专题01 三角函数与解三角形（直通高考）-备战2018年高考之数学（文）解答题高分宝典 12页

专题 01 三角函数与解三角形 1．（2017·浙江卷）已知函数 2 2sin cos 2 3sin cos ( )( ) x x xf x x x   R ． （1）求 2( )3f  的值． （2）求 ( )f x 的最小正周期及单调递增区间． 【答案】（1）2；（2）最小正周期为  ，单调递增区间为 2[ , ],6 3k k k      Z ． （2）由 2 2cos2 cos sinx x x  与sin 2 2sin cosx x x 得 ( ) cos2 3sin 2f x x x   2sin(2 )6x    ． 所以 ( )f x 的最小正周期是  ． 由正弦函数的性质得 32 2 2 ,2 6 2k x k k          Z ， 解得 2 ,6 3k x k k        Z ， 所以， ( )f x 的单调递增区间是 2[ , ],6 3k k k      Z ． 【名师点睛】本题主要考查了三角函数的化简，以及函数    xAy sin 的性质，是高考中的常考知 识点，属于基础题，强调基础的重要性；三角函数解答题中，涉及到周期，单调性，单调区间以及最值 等考点时，都属于考查三角函数的性质，首先应把它化为三角函数的基本形式即    xAy sin ，然 后利用三角函数 uAy sin 的性质求解． 2．（2017·天津卷文）在 ABC△ 中，内角 , ,A B C 所对的边分别为 , ,a b c ．已知 sin 4 sina A b B ， 2 2 25( )ac a b c   ． （1）求 cos A的值； （2）求sin(2 )B A 的值． 【答案】（1） 5 5  ；（2） 2 5 5  ． （2）由（1）可得 2 5sin 5A  ，代入 sin 4 sina A b B ，得 sin 5sin 4 5 a AB b   ． 由（1）知 A 为钝角， 所以 2 2 5cos 1 sin 5B B   ． 于是 4sin 2 2sin cos 5B B B  ， 2 3cos2 1 2sin 5B B   ， 故 4 5 3 2 5 2 5sin(2 ) sin 2 cos cos2 sin ( )5 5 5 5 5B A B A B A          ． 【名师点睛】（1）利用正弦定理进行“边转角”可寻求角的关系，利用“角转边”可寻求边的关系，利 用余弦定理借助三边关系可求角，利用两角和差的三角公式及二倍角公式可求三角函数值． （2）利用正、余弦定理解三角形是高考的高频考点，常与三角形内角和定理、三角形面积公式等相结合， 利用正、余弦定理进行解题． 3．（2017·江苏卷）已知向量 (cos , sin ), (3, 3), [0,π].x x x   a b （1）若 a∥b，求 x 的值； （2）记 ( )f x  a b ，求 ( )f x 的最大值和最小值以及对应的 x 的值． 【答案】（1） 5π 6x  ；（2） 0x  时， 取得最大值 3； 5π 6x  时， 取得最小值 2 3 ． 【解析】（1）因为   co( )s ,sinx xa ， (3, 3) b ，a∥b， 所以 3cos 3sinx x  ． 若 cos 0x  ，则sin 0x  ，与 2 2sin cos 1x x  矛盾，故 cos 0x  ． 于是 3tan 3x   ． 又 ， 所以 5π 6x  ． 于是，当 π π 6 6x   ，即 0x  时， 取到最大值 3； 当 π 6x    ，即 5π 6x  时， 取到最小值 2 3 ． 4．若函数     π πsin 0, 0, 2 2f x A x A             的部分图象如下图所示. （1）求函数 的解析式； （2）设 π0, 3      ，且 ，求 的值. 【答案】（1）   π2sin 2 6f x x     ；（2） 4 3 3 10  . 【解析】（1）由题图得， ， 3 π 5π 3π 4 3 12 4T    ，解得 ， 于是由 2π πT   ，得 ． ∵ π 2π2sin 23 3f             ，即 2πsin 13      ， ∴ 2π π2 π3 2k k   Z, ，即 π2 π 6k k   Z, ， 又 π π 2 2       ， ， ∴ π 6    ， ∴   π2sin 2 6f x x     ． ∴ π π π2 6 6 2        ， ， ∴ 2π π 4cos 2 1 sin 26 6 5                ． ∴ π πsin 2 sin 2 6 6           π π π πsin 2 cos cos 2 sin6 6 6 6               3 3 4 1 5 2 5 2     4 3 3 10  ． 