高中数学选修2-2教学课件第四章 3_1 37页

第四章　定积分 §3 　 定积分的简单应用 3.1 　平面图形的面积 明目标 知重点 填 要点 记疑点 探 要点 究所然 内容 索引 01 02 03 当堂测 查疑缺 04 会应用定积分求两条或多条曲线围成的图形的面积 . 明目标、知重点 填要点 · 记疑点 求平面图形的面积 (1) 当 x ∈ [ a ， b ] 时，若 f ( x )>0 ，由直线 x ＝ a ， x ＝ b ( a ≠ b ) ， y ＝ 0 和曲线 y ＝ f ( x ) 所围成的曲边梯形的面积 S ＝ . (2) 当 x ∈ [ a ， b ] 时，若 f ( x )<0 ，由直线 x ＝ a ， x ＝ b ( a ≠ b ) ， y ＝ 0 和曲线 y ＝ f ( x ) 围成的曲边梯形的面积 S ＝ . (3) 当 x ∈ [ a ， b ] 时，若 f ( x )> g ( x )>0 ，由直线 x ＝ a ， x ＝ b ( a ≠ b ) 和曲线 y ＝ f ( x ) ， y ＝ g ( x ) 围成的平面图形的面积 S ＝ .( 如图 ) 探要点 · 究 所然 探究点一　求不分割型图形的面积 思考 　怎样利用定积分求不分割型图形的面积？ 答　 求由曲线围成的面积，要根据图形，确定积分上下限，用定积分来表示面积，然后计算定积分即可 . 例 1 　 计算由曲线 y 2 ＝ x ， y ＝ x 2 所围图形的面积 S . 因此，所求图形的面积为 S ＝ S 曲边梯形 OABC — S 曲边梯形 OABD 反思与感悟　 求由曲线围成图形面积的一般步骤： (1) 根据题意画出图形； (2) 找出范围，确定积分上、下限； (3) 确定被积函数； (4) 将面积用定积分表示； (5) 用微积分基本定理计算定积分，求出结果 . 跟踪训练 1 　求由抛物线 y ＝ x 2 － 4 与直线 y ＝－ x ＋ 2 所围成图形的面积 . 所以直线 y ＝－ x ＋ 2 与抛物线 y ＝ x 2 － 4 的交点为 ( － 3,5) 和 (2,0) ， 设 所求图形面积为 S ， 探究点二　分割型图形面积的求解 思考 　由两条或两条以上的曲线围成的较为复杂的图形，在不同的区间位于上方和下方的曲线不同时，这种图形的面积如何求？ 答　 求出曲线的不同的交点横坐标，将积分区间细化，分别求出相应区间曲边梯形的面积再求和，注意在每个区间上被积函数均是由上减下 . 例 2 　 计算由直线 y ＝ x － 4 ，曲线 y ＝ 以及 x 轴所围图形的面积 S . 直线 y ＝ x － 4 与 x 轴的交点为 (4,0). 因此，所求图形的面积为 S ＝ S 1 ＋ S 2 方法二　把 y 看成积分变量，则 反思与感悟　 两条或两条以上的曲线围成的图形，一定要确定图形范围，通过解方程组求出交点的坐标，定出积分上、下限，若积分变量选 x 运算较繁锁，则积分变量可选 y ，同时要更换积分上、下限 . 解　 画出图形，如图所示 . 得交点分别为 (1,1) ， (0,0) ， (3 ，－ 1) ， 探究点三　定积分的综合应用 例 3 　 在曲线 y ＝ x 2 ( x ≥ 0) 上某一点 A 处作一切线使之与曲线以及 x 轴所围成的面积 为 ， 试求： 切点 A 的坐标以及在切点 A 处的切线方程 . 解　 如图，设切点 A ( x 0 ， y 0 ) ， 其中 x 0 ≠ 0 ， 由 y ′ ＝ 2 x ，过点 A 的切线方程为 y － y 0 ＝ 2 x 0 ( x － x 0 ) ， 设由曲线和过点 A 的切线与 x 轴围成图形的面积为 S ， 则 S ＝ S 曲边 △ AOB － S △ ABC ， ∴ x 0 ＝ 1 ，从而切点为 A (1,1) ， 切线方程为 2 x － y － 1 ＝ 0. 反思与感悟　 本题综合考查了导数的意义以及定积分等知识，运用待定系数法，先设出切点的坐标，利用导数的几何意义，建立了切线方程，然后利用定积分以及平面几何的性质求出所围成的平面图形的面积，根据条件建立方程求解，从而使问题得以解决 . 跟踪训练 3 　如图所示，直线 y ＝ kx 分抛物线 y ＝ x － x 2 与 x 轴所围图形为面积相等的两部分，求 k 的值 . 解　 抛物线 y ＝ x － x 2 与 x 轴两交点的横坐标为 x 1 ＝ 0 ， x 2 ＝ 1 ， 由此可得，抛物线 y ＝ x － x 2 与 y ＝ kx 两交点的横坐标为 x 3 ＝ 0 ， x 4 ＝ 1 － k ， 当堂测 · 查 疑缺 1 2 3 1. 在下面所给图形的面积 S 及相应表达式中，正确的有 ( 　　 ) 4 1 2 3 4 A. ①③ B. ②③ C. ①④ D. ③④ 1 2 3 4 ③ 和 ④ 正确，故选 D. 答案　 D 2. 曲线 y ＝ cos x (0 ≤ x ≤ π ) 与坐标轴所围图形的面积是 ( 　　 ) A.2 B.3 C. D.4 1 2 3 4 解析　 1 2 3 4 ＝ 1 － 0 ＋ 1 ＋ 1 ＝ 3. 答案　 B 1 2 3 3. 由曲线 y ＝ x 2 与直线 y ＝ 2 x 所围成的平面图形的面积 为 ________. 4 ∴ 曲线 y ＝ x 2 与直线 y ＝ 2 x 交点为 (2,4) ， (0,0). 1 2 3 4 1 2 3 4 4. 由曲线 y ＝ x 2 ＋ 4 与直线 y ＝ 5 x ， x ＝ 0 ， x ＝ 4 所围成平面图形的面积是 ________. 解析　 由图形可得 1 2 3 4 呈 重点、现 规律 对于简单图形的面积求解，我们可直接运用定积分的几何意义，此时 (1) 确定积分上、下限，一般为两交点的横坐标 . (2) 确定被积函数，一般是上曲线与下曲线对应函数的差 . 这样所求的面积问题就转化为运用微积分基本定理计算定积分了 . 注意区别定积分与利用定积分计算曲线所围图形的面积：定积分可正、可负或为零；而平面图形的面积总是非负的 . 更多精彩内容请 登录 http ://www.91taoke.com 谢谢观看