎【解答】解：A．若m∥α，n∥α，则m，n相交或平行或异面，故A错；‎ B．若m⊥α，n⊂α，则m⊥n，故B正确；‎ C．若m⊥α，m⊥n，则n∥α或n⊂α，故C错；‎ D．若m∥α，m⊥n，则n∥α或n⊂α或n⊥α，故D错．‎ 故选B．‎ ‎【点评】本题考查空间直线与平面的位置关系，考查直线与平面的平行、垂直的判断与性质，记熟这些定理是迅速解题的关键，注意观察空间的直线与平面的模型．‎ ‎　‎ ‎5．（2006秋•天宁区校级期末）直线ax+by+c=0同时要经过第一、二、四象限，则a，b，c应满足（　　）‎ A．ab＞0，bc＜0 B．ab＜0，bc＞0 C．ab＞0，bc＞0 D．ab＜0，bc＜0‎ ‎【考点】直线的图象特征与倾斜角、斜率的关系．‎ ‎【专题】探究型．‎ ‎【分析】由题意可得斜率小于0，在y轴上的截距大于0，即 ，即a、b同号，b、c异号，从而得到答案．‎ ‎【解答】解：由于直线ax+by+c=0同时要经过第一、二、四象限，故斜率小于0，在y轴上的截距大于0，‎ 故 ，故ab＞0，bc＜0，‎ 故选A．‎ ‎【点评】本小题主要考查直线的图象特征与倾斜角、斜率的关系、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎6．（2014•湖南）若圆C1：x2+y2=1与圆C2：x2+y2﹣6x﹣8y+m=0外切，则m=（　　）‎ A．21 B．19 C．9 D．﹣11‎ ‎【考点】圆的切线方程．‎ ‎【专题】直线与圆．‎ ‎【分析】化两圆的一般式方程为标准方程，求出圆心和半径，由两圆心间的距离等于半径和列式求得m值．‎ ‎【解答】解：由C1：x2+y2=1，得圆心C1（0，0），半径为1，‎ 由圆C2：x2+y2﹣6x﹣8y+m=0，得（x﹣3）2+（y﹣4）2=25﹣m，‎ ‎∴圆心C2（3，4），半径为．‎ ‎∵圆C1与圆C2外切，‎ ‎∴，‎ 解得：m=9．‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查两圆的位置关系，考查了两圆外切的条件，是基础题．‎ ‎　‎ ‎7．（2003•北京）已知直线ax+by+c=0（abc≠0）与圆x2+y2=1相切，则三条边长分别为|a|、|b|、|c|的三角形（　　）‎ A．是锐角三角形 B．是直角三角形 C．是钝角三角形 D．不存在 ‎【考点】圆的切线方程；直线与圆的位置关系．‎ ‎【专题】计算题；综合题；压轴题．‎ ‎【分析】直线ax+by+c=0（abc≠0）与圆x2+y2=1相切，就是圆心到中心的距离等于半径，推出a、b、c的关系，然后判定即可．‎ ‎【解答】解：由题意得=1，即c2=a2+b2，‎ ‎∴由|a|、|b|、|c|构成的三角形为直角三角形．‎ 故选B．‎ ‎【点评】本题考查圆的切线方程，中心与圆的位置关系，是基础题．‎ ‎　‎ ‎8．（2014•漳州一模）能够把圆O：x2+y2=25的周长和面积同时分为相等的两部分的函数称为圆O的“太极函数”，下列函数不是圆O的“太极函数”的是（　　）‎ A．f（x）=4x3+x B．f（x）=ln C．f（x）=tan D．f（x）=ex+e﹣x ‎【考点】圆的标准方程．‎ ‎【专题】直线与圆．‎ ‎【分析】由题意可得，圆O的“太极函数”应该为奇函数，结合所给的选项，只有D中的函数不是奇函数，从而得到结论．‎ ‎【解答】解：圆O：x2+y2=25的圆心在原点，半径等于5，‎ 由题意可得，圆O的“太极函数”应该为奇函数，‎ 结合所给的选项，A、B、C中的函数都是奇函数，而D中的函数为偶函数，‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题主要考查新定义，函数的奇偶性的应用，体现了转化的数学思想，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎9．