2021届北师大版高考理科数一轮复习教师用书：第四章　第3讲　第2课时　简单的三角恒等变形 16页

第2课时　简单的三角恒等变形 ‎　　　　　　三角函数式的化简(师生共研)‎ ‎ (1)化简：＝________；‎ ‎(2)(一题多解)化简：sin2αsin2β＋cos2αcos2β－cos 2αcos 2β＝________．‎ ‎【解析】　(1)原式＝ ‎＝ ‎＝＝＝cos 2x.‎ ‎(2)法一：原式＝·＋·－cos 2αcos 2β＝‎ ＋‎ －cos 2αcos 2β＝＋cos 2αcos 2β－cos 2αcos 2β＝.‎ 法二：原式＝(1－cos2α)(1－cos2β)＋cos2αcos2β－(2cos2α－1)(2cos2β－1)‎ ‎＝1－cos2β－cos2α＋cos2αcos2β＋cos2αcos2β－(4cos2αcos2β－2cos2α－2cos2β＋1)‎ ‎＝1－cos2β－cos2α＋2cos2αcos2β－2cos2αcos2β＋cos2α＋cos2β－＝.‎ 法三：原式＝sin2αsin2β＋cos2αcos2β－(cos2α－sin2α)·(cos2β－sin2β)‎ ‎＝(2sin2αsin2β＋2cos2αcos2β－cos2αcos2β＋cos2αsin2β＋sin2αcos2β－sin2αsin2β)‎ ‎＝[sin2α(sin2β＋cos2β)＋cos2α(sin2β＋cos2β)]‎ ‎＝(sin2α＋cos2α)＝.‎ ‎【答案】　(1)cos 2x　(2) ‎(1)三角函数式的化简要遵循“三看”原则 ‎(2)三角函数式化简的方法 弦切互化，异名化同名，异角化同角，降幂或升幂．在三角函数式的化简中“次降角升”和“次升角降”是基本的规律，根号中含有三角函数式时，一般需要升次．　 ‎ ‎1．化简：＝________．‎ 解析：＝ ‎＝＝4sin α.‎ 答案：4sin α ‎2．化简：＝________(其中0<α<π)．‎ 解析：原式＝‎ ‎＝＝，‎ 因为0<α<π，所以0<<，‎ 故cos >0，‎ 所以原式＝cos α.‎ 答案：cos α ‎　　　　　　三角函数的求值(多维探究)‎ 角度一　给角求值 ‎ [2sin 50°＋sin 10°(1＋tan 10°)]·＝________．‎ ‎【解析】　原式＝‎ · ‎＝·cos 10°‎ ‎＝2[sin 50°·cos 10°＋sin 10°·cos(60°－10°)]‎ ‎＝2sin(50°＋10°)＝2×＝.‎ ‎【答案】　 该类问题中给出的角一般都不是特殊角，需要通过三角恒等变形将其变为特殊角，或者能够正负相消，或者能够约分相消，最后得到具体的值．　 ‎ 角度二　给值求值 ‎ (一题多解)已知cos＝，若π0，‎ 所以2sin α＝3cos α，又sin2α＋cos2α＝1，‎ 所以cos α＝，sin α＝，‎ 所以＝＝‎ ＝＝.‎ 答案： ‎3．已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝，tan β＝－，则2α－β的值为________．‎ 解析：因为tan α＝tan[(α－β)＋β]＝ ‎＝＝>0，所以0<α<.‎ 又因为tan 2α＝＝＝>0，‎ 所以0<2α<，‎ 所以tan(2α－β)＝＝＝1.‎ 因为tan β＝－<0，所以<β<π，－π<2α－β<0，‎ 所以2α－β＝－π.‎ 答案：－π ‎　　　　　　三角恒等变形的综合应用(师生共研)‎ ‎ 已知函数f(x)＝sin＋cos.‎ ‎(1)求函数f(x)在区间上的最值；‎ ‎(2)若cos θ＝，θ∈，求f的值．‎ ‎【解】　(1)由题意得f(x)＝sin＋cos ‎＝× ‎＝－sin.‎ 因为x∈，所以x－∈，‎ sin∈，‎ 所以－sin∈，‎ 即函数f(x)在区间上的最大值为，‎ 最小值为－.‎ ‎(2)因为cos θ＝，θ∈，‎ 所以sin θ＝－，‎ 所以sin 2θ＝2sin θcos θ＝－，‎ cos 2θ＝cos2θ－sin2θ＝－＝，‎ 所以f＝－sin ‎＝－sin ‎＝－(sin 2θ－cos 2θ)‎ ‎＝(cos 2θ－sin 2θ)‎ ‎＝＝.‎ 三角恒等变形的应用策略 ‎(1)进行三角恒等变换要抓住：变角、变函数名称、变结构，尤其是角之间的关系；注意公式的逆用和变形应用．‎ ‎(2)把形如y＝asin x＋bcos x化为y＝sin(x＋φ)，可进一步研究函数的周期、单调性、最值与对称性．　 ‎ ‎　已知函数f(x)＝cos2x＋sin xcos x，x∈R.　‎ ‎(1)求f的值；‎ ‎(2)若sin α＝，且α∈，求f.