专题06+数列（捷进提升篇）-2017年高考数学备考中等生百日捷进提升系列 18页

‎【背一背重点知识】‎ ‎1．求数列的通项公式，要注意多观察、多试验，大胆猜想，小心论证．‎ ‎2．已知求的问题，要特别注意的情况．‎ ‎3．求数列的通项公式，常见的有六种类型：‎ ‎（1）已知数列的前项，求其通项公式．常用方法：观察分析法、逐差法、待定系数法等，根据数列前几项，观察规律，归纳出数列通项公式是一项重要能力．‎ ‎（2）已知数列前项和，或前项和与的关系，求通项可利用．‎ ‎（3）已知递推式求通项，这类问题要求不高，主要掌握“先猜后证”“化归法”“累加法”等．‎ ‎（4）型，求问题，其关键是确定待定系数，使．‎ ‎（5）型，求问题，可用方法．‎ ‎（6）型，求问题，可用方法．‎ ‎【讲一讲提高技能】‎ ‎1．必备技能：由和递推关系求通项公式，可观察其特点，一般常用“化归法”、“累加法”、“累乘法”等．对于形如“”型的递推关系式求通项公式，只要可求和，便可利用累加法；对于形如“”型的递推关系式求通项公式，只要可求积，便可利用累积或迭代法；对于形如“”‎ 型递推关系求通项公式，可用迭代或构造等比数列法．‎ ‎2．典型例题：‎ 例1．【贵州省贵阳市2017届高三2月适应性考试】数列满足，则 （ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C．‎ 例2．【2017届河北省衡水中学高三上学期六调数学】若数列满足，且对于任意的都有，则等于（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】由 得，，则 ，， … ，以上等式相加，得 ，把a1=1代入上式得，，所以，则 ，故选D．‎ ‎【名师点睛】裂项相消在使用过程中有一个很重要得特征，就是能把一个数列的每一项裂为两项的差，其本质就是两大类型类型一:型，通过拼凑法裂解成；类型二：通过有理化、对数的运算法则、阶乘和组合数公式直接裂项型；该类型的特点是需要熟悉无理型的特征，对数的运算法则和阶乘和组合数公式．无理型的特征是，分母为等差数列的连续两项的开方和，形如型，常见的有①‎ ‎；②对数运算本身可以裂解；③阶乘和组合数公式型要重点掌握和．‎ ‎【练一练提升能力】‎ ‎1．【山西省孝义市2017届高三上学期二轮模考数学（理）试题】已知，，则数列的通项公式是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎2．【河北省冀州中学2017届高三（复习班）上学期第二次阶段考试数学（理）试题】数列满足与（与分别表示的整数部分与分数部分），则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：因为数列满足与，所以，所以，，，，，，，所以．‎ 等差数列的性质 ‎【背一背重点知识】‎ ‎1．若、、、，且，为等差数列，则．‎ ‎2．在等差数列中，仍为等数列，公差为．‎ ‎3．若为等差数列，则仍为等数列，公差为．‎ ‎4．等差数列的增减性：时为递增数列，且当时前项和有最小值；时为递减数列，且当时前项和有最大值．‎ ‎5．若等数列的前项之和可以写成，则，，当时它表示二次函数，数列的前项和是成等差数列的充要条件．‎ ‎6．设分别是等数列中所有奇数项的和与所有偶数项的和，则有当数列项数为时，有；当数列项数为时，有，‎ ‎，，．‎ ‎【讲一讲提高技能】‎ ‎1．必备技能：等差数列的性质是等差数列的定义、通项公式以及前项和公式等基础知识的推广与变形，熟练掌握和灵活应用这些性质可以有效、方便、快捷地解决许多等差数列问题．应用等差数列的性质解答问题的关键是寻找项数之间的关系．‎ ‎2．典型例题：‎ 例1．已知等差数列 中， ， ，则 的值是( )．‎ A．30 B．15 C．64 D．31‎ ‎【答案】B ‎【名师点睛】本题利用等差数列的常见性质解决，如果是公差为 的等差数列，若，则． 当然也可利用基本量法，用 表示已知量，用方程的思想解决问题．‎ 例2．等差数列的前项和为，且，则（ ）‎ A． B． C． D．4‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 考点：1、等差数列的性质；2、等差数列的前项和．