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- 2021-06-23 发布
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宣城市2017届高三第二次调研测试
数学(理科)
第Ⅰ卷(共60分)
一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.设,其中为虚数单位,,是实数,则( )
A.1 B. C. D.
2.已知集合,集合,则( )
A. B. C. D.
3.一支田径队共有运动员98人,其中女运动员42人,用分层抽样的办法抽取一个样本,每名运动员被抽到的概率都是,则男运动员应抽取( )人
A.12 B.14 C.16 D.18
4.已知,是两条不同的直线,,是两个不同的平面,给出下列四个命题,错误的命题是( )
A.若,,,则
B.若,,,则
C.若,,,则
D.若,,则
5.某程序框图如图所示,该程序运行后输出的的值是( )
A.1007 B.3025 C.2017 D.3024
6.中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题:“三百七十八里关,出行健步不为难,次日脚痛减一半,六朝才得到其关,要见次日行里数,请公仔细算相还.”其意思为:有一个人走378里路,第一天健步行走,从第二天起脚痛,每天走的路程为前一天的一半,走了6天后到达目的地,请问第二天走了( )
A.96里 B.192里 C.48里 D.24里
7.二项式的展开式中常数项为( )
A. B. C. D.
8.已知双曲线两渐近线的夹角满足,焦点到渐进线的距离,则该双曲线的焦距为( )
A. B.或 C.或 D.或
9.设数列为等差数列,为其前项和,若,,,则的最大值为( )
A.3 B.4 C. D.
10.如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某三棱锥的三视图,则该三棱锥的外接球的表面积是( )
A. B. C. D.
11.已知集合,若对于任意,存在,使得成立,则称集合是“好集合”.给出下列4个集合:①;②;③;④.其中为“好集合”的序号是( )
A.①②④ B.②③ C.③④ D.①③④
12.若函数在上单调递增,则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
第Ⅱ卷(共90分)
二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)
13.计算 .
14.已知向量,满足,,,则 .
15.在中,,,若最大边长为63,则最小边长为 .
16.已知是圆上一点,且不在坐标轴上,,,直线与轴交于点,直线与轴交于点,则的最小值为 .
三、解答题 (本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
17.已知向量,,函数,函数在轴上的截距我,与轴最近的最高点的坐标是.
(Ⅰ)求函数的解析式;
(Ⅱ)将函数的图象向左平移()个单位,再将图象上各点的纵坐标不变,横坐标伸长到原来的2倍,得到函数的图象,求的最小值.
18.如图1,在直角梯形中,,,,,为线段的中点,将沿折起,使平面平面,得到几何体,如图2所示.
(Ⅰ)求证:平面;
(Ⅱ)求二面角的余弦值.
19.某校在高二年级开展了体育分项教学活动,将体育课分为大球(包括篮球、排球、足球)、小球(包括乒乓球、羽毛球)、田径、体操四大项(以下简称四大项,并且按照这个顺序).为体现公平,学校规定时间让学生在电脑上选课,据初步统计,在全年级980名同学中,有意申报四大项的人数之比为3:2:1:1,而实际上由于受多方面条件影响,最终确定的四大项人数必须控制在2:1:3:1,选课不成功的同学由电脑自动调剂到田径类.
(Ⅰ)随机抽取一名同学,求该同学选课成功(未被调剂)的概率;
(Ⅱ)某小组有五名同学,有意申报四大项的人数分别为2、1、1、1,记最终确定到田径类的人数为,求的分布列及数学期望.
20.已知,是的导函数.
(Ⅰ)求的极值;
(Ⅱ)若在时恒成立,求实数的取值范围.
21.如图,已知椭圆:的离心率为,、为椭圆的左右顶点,焦点到短轴端点的距离为2,、为椭圆上异于、的两点,且直线的斜率等于直线斜率的2倍.
(Ⅰ)求证:直线与直线的斜率乘积为定值;
(Ⅱ)求三角形的面积的最大值.
请考生在22、23两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.
22.选修4-4:坐标系与参数方程
已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合,极轴与轴的正半轴重合,圆的极坐标方程为,直线的参数方程为(为参数).
(Ⅰ)若,是直线与轴的交点,是圆上一动点,求的最大值;
(Ⅱ)若直线被圆截得的弦长等于圆的半径倍,求的值.
23.选修4-5:不等式选讲
已知,不等式的解集是.
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)若存在实数解,求实数的取值范围.
宣城市2017届高三第二次调研测试数学(理科)答案
一、选择题
1-5: 6-10: 11、12:
二、填空题
13.4 14. 15.25 16.8
三、解答题
17.解:(Ⅰ),
由,得,
此时,,
由,得或,
当时,,经检验为最高点;
当时,,经检验不是最高点.
故函数的解析式为.
(Ⅱ)函数的图象向左平移个单位后得到函数的图象,横坐标伸长到原来的2倍后得到函数的图象,
所以(),(),
因为,所以的最小值为.
18.解:(Ⅰ)在图1中,可得,从而,故
,
取中点连接,则,又面面,
面面,面,从而平面,
∴,
又,,
∴平面,
(Ⅱ)以为原点,、、所在直线分别为,,轴,如图所示,建立空间直角坐标系,则,,,,,
设为面的法向量,
则即解得
令,可得,
又为面的一个法向量,
∴,
∴二面角的余弦值为.
19.解:(Ⅰ).
(Ⅱ)的所有可能取值为1,2,3,4.
;;;.
分布列为:
1
2
3
4
.
20.解:(Ⅰ),,,
当时,恒成立,无极值;
当时,,即,
由,得;由,得,
所以当时,有极小值.
(Ⅱ)令,则,注意到,
令,则,且,得;,得,
∴,即恒成立,故,
当时,,,
于是当时,,即成立.
当时,由()可得().
,
故当时,,
于是当时,,不成立.
综上,的取值范围为.
21.解:(Ⅰ).
,故.
(Ⅱ)当直线的斜率存在时,设:与轴的交点为,
代入椭圆方程得,
设,,则,,
由,得,
得,
,得或.
或,所以过定点或,
点为右端点,舍去,
,
令(),
,,,
当直线的斜率不存在时,,,
,即,解得,,
,
所以的最大值为.
22.解:(Ⅰ)当时,圆的极坐标方程为,可化为,
化为直角坐标方程为,即.
直线的普通方程为,与轴的交点的坐标为,
∵圆心与点的距离为,
∴的最大值为.
(Ⅱ)由,可化为,
∴圆的普通方程为.
∵直线被圆截得的弦长等于圆的半径的倍,
∴由垂径定理及勾股定理得:圆心到直线的距离为圆半径的一半,
∴,解得或.
23.解:(Ⅰ)由,得,即,
当时,,所以解得;
当时,,所以无解.
所以.
(Ⅱ)因为,
所以要使存在实数解,只需,
解得或,
所以实数的取值范围是.