（2014•岳麓区校级模拟）已知x、y满足以下约束条件，使z=x+ay（a＞0）取得最小值的最优解有无数个，则a的值为（　　）‎ A．﹣3 B．3 C．﹣1 D．1‎ ‎【考点】简单线性规划的应用．‎ ‎【专题】计算题；数形结合．‎ ‎【分析】先根据约束条件画出可行域，由z=x+ay，利用z的几何意义求最值，要使得取得最小值的最优解有无数个，只需直线z=x+ay与可行域的边界AC平行时，从而得到a值即可．‎ ‎【解答】解：∵z=x+ay则y=﹣x+z，为直线y=﹣x+在y轴上的截距 要使目标函数取得最小值的最优解有无穷多个，‎ 则截距最小时的最优解有无数个．‎ ‎∵a＞0‎ 把x+ay=z平移，使之与可行域中的边界AC重合即可，‎ ‎∴﹣a=﹣1‎ ‎∵a=1‎ 故选D．‎ ‎【点评】本题主要考查了简单线性规划的应用、二元一次不等式（组）与平面区域等知识，解题的关键是明确z的几何意义，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎10．（2014•茂名一模）若圆x2+y2+2x﹣4y+1=0上的任意一点关于直线2ax﹣by+2=0（a，b∈R+）的对称点仍在圆上，则+最小值为（　　）‎ A．4 B．2 C．3+2 D．3+4‎ ‎【考点】圆的一般方程．‎ ‎【专题】直线与圆．‎ ‎【分析】由题意可得直线2ax﹣by+2=0过圆心（﹣1，2），即a+b=1，再根据+=（+）（a+b）=3++，利用基本不等式求得它的最小值．‎ ‎【解答】解：∵圆x2+y2+2x﹣4y+1=0上的任意一点关于直线2ax﹣by+2=0的对称点仍在圆上，‎ 则直线2ax﹣by+2=0过圆心（﹣1，2），即a+b=1，‎ 则+=（+）（a+b）=3++≥3+2，当且仅当=时，取等号，‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题主要考查圆的一般方程，圆关于直线对称问题，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎11．（2016秋•成都校级月考）正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积是（　　）‎ A．16π B． C．9π D．‎ ‎【考点】球的体积和表面积．‎ ‎【专题】综合题；方程思想；综合法；立体几何．‎ ‎【分析】正四棱锥P﹣ABCD的外接球的球心在它的高PE上，求出球的半径，求出球的表面积．‎ ‎【解答】解：如图，正四棱锥P﹣ABCD中，PE为正四棱锥的高，根据球的相关知识可知，正四棱锥的外接球的球心O必在正四棱锥的高线PE所在的直线上，延长PE交球面于一点F，连接AE，AF，由球的性质可知△PAF为直角三角形且AE⊥PF，‎ 根据平面几何中的射影定理可得PA2=PF•PE，‎ 因为AE==，‎ 所以侧棱长PA==3，PF=2R，‎ 所以18=2R×4，所以R=，‎ 所以S=4πR2=‎ 故选B．‎ ‎【点评】本题考查球的表面积，球的内接几何体问题，考查计算能力，是基础题．‎ ‎　‎ ‎12．（2014•四川）设m∈R，过定点A的动直线x+my=0和过定点B的直线mx﹣y﹣m+3=0交于点P（x，y），则|PA|+|PB|的取值范围是（　　）‎ A．[，2] B．[，2] C．[，4] D．[2，4]‎ ‎【考点】两条直线的交点坐标；函数最值的应用．‎ ‎【专题】直线与圆．‎ ‎【分析】可得直线分别过定点（0，0）和（1，3）且垂直，可得|PA|2+|PB|2=10．