专题29 四法破解平面向量的数量积-备战2018年高考高三数学一轮热点难点一网打尽 11页

考纲要求: 1．理解平面向量数量积的含义及其物理意义,了解平面向量的数量积与向量投影的关系． 2．掌握数量积的性质及坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算； 3．能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系,掌握向量数量积的 运算律，并能进行相关计算． 基础知识回顾: 1.平面向量数量积 (1)平面向量数量积的定义:若两个非零向量 a 与 b，它们的夹角为 θ，则数量 叫做a 与 b 的数 量积(或内积)，记作 a·b＝|a||b|cosθ.规定：零向量与任一向量的数量积为 0. (2)两个非零向量 a 与 b 垂直的充要条件是 a·b＝0，两个非零向量 a 与 b 平行的充要条件是 a·b＝ ±|a||b|. 2．向量数量积的运算律: (1)a·b＝b·a.(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)．(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c. 3．平面向量数量积的几何意义: 数量积 a·b 等于 a 的模|a|与 b 在 a 的方向上的投影|b|cos θ 的乘积． 4．平面向量数量积的重要性质： (1)e·a＝a·e＝|a|cosθ； (2)非零向量 a，b，a⊥b⇔a·b＝0　； (3)当 a 与 b 同向时，a·b＝|a||b|；当 a 与 b 反向时，a·b＝－|a||b|　，a·a＝a2 ，|a|＝ a·a； (4)cosθ＝ a·b |a||b|；(5)|a·b|≤|a||b|. 5．平面向量数量积满足的运算律 (1)a·b＝b·a(交换律)；(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb) (λ为实数)；(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c. 6．平面向量数量积有关性质的坐标表示： 设向量 a＝(x1，y1)， b＝(x2，y2)，则 a·b＝x1x2＋y1y2，由此得到： (1)若 a＝(x，y)，则|a|2＝x2＋y2，或|a|＝ x2＋y2. (2)设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 A，B 两点间的距离|AB|＝ ＝ x1－x22＋y1－y22. (3)设 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0. 应用举例: θcosba AB 类型一、平面向量的数量积的运算 【例 1】【2017 大连市一中高三摸底考试】设向量 ＝(－1,2)， ＝(m,1)，如果向量 ＋2 与 2 － 平行，那么 与 的数量积等于(　　) A．－ 7 2　　　　　　　B．－ 1 2 C. 3 2 D. 5 2 【答案】D 【解析】　 ＋2b＝(－1＋2m,4)，2 －b＝(－2－m,3)，由题意得 3(－1＋2m)－4(－2－m)＝0，则m＝－ 1 2，所以 · ＝－1×(－ 1 2 )＋2×1＝ 5 2. 【例 2】【广西贺州市桂梧高中 2018 届高三上学期第四次联考】设向量 ， 满足 ， ，且 ，则向量 在向量 方向上的投影为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【例3】在平行四边形 中， ， ， ，点 在 边上，且 ， 则 ( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】∵ ， ， ， ， a b a b a b a b a a a b a b 1a = 2b = ( )a a b⊥ +   a 2a b+  13 13 − 13 13 1 13 − 1 13 ABCD 2AB = 1AD = 60A∠ =  M AB 1 3AM AB= DM DB⋅ =  3 3 − 3 3 1− 1 1 3AM AB= 2AB = 1AD = 60A∠ =  1 3AM AB∴ =  ( ) ( )DM DB DA AM DA AB∴ ⋅ = + ⋅ +      故选 D 类型二、平面向量的数量积的性质 平面向量的夹角与模的问题是高考中的常考内容，题型多为选择题、填空题，难度适中，属中档题． 常见的命题角度有： 角度一：平面向量的模； 【例 4】【云南省曲靖市第一中学 2018 届高三高考复习质量监测】在矩形 中， ， ， 为 矩形内部一点，且 ，则 的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 ，画图分析可知 的范围是 ,故填 . 【 例 5 】【 2017 江 苏 省 苏 州 市 高 三 摸 底 】 向 量 ， ， ． 