2018届二轮复习（理）考试大纲解读专题05立体几何学案（全国通用） 11页

专题05 立体几何 ‎ ‎ ‎（三） 立体几何初步 ‎1.空间几何体 ‎ ‎(1)认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征,并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构. ‎ ‎(2)能画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合)的三视图,能识别上述三视图所表示的立体模型,会用斜二侧法画出它们的直观图. ‎ ‎(3)会用平行投影与中心投影两种方法画出简单空间图形的三视图与直观图,了解空间图形的不同表示形式. ‎ ‎(4)会画某些建筑物的视图与直观图(在不影响图形特征的基础上,尺寸、线条等不作严格要求). ‎ ‎(5)了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式. ‎ ‎2.点、直线、平面之间的位置关系 ‎ ‎(1)理解空间直线、平面位置关系的定义,并了解如下可以作为推理依据的公理和定理. ‎ ‎• 公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上所有的点都在此平面内. ‎ ‎ 公理2：过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面. ‎ ‎• 公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线. ‎ ‎• 公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行. ‎ ‎• 定理：空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行,那么这两个角相等或互补. ‎ ‎(2)以立体几何的上述定义、公理和定理为出发点,认识和理解空间中线面平行、垂直的有关性质与判定定理. ‎ 理解以下判定定理. ‎ ‎• 如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,那么该直线与此平面平行. ‎ ‎• 如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面都平行,那么这两个平面平行. ‎ ‎• 如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,那么该直线与此平面垂直. ‎ ‎• 如果一个平面经过另一个平面的垂线,那么这两个平面互相垂直. ‎ 理解以下性质定理,并能够证明. ‎ ‎• 如果一条直线与一个平面平行,那么经过该直线的任一个平面与此平面的交线和该直线平行. ‎ ‎• 如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们的交线相互平行. ‎ ‎• 垂直于同一个平面的两条直线平行. ‎ ‎• 如果两个平面垂直,那么一个平面内垂直于它们交线的直线与另一个平面垂直. ‎ ‎3.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命题. ‎ ‎（十六） 空间向量与立体几何 ‎ ‎1.空间向量及其运算 ‎ ‎(1)了解空间向量的概念,了解空间向量的基本定理及其意义,掌握空间向量的正交分解及其坐标表示. ‎ ‎(2)掌握空间向量的线性运算及其坐标表示. ‎ ‎(3)掌握空间向量的数量积及其坐标表示,能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直. ‎ ‎2.空间向量的应用 ‎ ‎(1)理解直线的方向向量与平面的法向量. ‎ ‎(2)能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直、平行关系. ‎ ‎(3)能用向量方法证明有关直线和平面位置关系的一些定理(包括三垂线定理). ‎ ‎(4)能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题,了解向量方法在研究立体几何问题中的应用. ‎ 与2017年考纲相比没什么变化，而且这部分内容作为高考的必考内容，在2018年的高考中预计仍会以“一小一大或两小一大”的格局呈现，在选择题或填空题中，考查空间几何体三视图的识别，空间几何体的体积或表面积的计算，空间线面位置关系的判定等，难度中等；在解答题中主要考查空间线面位置关系中的平行或垂直的证明，空间几何体表面积或体积的计算，空间角或空间距离的计算等，难度中等.‎ 考向一 空间几何体的三视图和直观图 样题1 (2017年高考新课标Ⅰ卷)某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形.该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为 A．10 B．12‎ C．14 D．16‎ ‎【答案】B 样题2 （2017年高考北京卷）某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为 A．3 B．2‎ C．2 D．2‎ ‎【答案】B 样题3 （2017新课标全国Ⅱ理科 ‎）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为 A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】B 考向二 球的组合体 样题4 （2017新课标全国Ⅲ理科）已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为 A． B． ‎ C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】绘制圆柱的轴截面如图所示：‎ 由题意可得：，‎ 结合勾股定理，底面半径，‎ 由圆柱的体积公式，可得圆柱的体积是，故选B.‎ ‎【名师点睛】（1）求解空间几何体体积的关键是确定几何体的元素以及线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解；（2）若所给几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用等积法、分割法、补形法等方法进行求解. ‎ 样题5 （2017江苏）如图，在圆柱内有一个球，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切．记圆柱的体积为，球的体积为，则的值是 .‎ ‎【答案】‎ 考向三 空间线面的位置关系 样题6 已知α，β是平面，m、n是直线，给出下列命题：‎ ‎①若m⊥α，m⊂β，则α⊥β；‎ ‎②若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β；‎ ‎③如果m⊂α，n⊄α，m，n是异面直线，那么n与α相交；‎ ‎④若α∩β=m，n∥m，且n⊄α，n⊄β，则n∥α且n∥β.‎ 其中命题正确的是__________．‎ ‎【答案】①④‎ ‎【解析】①是平面与平面垂直的判定定理，所以①正确；‎ ‎②中，m，n不一定是相交直线，不符合两个平面平行的判定定理，所以②不正确；‎ ‎③中，还可能n∥α，所以③不正确；‎ ‎④中，由于n∥m，n⊄α，m⊂α，则n∥α，同理n∥β，所以④正确．‎ 故填①④. ‎ 样题7 （2017新课标全国Ⅰ理科）如图，在四棱锥P−ABCD中，AB//CD，且.‎ ‎（1）证明：平面PAB⊥平面PAD；‎ ‎（2）若PA=PD=AB=DC，，求二面角A−PB−C的余弦值.‎ 考向四 空间角和距离 样题8 （2017年高考新课标Ⅱ卷）已知直三棱柱中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为 A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】如图所示，补成直四棱柱，‎ 则所求角为，‎ 易得，因此，故选C．‎ 样题9 (2017年高考新课标Ⅲ卷) a，b为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC的直角边AC所在直线与a，b都垂直，斜边AB以直线AC为旋转轴旋转，有下列结论：‎ ‎①当直线AB与a成60°角时，AB与b成30°角；‎ ‎②当直线AB与a成60°角时，AB与b成60°角；‎ ‎③直线AB与a所成角的最小值为45°；‎ ‎④直线AB与a所成角的最大值为60°.‎ 其中正确的是________.（填写所有正确结论的编号）‎ ‎【答案】②③‎ ‎【解析】设.由题意，是以AC为轴,BC为底面半径的圆锥的母线，由，又AC⊥圆锥底面，所以在底面内可以过点B，作，交底面圆于点D，如图所示，连接DE，则DE⊥BD，，连接AD，等腰中，,当直线AB与a成60°角时，，故，又在中，，过点B作BF∥DE，交圆C于点F，连接AF，由圆的对称性可知,为等边三角形，，即AB与b成60°角，②正确，①错误.‎ 由图可知③正确；很明显，可以满足平面ABC⊥直线a，则直线与所成角的最大值为90°，④错误.故正确的是②③.‎ ‎ ‎