三角换元后，由三角函数的知识可得．‎ ‎【解答】解：由题意可知，动直线x+my=0经过定点A（0，0），‎ 动直线mx﹣y﹣m+3=0即 m（x﹣1）﹣y+3=0，经过点定点B（1，3），‎ ‎∵动直线x+my=0和动直线mx﹣y﹣m+3=0的斜率之积为﹣1，始终垂直，‎ P又是两条直线的交点，∴PA⊥PB，∴|PA|2+|PB|2=|AB|2=10．‎ 设∠ABP=θ，则|PA|=sinθ，|PB|=cosθ，‎ 由|PA|≥0且|PB|≥0，可得θ∈[0，]‎ ‎∴|PA|+|PB|=（sinθ+cosθ）=2sin（θ+），‎ ‎∵θ∈[0，]，∴θ+∈[，]，‎ ‎∴sin（θ+）∈[，1]，‎ ‎∴2sin（θ+）∈[，2]，‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查直线过定点问题，涉及直线的垂直关系和三角函数的应用，属中档题．‎ ‎　‎ 二、填空题 ‎13．（2016秋•成都校级月考）已知直线l1：（m+3）x+4y=5和l2：2x+（m+5）y=8，当l1⊥l2时，求实数m的值　　．‎ ‎【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系．‎ ‎【专题】分类讨论；方程思想；直线与圆．‎ ‎【分析】对m及其直线斜率分类讨论，利用直线相互垂直的充要条件即可得出．‎ ‎【解答】解：当m=﹣3或﹣5时，都不满足l1⊥l2，舍去．‎ 当m≠﹣3或﹣5时，∵l1⊥l2，∴×=﹣1，解得m=﹣．‎ 故答案为：﹣．‎ ‎【点评】本题考查了直线相互垂直的充要条件，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎14．（2014•山东）圆心在直线x﹣2y=0上的圆C与y轴的正半轴相切，圆C截x轴所得弦的长为2，则圆C的标准方程为　（x﹣2）2+（y﹣1）2=4　．‎ ‎【考点】圆的标准方程．‎ ‎【专题】直线与圆．‎ ‎【分析】由圆心在直线x﹣2y=0上，设出圆心坐标，再根据圆与y轴相切，得到圆心到y轴的距离即圆心横坐标的绝对值等于圆的半径，表示出半径r，由弦长的一半，圆的半径r及表示出的d利用勾股定理列出关于t的方程，求出方程的解得到t的值，从而得到圆心坐标和半径，根据圆心和半径写出圆的方程即可．‎ ‎【解答】解：设圆心为（2t，t），半径为r=|2t|，‎ ‎∵圆C截x轴所得弦的长为2，‎ ‎∴t2+3=4t2，‎ ‎∴t=±1，‎ ‎∵圆C与y轴的正半轴相切，‎ ‎∴t=﹣1不符合题意，舍去，‎ 故t=1，2t=2，‎ ‎∴（x﹣2）2+（y﹣1）2=4．‎ 故答案为：（x﹣2）2+（y﹣1）2=4．‎ ‎【点评】此题综合考查了垂径定理，勾股定理及点到直线的距离公式．根据题意设出圆心坐标，找出圆的半径是解本题的关键．‎ ‎　‎ ‎15．（2016秋•成都校级月考）半径为2cm的半圆纸片做成圆锥放在桌面上，它的最高处距离桌面　　cm．‎ ‎【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．‎ ‎【专题】综合题；方程思想；演绎法；立体几何．‎ ‎【分析】根据折叠原理，折叠前半圆的弧长为圆锥的底面周长即：2πr=πR，找到两者的关系，再求得圆锥的高，利用等面积法求得底面圆心到母线的距离，再乘以2，即为最高处距桌面的距离．‎ ‎【解答】解：设圆的半径为R，圆锥的底面半径为r，高为h，最高处距桌面距离为：H 根据题意：2πr=πR ‎∴R=2r ‎∴h==r ‎∴最高处距桌面距离：H=2=cm．‎ 故答案为．‎ ‎【点评】本题是一道折叠题，主要考查折叠前后线线，线面，面面关系的不变和改变，解题时要前后对应，仔细论证，属中档题．