5．已知向量  1,sinxa ，  cos , 3xb . （1）若 a b ，求 tan2x 的值； （2）令  f x  a b ，把函数  f x 的图象上每一点的横坐标都缩小为原来的一半（纵坐标不变），再把 所得图象沿 x 轴向左平移 π 12 个单位，得到函数  y g x 的图象，求函数  y g x 的单调递增区间. 【答案】（1） 3 ；（2）  5π ππ , π12 12k k k      Z . 【解析】（1） a b ，    1,sin cos , 3 cos 3sin 0x x x x      a b ， 1tan 3 x   ， 2 2tantan 2 31 tan xx x     . （2）     π1,sin cos , 3 cos 3 sin 2sin 6x x x x x         a b ，   π2sin 6f x x      ， 由  π π π2 π 2 2 π2 3 2k x k k     Z 得  5π ππ π12 12k x k k    Z ，  g x 的单调递增区间是  5π ππ , π12 12k k k      Z . 6．已知 ABC△ 的三个内角 , ,A B C 对应的边分别为 , ,a b c ，且  2cos cos cosB c A a C b  . （1）证明： , ,A B C 成等差数列； （2）若 ABC△ 的面积为 3 3 2 ，求b 的最小值. 【答案】（1）见解析；（2） 6 . 【解析】（1）因为  2cos cos cosB c A a C b  ， 所以由正弦定理得  2cos sin cos sin cos sinB C A A C B  ，即  2cos sin sinB A C B  . 在 ABC△ 中，  sin sinA C B  且sin 0B  ， 所以 1cos 2B  . 因为  0,πB ， 所以 π 3B  . 又因为 πA B C   ， 所以 2π 23A C B   . 所以 , ,A B C 成等差数列. （2）因为 1 3 3sin2 2ABCS ac B △ ， 所以 6ac  . 所以 2 2 2 2 22 cos 6b a c ac B a c ac ac        ，当且仅当 a c 时取等号. 所以b 的最小值为 6 . 7．如图，在 ABC△ 中， π , 23B BC  ，点 D 在边 AB 上， ,AD DC DE AC  ， E 为垂足. （1）若 BCD△ 的面积为 3 3 ，求 AB 的长； （2）若 6 2ED  ，求角 A 的大小. 【答案】（1） 2 7 2 3  ；（2） π 4 . 【解析】（1）∵ BCD△ 的面积为 3 3 ， π , 23B BC  ， ∴ 1 π 32 sin2 3 3BD    ， ∴ 2 3BD  . 在 BCD△ 中，由余弦定理可得 2 2 4 2 1 2 72 cos 4 2 29 3 2 3CD BC BD BC BD B            . ∴ 2 7 2 2 7 2 3 3 3AB AD BD CD BD        . ∵ 2BDC A   ， ∴ 2 6 sin2 2sin sin60A A   ， ∴ 2cos 2A  . ∴ π 4A  . 【名师点睛】此题主要考查了正弦定理、余弦定理、以及三角恒等变换中倍角公式在解三角形中的应用， 属于中档题型，也是常考考点.在解决此类问题的过程中，常将所求角、边与已知的角、边转化集中到同 一个三角形，再运用三角公式进行恒等变形及运算，以已知角为线索，寻找合适的正弦定理、余弦定理， 从而解决问题. 8．已知函数 π π π( ) cos(2 ) 2sin( )cos( )( )3 4 4f x x x x x      R . （1）求函数 ( )f x 的最小正周期及 ( )f x 在区间 π 2π[ , ]12 3 上的值域； （2）在 ABC△ 中， 5AB  ， 7BC  .若 1( ) 2f A  ，求 ABC△ 的面积. 【答案】（1） πT  ，值域是 1[ ,1]2  ；（2） 5 3 2 或15 3 4 . 