【答案】 【例 6】【全国名校大联考 2017-2018 年度高三第二次联考】已知 的三边垂直平分线交于点 ， 分别为内角 的对边，且 ，则 的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 如图，延长 交 的外接圆与点 ，连接 ，则 所以 ( )1 3DA AB DA AB = + ⋅ +       2 24 1 3 3DA DA AB AB= + ⋅ +    4 11 1 2 120 4 13 3cos= + × × × °+ × = (cos10 ,sin10 )a = ° ° (cos70 ,sin 70 )b = ° ° | 2 |a b− =  3 ABC∆ O , ,a b c , ,A B C ( )2 2 2c b b= − AO BC⋅  2 ,23  −   AO ABC∆ D ,BD CD 90ABD ACD∠ ∠= = °， , 又 , 把 代入 得 , 又 ，所以 , 把 代入 得 的取值范围是 . 点睛:平面向量中有关范围最值问题的求解通常有两种思路：①“形化”，即利用平面向量的几何意义将 问题转化为平面几何中的最值或范围问题，然后根据平面图形的特征直接进行判断；②“数化”，即利用 平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域、不等式的解集、方程有解等问题，然后 利用函数、不等式、方程的有关知识来解决． 角度二：平面向量的夹角； 【例 7】【豫西南部分示范性高中 2017-2018 年高三年级第一学期联考】已知非零向量 满足 且 ，则向量 与 的夹角为__________． 【答案】 【例 8】【2017 河南省天一大联考】已知 ， ，且 ，则向量 与 的夹角为（ ） | | 10a = 5 30 2a b = −   ( - ) ( ) 15a b a b+ = −     a b ( ) ( ) 2 2 1 2 1 1CAD BAD2 2 1 ( )2 AO BC AO AC AB AD AC AB AC AD cos AB AD cos b c ∠ ∠ ⋅ ⋅ ⋅= − = − = − = −             ( )2 22b 2 b 4b 2c b= − = − ( )2 21 3 2 23 4 ( )2 2 3 3AO BC b b b= − = −⋅ −  ( )2 2b 2 b 0c = − > 0 2b< < AO BC⋅  2 ,23  −   ,a b a b=  ( )3 2a a b⊥ −   a b 6 π A． B． C． D． 【答案】C 【解析】依题意有 ，解得 . 角度三：平面向量的垂直． 【例 9】【新疆兵团农二师华山中学 2017 届高三上学期学前考试数学（理）试题】向量 满足 ， ， ，则向量 与 的夹角为 ． 【答案】 【解析】 向量 与 的夹角为 ． 【例 10】已知向量 与 的夹角为 120°，且| |＝3，| |＝2.若 ＝λ ＋ ，且 ⊥ ，则实数 λ 的值为________． 【答案】 7 12. 类型三、数量积解三角形 【例 11】【2017 江苏省南京市高三调研】在△ABC 中，已知 AB＝3，BC＝2，D 在 AB 上， AD→ ＝ 1 3 AB→ ．若 DB→ · DC→ ＝3，则 AC 的长是 ． 【答案】 【解析】由已知 ，设 ，则 ，又 2 3 π 3 4 π 5 6 π 3 π 2 25 30cos , 152a b a b a bθ⋅ = ⋅ ⋅ = − − = −      3 5cos ,2 6 πθ θ= − = ,a b  | | 1a = | | 2b = ( ) (2 )a b a b+ ⊥ −    a b 090 ( ) (2 )a b a b+ ⊥ −    2 2 ( ) (2 ) 2 0a b a b a b a b a b a b⇒ + • − = − + • = • = ⇒ ⊥ ⇒            a b 090 AB AC AB AC AP AB AC AP BC 10 2, 1BD AD= = ADC θ∠ = 2 cos 3DB DC x θ⋅ = =  ，所以 ， ，则在 中 ， ． 【例 12】【2017 河南郑州一中高三月考】在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且满足( 2a－c) · ＝c · . (1)求角 B 的大小；(2)若| － |＝ 6，求△ABC 面积的最大值． 【答案】B＝ π 4 . 3 2＋3 2 方法、规律归纳: 1.向量数量积的两种运算方法 (1)当已知向量的模和夹角时，可利用定义法求解，即 a·b＝|a||b|cos a，b． (2)当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a·b＝x1x2＋y1y2. 2.平面向量数量积求解问题的策略 (1)求两向量的夹角：cos θ＝ a·b |a|·|b|，要注意 θ∈[0，π]． （2）两非零向量垂直的充要条件是：a⊥b⇔a·b＝0⇔|a－b|＝|a＋b|. (3)求向量的模利用数量积求解长度问题的处理方法有： ①a2＝a·a＝|a|2 或|a|＝ a·a. ②|a±b|＝ a ± b2＝ a2 ± 2a·b＋b2. ③若 a＝ (x，y)，则|a|＝ x2＋y2. 实战演练: 1．已知单位向量 与 的夹角为 ，则向量 在向量 方向上的投影为（ ） 2 2 22 4 cos 2x x θ+ − = 6x = 6cos 4 θ = ADC∆ 2 2 2 61 ( 6) 2 1 6 ( ) 104AC = + − × × × − = 10AC = BA BC CB CA BA BC 1e 2e 3 π 1 22e e+  1 2e e−  A. B. C. D. 【答案】A 2 ．