‎ ‎　‎ ‎16．（2014•湖北）已知圆O：x2+y2=1和点A（﹣2，0），若定点B（b，0）（b≠﹣2）和常数λ满足：对圆O上任意一点M，都有|MB|=λ|MA|，则：‎ ‎（Ⅰ）b=　﹣　；‎ ‎（Ⅱ）λ=　　．‎ ‎【考点】三点共线．‎ ‎【专题】直线与圆．‎ ‎【分析】（Ⅰ）利用|MB|=λ|MA|，可得（x﹣b）2+y2=λ2（x+2）2+λ2y2，由题意，取（1，0）、（﹣1，0）分别代入，即可求得b；‎ ‎（Ⅱ）取（1，0）、（﹣1，0）分别代入，即可求得λ．‎ ‎【解答】解：解法一：设点M（cosθ，sinθ），则由|MB|=λ|MA|得（cosθ﹣b）2+sin2θ=λ2[（cosθ+2）2+sin2θ]，即 ‎﹣2bcosθ+b2+1=4λ2cosθ+5λ2对任意θ都成立，所以．又由|MB|=λ|MA|得λ＞0，且b≠﹣2，解得．‎ 解法二：（Ⅰ）设M（x，y），则 ‎∵|MB|=λ|MA|，‎ ‎∴（x﹣b）2+y2=λ2（x+2）2+λ2y2，‎ 由题意，取（1，0）、（﹣1，0）分别代入可得（1﹣b）2=λ2（1+2）2，（﹣1﹣b）2=λ2（﹣1+2）2，‎ ‎∴b=﹣，λ=．‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知λ=．‎ 故答案为：﹣，．‎ ‎【点评】本题考查圆的方程，考查赋值法的运用，考查学生的计算能力，属于基础题．‎ ‎　‎ 三、解答题 ‎17．（10分）（2016秋•成都校级月考）（1）求过点（1，3）且在两坐标轴上截距相等的直线方程 ‎（2）求到直线2x+3y﹣5=0和4x+6y+8=0的距离相等点的轨迹．‎ ‎【考点】待定系数法求直线方程．‎ ‎【专题】对应思想；待定系数法；直线与圆．‎ ‎【分析】（1）根据直线截距相等，利用待定系数法进行求解，‎ ‎（2）先判断两条直线为平行线，结合平行线的距离公式建立方程条件进行求解即可．‎ ‎【解答】解：（1）当所求的直线与两坐标轴的截距为0时，即直线过原点时，设该直线的方程为y=kx，‎ 吧（1，3）代入y=kx得，k=3，此时方程为y=3x ‎①当直线不过原点时，设方程为，即直线的方程为x+y=a，‎ 把（1，3）代入所设的方程得：a=3，则所求直线的方程为x+y=3即x+y﹣3=0；‎ 综上直线方程为y=3x，y=﹣x+4．‎ ‎（2）∵直线2x+3y﹣5=0即4x+6y﹣10=0与4x+6y+8=0是两条平行线，‎ 则设与它们等距离的平行线的方程为：4x+6y+b=0，‎ 由题意可得：=．‎ 即|b+10|=|b﹣8|，‎ 则b+10=b﹣8或b+10=﹣（b﹣8），‎ 即b=9．则定义的方程为4x+6y+9=0‎ ‎【点评】本题主要考查直线方程的求解，利用待定系数法以及平行线之间的距离公式解决本题的关键．‎ ‎　‎ ‎18．（12分）（2016秋•成都校级月考）已知圆C：x2+y2﹣4x﹣5=0，‎ ‎（1）过点M（﹣4，0）作圆C的切线，求切线的方程；‎ ‎（2）若圆C的弦AB的中点P（3，1），求AB所在直线方程．‎ ‎【考点】直线与圆的位置关系．‎ ‎【专题】综合题；方程思想；演绎法；直线与圆．‎ ‎【分析】（1）化圆的方程为标准方程，利用点线距离等于半径，可求切线方程，应注意有两条；‎ ‎（2）求出直线AB的斜率，即可求AB所在直线方程．‎ ‎【解答】解：（1）由C：x2+y2﹣4x﹣5=0得圆的标准方程为（x﹣2）2+y2=9．‎ 设过M（﹣4，0）的圆的切线方程为y=k（x+4），即kx﹣y+4k=0；‎ 所以d==3，解得k=±．‎ 于是切线方程为；‎ ‎（2）∵kCP=1，‎ ‎∴kAB=﹣1，‎ ‎∴AB所在直线方程y=﹣x+4．