数学理卷·2017届四川省南充市高三第一次诊断性考试（2017 9页

四川省南充市2017届高三第一次高考适应性考试 数学试题（理科）‎ 第Ⅰ卷（选择题 共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.若集合，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2.若复数，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎3.已知向量，，若，则锐角为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎4.设，则（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎5.已知等差数列的公差为2，若成等比数列，则等于（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎6.如图是一个几何体的正视图与侧视图，其俯视图是面积为的矩形，则该几何体的表面积是（ ）‎ A． B． C.8 D．16‎ ‎7.某程序框图如图所示，执行该程序，若输入4，则输出（ ）‎ A．10 B．17 C.19 D．36‎ ‎8.已知点是圆内的一点，直线是以点为中点的弦所在的直线，直线的方程为，那么（ ）‎ A．，且与圆相交 B．，且与圆相切 ‎ C.，且与圆相离 D．，且与圆相离 ‎9.设，则（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎10.如果一个球的外切圆锥的高是这个球的半径的3倍，则圆锥的侧面积和球的表面积之比为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎11.已知抛物线，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于两点，若线段的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎12.已知是三次函数的两个极值点，且，，，则的取值范围是（ ）‎ A． B． C. D．‎ 第Ⅱ卷（非选择题 共90分）‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13.的展开式中，的系数是 （用数学填写答案）；‎ ‎14.若，则的最小值是 ．‎ ‎15.如果函数，函数为奇函数，是的导函数，则 ．‎ ‎16.已知正数数列的前项和，则 ．‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17. （本小题满分12分）‎ 的内角的对边分别为，已知.‎ ‎（Ⅰ）求；‎ ‎（Ⅱ）若，，求的面积.‎ ‎18. （本小题满分12分）‎ 某示范高中为了推进新课程改革，满足不同层次学生的需求，决定从高一年级开始，在每周周一、周三、周五的课外活动期间同时开设数学、物理、化学、生物和信息技术辅导讲座，每位有兴趣的同学可以在期间任何一天参加任何一门科目的辅导讲座，也可以放弃任何一门科目的辅导讲座.（规定：各科达到预先设定的人数时称为满座，否则称为不满座）统计数据表明，各讲座各天的满座概率如下表：‎ 信息技术 生物 化学 物理 数学 周一 周三 周五 ‎（Ⅰ）求数学辅导在周一、周三、周五都不满座的概率；‎ ‎（Ⅱ）设周三各辅导讲座满座的科目数为，求的分布列和数学期望.‎ ‎19. （本小题满分12分）‎ 如图，是菱形，平面，，.‎ ‎（Ⅰ）求证：平面平面；‎ ‎（Ⅱ）求二面角的余弦值.‎ ‎20. （本小题满分12分）‎ 已知椭圆的离心率为，两焦点之间的距离为4.‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的标准方程；‎ ‎（Ⅱ）过椭圆的右顶点作直线交抛物线于两点，求证：（为坐标原点）.‎ ‎21. （本小题满分12分）‎ 已知函数（为常数，）.‎ ‎（Ⅰ）当时，求函数在点的切线方程 ‎（Ⅱ）求的单调区间；‎ ‎（Ⅲ）若在处取得极值，且，而在上恒成立，求实数的取值范围.（其中为自然对数的底数）‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.‎ ‎22. （本小题满分10分）‎ 在直角坐标系中，直线的参数方程为，（为参数），在极坐标系（与直角坐标系取相同的单位长度，且以原点为极点，以轴正半轴为极轴）中，圆的方程为.‎ ‎（Ⅰ）求圆在直角坐标系中的方程；‎ ‎（Ⅱ）若圆与直线相切，求实数的值.‎ ‎23. （本小题满分10分）‎ 已知函数.‎ ‎（Ⅰ）当时，求函数的最大值；‎ ‎（Ⅱ）解关于的不等式.‎ 四川省南充市2017届高三第一次高考适应性考试 数学试题（理科）参考答案及评分意见 一、选择题 ‎1-5:BACDB 6-10:ACCDD 11、12：BA 二、填空题 ‎13.80 14.3 15. 16.‎ 三、解答题 ‎17.解：（Ⅰ）由已知及正弦定理得 ‎.………………2分 则.………………4分 ‎，‎ 故.‎ 因为，在中，.‎ 所以，.…………………………6分 ‎（Ⅱ）由已知及余弦定理得 ‎，‎ 又，‎ ‎18.解：（Ⅰ）设数学辅导讲座在周一、周三、周五都不满座为事件，则 ‎.……………………5分 ‎（Ⅱ）的可能取值为0，1，2，3，4，5.‎ ‎.……………………6分 ‎.……………………7分 ‎.………………8分 ‎.…………9分 ‎.‎ ‎.……………………10分 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ 数学期望.………………12分 ‎19.（Ⅰ）证明：由是菱形可得，‎ 因为平面，平面，‎ 所以，又，‎ 所以平面，又平面，‎ 故平面平面.……………………5分 ‎（Ⅱ）解：以为轴的正方向，为轴的正方向，‎ 建立如图所示的直角坐标系，则，，，.……7分 设平面的一个法向量，由，，可得 ‎，即，‎ 所以可取.……………………9分 同理可得平面的一个法向量.………………11分 所以.‎ 故二面角的余弦值为.………………12分 ‎20.（Ⅰ）解：由题意可得，.所以.‎ 由可得，‎ 所以椭圆标准方程为：.……………………5分 ‎（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）可得椭圆的右顶点为，由题意得，可设过的直线方程为：‎ ‎.………………………………………………7分 由消去得：.‎ 设，，则.………………10分 所以，‎ 故.………………………………………………12分 ‎21.解：（）‎ ‎（Ⅰ）当时，，.，‎ 所以，函数在点处的切线方程为：‎ ‎，即.…………………………3分 ‎（Ⅱ），‎ 因为，所以，‎ ‎①当时，在上成立，‎ 所以当恒大于0，‎ 故在上是增函数.………………………………5分 ‎②当时，，‎ 因为，‎ 所以，，‎ 当时，，为减函数；‎ 当时，，为增函数.………………7分 综上：当时，在上为增函数；‎ 当时，在上为增函数，在上为减函数.…………8分 ‎（Ⅲ）由（Ⅱ）知处有极值，故，且，‎ 因为且，‎ 所以在上单调.……………………10分 当为增区间时，恒成立，则有 ‎.‎ 当为减区间时，恒成立，则有 解集为空集.‎ 综上：当时满足条件.…………………………12分 ‎22.解：（Ⅰ）由得，‎ 结合极坐标与直角坐标的互化公式，‎ 得，即.…………………………5分 ‎（Ⅱ）由（为参数）化为普通方程，得，‎ 与圆相切，.‎ 所以或6.…………………………10分 ‎23.解：（Ⅰ）当时，，‎ 所以，当时，取得最大值2.……………………5分 ‎（Ⅱ）由，得，‎ 两边平方得，‎ ‎，‎ 所以①当，不等式解集为；‎ ‎②当，不等式解集为；‎ ‎③当，不等式解集为.……………………10分