专题8-2+空间点、直线、平面之间的位置关系（测）-2018年高考数学一轮复习讲练测（江苏版） 6页

一、填空题 1．若直线上有两个点在平面外，则正确的是_____． A．直线上至少有一个点在平面内 B．直线上有无穷多个点在平面内 C．直线上所有点都在平面外 D．直线上至多有一个点在平面内 2．空间四边形两对角线的长分别为 6 和 8，所成的角为 45°，连接各边中点所得四边形的面积是 _____． 【解析】如图，已知空间四边形 ABCD，对角线 AC＝6，BD＝8，易证四边形 EFGH 为平行四边形，∠ EFG 或∠FGH 为 AC 与 BD 所成的角，大小为 45°，故 S 四边形 EFGH＝3×4×sin 45°＝6 2. 3．若空间中四条两两不同的直线 l1，l2，l3，l4，满足 l1⊥l2，l2⊥l3，l3⊥l4，则下列结论一定正确的 是_____． A．l1⊥l4 B．l1∥l4 C．l1 与 l4 既不垂直也不平行 D．l1 与 l4 的位置关系不确定 【解析】D　构造如图所示的正方体 ABCD­A1B1C1D1，取 l1 为 AD，l2 为 AA1，l3 为 A1B1，当取 l4 为 B1C1 时，l1∥l4，当取 l4 为 BB1 时，l1⊥l4，故排除 A、B、C，选 D. 4．已知直线 a 和平面 α，β，α∩β＝l，a⊄α，a⊄β，且 a 在 α，β 内的射影分别为直线 b 和 c，则直线 b 和 c 的位置关系是_____． 【解析】依题意，直线 b 和 c 的位置关系可能是相交、平行或异面． 5.如图，ABCD ­A1B1C1D1 是长方体，O 是 B1D1 的中点，直线 A1C 交平面 AB1D1 于点 M，则 A，M，O 关系是(　　) 6．过正方体 ABCD ­A1B1C1D1 的顶点 A 作直线 l，使 l 与棱 AB，AD，AA1 所成的角都相等，这样的直线 l 可以作_____． 7.如图所示，在空间四边形 ABCD 中，点 E，H 分别是边 AB，AD 的中点，点 F，G 分别是边 BC，CD 上的点，且CF CB＝CG CD＝2 3，则下列说法正确的是________．(填写所有正确说法的序号) ①EF 与 GH 平行 ②EF 与 GH 异面 ③EF 与 GH 的交点 M 可能在直线 AC 上，也可能不在直线 AC 上 ④EF 与 GH 的交点 M 一定在直线 AC 上 【答案】④ 【解析】连接 EH，FG(图略)，依题意，可得 EH∥BD，FG∥BD，故 EH∥FG，所以 E，F，G，H 共面． 8．如图为正方体表面的一种展开图，则图中的 AB，CD，EF，GH 在原正方体中互为异面直线的有 ________对． 【答案】3 【解析】平面图形的翻折应注意翻折前后相对位置的变化，则 AB，CD，EF 和 GH 在原正方体中， 显然 AB 与 CD，EF 与 GH，AB 与 GH 都是异面直线，而 AB 与 EF 相交，CD 与 GH 相交，CD 与 EF 平 行．故互为异面直线的有 3 对． 9．已知 a，b，c 为三条不同的直线，且 a⊂平面 α，b⊂平面 β，α∩β＝c. ①若 a 与 b 是异面直线，则 c 至少与 a，b 中的一条相交； ②若 a 不垂直于 c，则 a 与 b 一定不垂直； ③若 a∥b，则必有 a∥c； ④若 a⊥b，a⊥c，则必有 α⊥β. 其中正确的命题有________．(填写所有正确命题的序号) 【答案】①③ 【解析】①中若 a 与 b 是异面直线，则 c 至少与 a，b 中的一条相交，故①正确；②中平面 α⊥平面 β 时，若 b⊥c，则 b⊥平面 α，此时不论 a，c 是否垂直，均有 a⊥b，故②错误；③中当 a∥b 时，则 a∥平 面 β，由线面平行的性质定理可得 a∥c，故③正确；④中若 b∥c，则 a⊥b，a⊥c 时，a 与平面 β 不一定 垂直，此时平面 α 与平面 β 也不一定垂直，故④错误． 10.如图，在三棱锥 A­BCD 中，AB＝AC＝BD＝CD＝3，AD＝BC＝2，点 M，N 分别为 AD，BC 的中 点，则异面直线 AN，CM 所成的角的余弦值是________． 【答案】7 8 二、解答题 11.如图所示，A 是△BCD 所在平面外的一点，E，F 分别是 BC，AD 的中点． (1)求证：直线 EF 与 BD 是异面直线； (2)若 AC⊥BD，AC＝BD，求 EF 与 BD 所成的角． 解：(1)证明：假设 EF 与 BD 不是异面直线，则 EF 与 BD 共面，从而 DF 与 BE 共面，即 AD 与 BC 共面，所以 A，B，C，D 在同一平面内，这与 A 是△BCD 所在平面外的一点相矛盾．故直线 EF 与 BD 是异面直线． (2)取 CD 的中点 G，连接 EG，FG，则 AC∥FG，EG∥BD， 所以相交直线 EF 与 EG 所成的角， 即为异面直线 EF 与 BD 所成的角． 又因为 AC⊥BD，则 FG⊥EG. 在 Rt△EGF 中，由 EG＝FG＝1 2AC，求得∠FEG＝45°，即异面直线 EF 与 BD 所成的角为 45°. 12.如图，在三棱锥 P­ABC 中，PA⊥底面 ABC，D 是 PC 的中点．已知∠BAC＝ π 2，AB＝2，AC＝ 2 3，PA＝2.求： (1)三棱锥 P­ABC 的体积； (2)异面直线 BC 与 AD 所成角的余弦值．