‎ ‎【点评】本题考查圆的切线，考查中点弦的问题，解题的关键是利用圆的特性，利用点到直线的距离公式求解．‎ ‎　‎ ‎19．（12分）（2016秋•成都校级月考）如表给出了甲、乙、丙三种食品的维生素A，B的含量及成本：‎ 甲 乙 丙 A（单位/千克）‎ ‎400‎ ‎600‎ ‎400‎ B（单位/千克）‎ ‎800‎ ‎200‎ ‎400‎ 成本 ‎7‎ ‎6‎ ‎5‎ 营养师想购买这三种食品共10kg，使其维生素A不少于4400单位，维生素B不少于4800单位，问：三种食品各购多少时，既能满足上述条件，又能使成本最低？最低成本是多少？‎ ‎【考点】简单线性规划的应用．‎ ‎【专题】不等式的解法及应用．‎ ‎【分析】设三种食品分别够x，y，z千克，根据题意得出关于x，y，z的不等式组，再利用z=10﹣x﹣y，得出成本最小时的x，y值．‎ ‎【解答】（II）由题意可得：，‎ 又∵z=10﹣x﹣y，‎ 所以，‎ 设成本为C，则C=7x+6y+5z=50+2x+y=50+（2x﹣y）+2y≥58，‎ 当且仅y=2，x=3时等号成立．‎ 所以，当x=3千克，y=2千克，z=5千克时，混合物成本最低，为58元．‎ ‎【点评】此题主要考查了简单线性规划的应用．根据已知得出不等式关系式，求出关于x，y的不等式组成立的条件是解题关键．‎ ‎　‎ ‎20．（12分）（2015•靖远县校级三模）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱垂直于底面，AB⊥BC，AA1=AC=2，BC=1，E、F分别为A1C1、BC的中点．‎ ‎（1）求证：平面ABE⊥平面B1BCC1；‎ ‎（2）求证：C1F∥平面ABE；‎ ‎（3）求三棱锥E﹣ABC的体积．‎ ‎【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；平面与平面垂直的判定．‎ ‎【专题】空间位置关系与距离．‎ ‎【分析】（1）证明AB⊥B1BCC1，可得平面ABE⊥B1BCC1；‎ ‎（2）证明C1F∥平面ABE，只需证明四边形FGEC1为平行四边形，可得C1F∥EG；‎ ‎（3）利用VE﹣ABC=S△ABC•AA1，可求三棱锥E﹣ABC的体积．‎ ‎【解答】解：（1）证明：∵三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱垂直于底面，‎ ‎∴BB1⊥AB，‎ ‎∵AB⊥BC，BB1∩BC=B，BB1，BC⊂平面B1BCC1，‎ ‎∴AB⊥平面B1BCC1，‎ ‎∵AB⊂平面ABE，‎ ‎∴平面ABE⊥平面B1BCC1；‎ ‎（Ⅱ）证明：取AB中点G，连接EG，FG，则 ‎∵F是BC的中点，‎ ‎∴FG∥AC，FG=AC，‎ ‎∵E是A1C1的中点，‎ ‎∴FG∥EC1，FG=EC1，‎ ‎∴四边形FGEC1为平行四边形，‎ ‎∴C1F∥EG，‎ ‎∵C1F⊄平面ABE，EG⊂平面ABE，‎ ‎∴C1F∥平面ABE；‎ ‎（3）解：∵AA1=AC=2，BC=1，AB⊥BC，‎ ‎∴AB=，‎ ‎∴VE﹣ABC=S△ABC•AA1=×（××1）×2=．‎ ‎【点评】本题考查线面平行、垂直的证明，考查三棱锥E﹣ABC的体积的计算，正确运用线面平行、垂直的判定定理是关键．‎ ‎　‎ ‎21．（12分）（2016秋•成都校级月考）已知圆C：x2+y2﹣2x+4y﹣4=0，‎ ‎（1）求圆心和半径 ‎（2）是否存在斜率为1的直线l，使l被圆C截得的弦AB为直径的圆过原点．若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．‎ ‎【考点】直线与圆的位置关系．‎ ‎【专题】综合题；方程思想；演绎法；直线与圆．