【 安 徽 省 十 大 名 校 2018 届 高 三 11 月 联 考 】 如 图 ， 在 四 边 形 中 ， 已 知 ， ，则 （ ） A. 64 B. 42 C. 36 D. 28 【答案】C 【解析】 由 ,解得 ， 同理 ，故选 C. 点睛：本题主要考查了平面的运算问题，其中解答中涉及到平面向量的三角形法则，平面向量的数量积 的运算公式，平面向量的基本定理等知识点的综合考查，解答中熟记平面的数量积的运算和平面向量的 化简是解答的关键，试题比较基础，属于基础题. 3．【福建省福清市校际联盟 2018 届高三上学期期中考试】已知正方形 的边长为 3， 为线段 靠近 点的三等分点，连接 交 于 ，则 （ ） 1 2 − 1 2 7 14 − 7 14 MNPQ , 6, 10NO OQ OM OP= = =    28MN MQ⋅ = −  NP QP⋅ =  ( ) ( ) ( ) ( )MN MQ ON OM OQ OM OQ OM OQ OM⋅ = − ⋅ − = − − ⋅ −          2 2 236 28OM OQ OQ= − = − = −   2 64OQ = 2 2 100 64 36NP QP OP OQ⋅ = − = − =    ABCD E AC C BE CD F ( ) 12 43CA BF CA BF + ⋅ − =       A. -9 B. -39 C. -69 D. -89 【答案】C 4．【河南省天一大联考 2018 届高三上学期阶段性测试】已知在等边三角形 中， ， ，则 （ ） A. 4 B. C. 5 D. 【答案】D 【解析】由条件知 M，N 是 BC 的三等分点，故 展开得到 ，等边三角形 中，任意两边夹角为六十度，所 有边长为 3 ， ， ， 代入表达式得到 。 故答案为 D。 5．【辽宁省大连育明高级中学、本溪市高级中学 2018 届高三 10 月月考】在边长为 1 的正三角形 中， 设 ， ， ，则 等于（ ） A. B. C. D. ABC 3BC = 22 3BN BM BC= =   ·AM AN =  38 9 13 2 1 1· 3 3AM AN AB BC AC BC   = + × −             ( )21 1 1· · ·3 3 9AB AC AB BC AC BC BC− + −       ABC 9· 2AB AC =  1 3·3 2AC BC =  1 3· .3 2AB BC = −  ( )21 1.9 BC = 13 2 【答案】C 【解析】 ， 故选：C 6．【黑龙江省齐齐哈尔地区八校 2018 届高三期中联考】在矩形 中， ， ， ，点 在边 上，若 ，则 的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 7 ．【北 京 市 海 淀 区 2018 届 高 三 上 学 期 期 中 考 试 】 已 知 向 量 ， ， 则 （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 向量 错误； 错误； 错误； ， 正确， 故选 D. ABCD 3AB = 3BC = 2BE EC=  F CD • 3AB AF =  •AE BF  0 8 3 3 4− 4 ( )1,0a = ( )1,1b = − / /a b a b⊥ ( ) / /a b b− ( )a b a+ ⊥  ( ) ( ) ( )= 1,0 = 1,1 , 1 1 0 1 ,a b A− ∴ × ≠ × − ∴ ， ( )1 1 0 1 0, B× − + × ≠ ∴ ( ) ( ) ( )2, 1 , 2 1 1 1 ,a b C− = − ∴ × ≠ − × − ∴  ( )0,1a b+ =  ( )a b a+ ⋅ =  ( )0 1 1 0 0, ,a b a D× + × = ∴ + ⊥ ∴  8．【湖北省鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟 2018 届高三上学期期中联考】 如图，在半径为 的圆 中，已知弦 的长为 ，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【 解 析 】 试 题 分 析 ： 由 于 为 半 径 ， 圆 心 ， 为 弦 ， 故 在 上 的 投 影 为 考点：平面向量的数量积 9．【2017 山东省枣庄八中高三月考】 已知 ， ， ． （1）求向量 与 的夹角 θ；（2）求 及向量 在 方向上的投影． 【答案】 ； 10．【2017 河南郑州一中高三月考】已知|a|＝4，|b|＝3，(2a－3b)·(2a＋b)＝61， (1)求 a 与 b 的夹角 θ； (2)求|a＋b|； (3)若 ，求△ABC 的面积． 【答案】θ＝ 2π 3 .； 13. 3 3. 【解析】(1)∵(2a－3b)·(2a＋b)＝61，∴4|a|2－4a·b－3|b|2＝61. 又|a|＝4，|b|＝3， ∴64－4a·b－27＝61，∴a·b＝－6.∴cosθ＝ a·b |a||b|＝ －6 4 × 3＝－ 1 2.又 0≤θ≤π，∴θ＝ 2π 3 . (2)|a＋b|2＝(a＋b)2＝|a|2＋2a·b＋|b|2＝42＋2×(－6)＋32＝13，∴|a＋b|＝ 13. a = 2 1b = 3 ) ( ) 9a b a b(2 − ⋅ 2 + =    a b a b+  a a b+  3 πθ = 5 7 7 bBCaAB == ,