‎ 解：(1)f＝cos2＋sin cos ‎＝＋×＝.‎ ‎(2)因为f(x)＝cos2x＋sin xcos x＝＋sin 2x　‎ ‎＝＋(sin 2x＋cos 2x)＝＋sin，‎ 所以f＝＋sin ‎＝＋sin＝＋(sin α＋cos α)．‎ 又因为sin α＝，且α∈，‎ 所以cos α＝－，‎ 所以f＝＋ ‎＝.‎ ‎[基础题组练]‎ ‎1．若tan(α＋80°)＝4sin 420°，则tan(α＋20°)的值为(　　)‎ A．－　　　　　　　　 B． C. D． 解析：选D.由tan(α＋80°)＝4sin 420°＝4sin 60°＝2，得tan(α＋20°)＝tan[(α＋80°‎ ‎)－60°]＝＝＝.故选D.‎ ‎2．(2020·河南天一大联考阶段性测试(五))已知sin＝，则sin 4x的值为(　　)‎ A. B．± C. D．± 解析：选A.因为sin＝(cos 2x－sin 2x)＝，‎ 所以sin 2x－cos 2x＝－，‎ 所以(sin 2x－cos 2x)2＝1－2sin 2xcos 2x＝1－sin 4x＝，所以sin 4x＝，故选A.‎ ‎3．(2020·江西九江二模)若sin＝2cos αsin ，则＝(　　)‎ A. B． C．2 D．4‎ 解析：选B.因为sin＝2cos αsin ，‎ 所以sin αcos －cos αsin ＝2cos αsin ，‎ 所以sin αcos ＝3cos αsin .‎ 所以tan α＝3 tan ，‎ 所以＝ ‎＝＝＝＝.‎ 故选B.‎ ‎4．(2020·福建龙岩教学质量检查)若α∈，且3sin α＋2cos α＝2，则tan 等于(　　)‎ A. B． C. D． 解析：选D.3sin α＋2cos α ‎＝ ‎＝＝2，‎ 所以3tan ＋1－tan2＝tan2＋1，解得tan＝0或，又α∈(0，π)，所以tan ≠0，所以tan ＝，故选D.‎ ‎5．(2020·湖北八校联考)已知3π≤θ≤4π，且 ＋＝，则θ＝(　　)‎ A.或　　　　　　 B．或 C.或 D．或 解析：选D.因为3π≤θ≤4π，所以≤≤2π，所以cos ≥0，sin ≤0，则 ＋＝＋＝cos －sin ＝cos＝，所以cos＝，‎ 所以＋＝＋2kπ或＋＝－＋2kπ，k∈Z，即θ＝－＋4kπ或θ＝－＋4kπ，k∈Z.因为3π≤θ≤4π，所以θ＝或，故选D.‎ ‎6.的值为________．‎ 解析：原式＝＝＝.‎ 答案： ‎7．(2020·平顶山模拟)已知sin α＝－，若＝2，则tan(α＋β)＝________．‎ 解析：因为sin α＝－，α∈，所以cos α＝.由＝2，得sin(α＋β)＝2cos[(α＋β)－α]，即cos(α＋β)＝sin(α＋β)，所以tan(α＋β)＝.‎ 答案： ‎8．设α是第四象限角，若＝，则tan 2α＝________．‎ 解析：＝＝ ‎＝cos 2α＋2cos2α＝4cos2α－1＝，解得cos2α＝.‎ 因为α是第四象限角，所以cos α＝，sin α＝－，‎ 所以sin 2α＝2sin αcos α＝－，cos 2α＝2cos2α－1＝，‎ 所以tan 2α＝－.‎ 答案：－ ‎9．已知tan α＝－，cos β＝，α∈，β∈，求tan(α＋β)的值，并求出α＋β的值．‎ 解：由cos β＝，β∈，‎ 得sin β＝，tan β＝2.‎ 所以tan(α＋β)＝ ‎＝＝1.‎ 因为α∈，β∈，‎ 所以<α＋β<，‎ 所以α＋β＝.‎ ‎10．已知函数f(x)＝4tan x·sin·cos－.‎ ‎(1)求f(x)的定义域与最小正周期；‎ ‎(2)讨论f(x)在区间上的单调性．‎ 解：(1)f(x)的定义域为.‎ f(x)＝4tan xcos xcos－ ‎＝4sin xcos－ ‎＝4sin x－ ‎＝2sin xcos x＋2sin2x－ ‎＝sin 2x＋(1－cos 2x)－ ‎＝sin 2x－cos 2x＝2sin.‎ 所以f(x)的最小正周期T＝＝π.‎ ‎(2)因为x∈，‎ 所以2x－∈，‎ 由y＝sin x的图象可知，当2x－∈，‎ 即x∈时，f(x)递减；当2x－∈，即x∈时，f(x)递增．‎ 所以当x∈时，f(x)在区间上递增，在区间上递减．‎ ‎[综合题组练]‎ ‎1．设α∈，β∈，且tan α＝，则下列结论中正确的是(　　)‎ A．α－β＝ B．α＋β＝ C．2α－β＝ D．2α＋β＝ 解析：选A.tan α＝＝＝＝ ‎＝tan.因为α∈，β＋∈，所以α＝β＋，即α－β＝.‎ ‎2．若sin 2α＝，sin(β－α)＝，且α∈，β∈，则α＋β的值是(　　)‎ A. B． C.或 D．或 解析：选A.因为α∈，β∈，‎ 所以2α∈.‎ 又0