3 1sin 2 cos22 2x x  πsin(2 )6x  . )(xf 的最小正周期为 2π π2T   ； ∵ π 2π[ , ]12 3x ， ∴ π 7π2 [0, ]6 6x   ， ∴ max π π π π( ) ( ) sin(2 ) sin 13 3 6 2f x f      ， min 2π 2π π 7π 1( ) ( ) sin(2 ) sin3 3 6 6 2f x f       , ∴ ( )f x 在区间 π 2π[ , ]12 3 上的值域是 1[ ,1]2  . （2）由 1( ) 2f A  得 π 1sin(2 )6 2A  ，即 π 6A  ， 由余弦定理得 27 25 5 3 ( 2 3)( 3 3) 0b b b b       ， ∴ 2 3b  或 3 3b  ， ∴ ABC△ 的面积为 1 1 5 35 2 32 2 2ABCS      或 1 1 15 35 3 32 2 4ABCS      . 9．已知函数 5( ) sin( 2 ) 2sin( )cos( )6 4 4f x x x x       . （1）求函数 ( )f x 的最小正周期和单调递增区间； （2）若 [ , ]12 3x   ，且 ( ) 4 ( ) cos(4 )3F x f x x     的最小值是 3 2  ，求实数  的值. 【答案】（1） πT  ，单调递增区间为[ , ],6 3k k k   Z ；（2） 1 2   . 1 3cos2 sin 2 cos22 2x x x   sin(2 )6x   . ∴ 2 2T   ， 由 2 2 2 ,2 6 2k x k k       Z ，得 ,6 3k x k k     Z ， ∴函数 ( )f x 的单调递增区间为[ , ],6 3k k k   Z . （2） ( ) 4 ( ) cos(4 )3F x f x x     24 sin(2 ) [1 2sin (2 )]6 6x x        22sin (2 ) 4 sin(2 ) 16 6x x      2 22[sin(2 ) ] 1 26x       ， ∵ [ , ]12 3x   ， ∴ 0 2 6 2x     ， ∴ 0 sin(2 ) 16x    . ①当 0  时，当且仅当sin(2 ) 06x   时， ( )f x 取得最小值 1 ，这与已知不相符； ②当 0 1  时，当且仅当sin(2 )6x   时， ( )f x 取得最小值 21 2  ，由已知得 2 31 2 2     ， 解得 1 2   ； 综上所述， 1 2   . 【名师点睛】本题主要考查三角函数的图象与性质，二倍角公式，两角和与差的正、余弦公式，考查了 转化思想与分类讨论思想、逻辑推理能力与计算能力. （1）求解关于三角函数的图象与性质的问题时，一定要将函数解析式化简为 ( ) sin( )f x A x   （ ( ) cos( )f x A x   ）的形式，再根据正弦（余弦）函数的性质求解即可； （2）化简可得 ( ) 2[sin(2 )6F x x   2 2] 1 2    ，可以利用换元法将此式变形为 22( ) 1y t    22 ， πsin(2 ) [0,1]6t x   ，然后利用对称轴t  与定义域[0,1] 之间的关系进行 讨论，即分 0  、 1  、 0 1  三种情况讨论求解即可. 10．在海岛 A 上有一座海拔1km 的山峰，山顶设有一个观察站 P ，有一艘轮船按一固定方向作匀速直线航 行，上午11:00 时，测得此船在岛北偏东15 、俯角为30 的 B 处，到11:10时，又测得该船在岛北偏 西 45 、俯角为 60 的C 处. （1）求船的航行速度； （2）求船从 B 到C 行驶过程中与观察站 P 的最短距离. 【答案】（1） 2 21 km/h ；（2） 259 km14 . 在 ACB△ 中， 15 45 60CAB      ， 由余弦定理得   2 2 3 3 213 2 3 cos603 3 3BC            ， 216 2 21 km/h,3x    ∴船的航行速度为 2 21 km/h . （2）作 AD BC 于点 ,D 当船行驶到点 D 时， AD 最小，从而 PD 最小， 此时， 3 33sin60 33 2 71421 3 AB ACAD BC       ， 23 2591 714 14PD        ， 船在行驶过程中与观察站 P 的最短距离为 259 km14 .