人教版高中数学选修1-1课件：2_椭圆的简单几何性质 29页

2.1.2 椭圆的简单几何性质 一、椭圆的定义 复习： 平面内到两定点 的距离之和等于定长（ 大于 ） 的点的轨迹叫做 椭圆 。 两定点 F 叫做椭圆的 焦点 。 两焦点的距离叫做椭圆的 焦距 。 复习： 二、椭圆的标准方程 标准方程为 : 的椭圆的性质 让我们一起研究： 1 范围 2 对称性 3 顶点 4 离心率 F 2 F 1 O B 2 B 1 A 1 A 2 x y 横坐标的范围 ： 纵坐标的范围 ： -a  x  a -b  y  b 1 ，范围 得： 即 同理可得： 由标准方程 即 a F 2 F 1 O B 2 B 1 A 1 A 2 x y c b 1 、范围 容易算得： | B 2 F 2 |= a △B 2 F 2 O 叫椭圆的 特征三角形。 F 2 F 1 O x y 椭圆关于 y 轴对称。 2 ，对称性 在曲线方程里，如果以 -y 代 y 方程不变，那么曲线关于 x 轴对称 在曲线方程里，如果以 -x 代 x 方程不变，那么曲线关于 y 轴对称 在曲线方程里，如果同时以 -x 代 x ，以 -y 代 y 方程不变，那么曲线关于原点对称 F 2 F 1 O x y 椭圆关于 x 轴对称。 A 2 A 1 A 2 F 2 F 1 O x y 椭圆关于 原点 对称。 F 2 F 1 O x y 2 、对称性 椭圆关于 y 轴、 x 轴、原点对称。 为什么？ 3 、顶点 O B 2 B 1 A 1 A 2 x y 可得 x=  a 在 中令 y=0 ， 从而： A 1 (-a,0),A 2 (a,0) 同理： B 1 (0, -b),B 2 (0, b) 线段 分别叫做椭圆的 长轴 和 短轴 . 它们的长度分别等于 2a 和 2b ， a 和 b 分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长 4 、离心率 上面椭圆的形状有什么变化？ O x y 怎样刻画它们的扁平程度？ 4 、离心率 O x y 显然， a 不变， b 越小，椭圆越扁。 也即， a 不变， c 越大，椭圆越扁。 把椭圆的焦距与长轴长的比 称为椭圆的 离心率 ，用 e 表示，即 离心率 椭圆的焦距与长轴长的比值 ， 叫做椭圆的 离心率 1 当 e 接近 1 时， c 越接近 a, 从而 越小，因此椭圆越扁。 3 当 e=0 时， c=0,a=b 两焦点重合 , 椭圆的标准方程为 2 当 e 接近 0 时， c 越接近 0, 从而 b 越接近 a, 图形越接近于圆。 图形就是圆 。 (± a ,0) (0,± b ) (0,± a ) (± b ,0) 0< e <1 ( ) 椭圆的几何性质 -a  x  a -b  y  b -a  y  a -b  x  b 椭圆方程 范围 对称性 顶点 离心率 对称轴： x 轴、 y 轴 对称中心：原点 例 1 、求椭圆 16 x 2 +25 y 2 =400 的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标 , 并画出它的图形 . 解：把方程化为标准方程 : 所以 : a = 5 , b = 4 c = 顶点坐标为 (-5,0) ， (5,0) ， (0,4) ， (0,-4) 所以，长轴长 2 a =10, 短轴长 2 b =8 ； 离心率为 0.6 ； X Y O 焦点坐标为 (-3,0),(3,0) 例 2 、求符合下列条件的椭圆的标准方程 : (1) 经过点 (-3,0) 、 (0,-2); 解：易知 a =3, b =2 又因为长轴在 x 轴上 , 所以椭圆的标准方程为 (2) 长轴的长等于 20 , 离心率等于 0.6 (2) 由已知 , 2 a =20 ,e =0.6 或 因为椭圆的焦点可能在 x 轴上 , 也可能 在 y 轴上 , 所以所求椭圆的标准方程为 ∴ a =10, c =6 ∴ b =8 练习 1, 求适合下列条件的椭圆的标准方程 经过点 P(2,0) Q(1,1); (2) 与椭圆 4 x 2 +9 y 2 =36 有相同的焦距 , 且离心率为 0.8. 或 例 3 ：点 M( x , y ) 与定点 F( 4 ,0) 的距离和它到定直线 l : 的距离的比等于常数 ， 求 M 点的轨迹。 解：设 d 是点 M 到直线 l : 的距离， 根据题意，点 M 的轨迹是集合 由此得 将上式两边平方，并化简，得 即 这是一个椭圆。 例 4 、如图，一种电影放映灯泡的反射镜面是旋转椭圆面（椭圆绕其对称轴旋转一周形成的曲面） 的一部分。过对称轴的截口 ABC 是椭圆的一部分，灯丝位于椭圆的一个焦点 F 1 上，片门位于另一个焦点 F 2 上，由椭圆一个焦点 F 1 发出的光线，经过旋转椭圆面反射后集中到另一个焦点 F 2 。已知 AC F 1 F 2 ， |F 1 A|=2.8cm ， |F 1 F 2 |=4.5cm, 求截口 ABC 所在椭圆的方程。 O x y A B C F 1 F 2 解：如图建立直角坐标系， 设所求椭圆方程为 在 Rt △AF 1 F 2 中， 由椭圆的性质知， 所以 所求的椭圆方程为 (± a ,0) (0,± b ) (0,± a ) (± b ,0) 0< e <1 ( ) 椭圆的几何性质 -a  x  a -b  y  b -a  y  a -b  x  b 椭圆方程 范围 对称性 顶点 离心率 对称轴： x 轴、 y 轴 对称中心：原点 小结 作 业 1 。课本习题 2.1 的 6 、 7 、 8 题 2 。完成下列表格 课后思考： 1 、椭圆上到焦点和中心距离最大和最小的点在什么地方？ 2 、点 M （ x ， y ）与定点 F （ c ， 0 ）的距离和它到定直线 l ： x= 的距 离的比是常数 （ a ＞ c ＞ 0 ），求点 M 轨迹，并判断曲线的形状。 3 、接本学案例 3 ，问题 2 ，若过焦点 F2 作直线与 AB 垂直且与该椭圆相交于 M 、 N 两点，当△ F1MN 的面积为 70 时，求该椭圆的方程。 标准方程 图象 范围 对称性 顶点 长轴 短轴 焦点 离心率 准线 再见