‎ ‎【分析】（1）圆的标准方程为（x﹣1）2+（y+2）2=9，即可得到圆心和半径．‎ ‎（2）利用l被圆C截得的弦AB为直径的圆过原点，建立条件方程即可得到结论．‎ ‎【解答】解：（1）圆的标准方程为（x﹣1）2+（y+2）2=9，圆心C（1，﹣2），半径r=3；‎ ‎（2）圆C化成标准方程为（x﹣1）2+（y+2）2=9，假设存在以AB为直径的圆M，圆心M的坐标为（a，b）．‎ ‎∵CM⊥l，即kCM•kl=×1=﹣1，‎ ‎∴b=﹣a﹣1，‎ ‎∴直线l的方程为y﹣b=x﹣a，即x﹣y﹣2a﹣1=0，‎ ‎∴|CM|2=（）2=2（1﹣a）2，‎ ‎∴|MB|2=|CB|2﹣|CM|2=﹣2a2+4a+7，‎ ‎∵|MB|=|OM|，‎ ‎∴﹣2a2+4a+7=a2+b2，得a=﹣1或，‎ 当a=时，b=﹣，此时直线l的方程为x﹣y﹣4=0，‎ 当a=﹣1时，b=0，此时直线l的方程为x﹣y+1=0，‎ 故这样的直线l是存在的，方程为x﹣y﹣4=0或x﹣y+1=0．‎ ‎【点评】本题主要考查求圆的切线方程，直线和圆的位置关系应用，一元二次方程根与系数的关系，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎22．（12分）（2016秋•成都校级月考）已知点P（2，2），圆C：x2+y2﹣8y=0，过点P的动直线l与圆C交于A，B两点，线段AB的中点为M，O为坐标原点．‎ ‎（1）求M的轨迹方程；‎ ‎（2）当|OP|=|OM|时，求l的方程及△POM的面积．‎ ‎（3）在（2）的条件下过圆C：x2+y2﹣8y=0和l交点且面积最小的圆的方程．‎ ‎【考点】直线与圆的位置关系．‎ ‎【专题】综合题；转化思想；演绎法；直线与圆．‎ ‎【分析】（1）由圆C的方程求出圆心坐标和半径，设出M坐标，由与数量积等于0列式得M的轨迹方程；‎ ‎（2）设M的轨迹的圆心为N，由|OP|=|OM|得到ON⊥PM．求出ON所在直线的斜率，由直线方程的点斜式得到PM所在直线方程，由点到直线的距离公式求出O到l的距离，再由弦心距、圆的半径及弦长间的关系求出PM的长度，代入三角形面积公式得答案；‎ ‎（3）将直线与圆方程联立组成方程组，求出方程组的解得到两交点A与B的坐标，当圆面积最小时，弦AB为直径，利用两点间的距离公式求出|AB|的长，即为圆的直径，确定出圆的半径，利用线段中点坐标公式求出线段AB的中点坐标，即为圆心坐标，由圆心坐标和半径写出圆的标准方程即可．‎ ‎【解答】解：（1）圆C的方程可化为x2+（y﹣4）2=16，‎ 所以圆心为C（0，4），半径为4．‎ 设M（x，y），则=（x，y﹣4），=（2﹣x，2﹣y）．‎ 由题设知•=0，故x（2﹣x）+（y﹣4）（2﹣y）=0，即（x﹣1）2+（y﹣3）2=2．‎ 由于点P在圆C的内部，所以M的轨迹方程是（x﹣1）2+（y﹣3）2=2．‎ ‎（2）由（1）可知M的轨迹是以点N（1，3）为圆心，为半径的圆．‎ 由于|OP|=|OM|，故O在线段PM的垂直平分线上，又P在圆N上，从而ON⊥PM．‎ 因为ON的斜率为3，所以直线l的斜率为﹣，‎ 故l的方程为y=﹣x+．‎ 又|OM|=|OP|=2 ，O到直线l的距离为，‎ 故|PM|=，所以△POM的面积为．‎ ‎（3）联立y=﹣x+与圆C：x2+y2﹣8y=0‎ 得：5y2﹣28y+32=0，‎ 解得：y1=4，y2=，‎ 当弦AB为直径时，圆面积最小，‎ 则所求圆的直径为2R=|AB|==，‎ 圆心为AB中点C（﹣，），‎ 则所求面积最小的圆的方程是（x+）2+（y﹣）2=．‎ ‎【点评】本题考查圆的轨迹方程的求法，训练了利用向量数量积判断两个向量的垂直关系，训练了点到直线的距离公式的应用，是中档题．‎