‎ ‎【方法点睛】因为等差数列的前项和为，所以成等差数列，根据等差数列中也成等差数列，及，设，建立关系即可求出结论．本题主要考查等差数列的性质的应用，在等差数列中，也成等差数列是解决问题的关键．属于基础题．‎ ‎【练一练提升能力】‎ ‎1．在公差为d，各项均为正整数的等差数列{an}中，若a1＝1，an＝51，则n＋d的最小值为(　　)‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】由，则 即 ．由等式数列各项均为正整数知公差也为正整数，因此 只能是被整除的正数，则可取，对应的可为．所以的最小值为．故本题选．‎ ‎2．【2017届重庆市高三学业质量第一次调研抽测】设等差数列的前项和为，已知，则（ ）‎ A．16 B．20 C．24 D．26‎ ‎【答案】D ‎【解析】 ．故选D．‎ 等比数列的性质 ‎【背一背重点知识】‎ ‎1．通项公式的推广：．‎ ‎2．对于任意正整数，只要满足，则有．‎ ‎3．若（项数相同），是等比数列，则仍是等比数列．‎ ‎4．三个数成等比数列且积一定，通常设这三个数为比较方便．‎ ‎5．为等比数列的前和，则满足，但不一定成等比数列．‎ ‎【讲一讲提高技能】‎ ‎1必备技能：等比数列与等差数列在定义上只有“一字之差”，它们的通项公式和性质有许多相似之处，其中等差数列中的“和”“倍数”可以与等比数列中的“积”“幂”相类比．关注它们之间的异同有助于我们从整体上把握它们，同时也有利于类比思想的推广．对于等差数列项的和或等比数列项的积的运算，若能关注通项公式的下标的大小关系，可以简化题目的运算．‎ ‎2典型例题：‎ 例1．在等比数列中，若，则_______．‎ ‎【答案】 ‎【方法点睛】设等比数列的前项和为，若的公比，则 也成等比数列．本题主要考查等比数列的性质的应用，在等比数列（）中，也成等比数列是解决问题的关键．属于基础题．‎ 例2．【江西省红色七校2017届高三下学期第二次联考】已知是公比为的等比数列，是的前项和，且，若正数满足：，则 的最小值为（ ）．‎ A．2 B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【名师点睛】本题考查了等比数列的相关性质和基本不等式求最值的问题，涉及等比数列求和公式的使用时，要注意讨论 和 两种情况，基本不等式求最值，常见的是类型包括已知和为定值，求乘积的最大值， ，或是已知乘积为定值，求和的最小值， ，已知和为定值，求和的最小值，比如： 定值，求 ，可通过构造1来求最值，在变形的过程中经常会使用构造的方法．．‎ ‎【练一练提升能力】‎ ‎1．【2017届湖南省邵阳市第一次大联考】已知数列为等比数列，且（为自然对数的底数），数列首项为1，且，则的值为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎，因此．‎ ‎2．【河北省武邑中学2017届高三上学期第三次调研考试数学（理）试题】 （本小题满分10分）已知是单调递增的等差数列，首项，前项和为，数列 是等比数列，其中，且．‎ ‎（I）求和的通项公式；‎ ‎（II）令，求 前项和．‎ ‎【答案】（I）；（II）．‎ ‎【解析】‎ 数列求和 ‎【背一背重点知识】‎ 非等差、等比数列求和的常用方法：‎ ‎1．倒序相加法：如果一个数列，首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一常数，那么求这个数列的前项和即可用倒序相加法，如等差数列的前前项和即是用此类法推导的．‎ ‎2．分组转化求和法：若一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组转化法，分别求和而后相加减．‎ ‎3．错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前项和即可用此法来求，如等比数列的前项和就是用此法推导的．‎ ‎4．裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和．‎ ‎【讲一讲提高技能】‎ ‎1必备技能：数列求和的方法：（1）一般的数列求和，应从通项入手，若无通项，先求通项，然后通过对通项变形，转化为与特殊数列有关或具备某种方法适用特点的形式，从而选择合适的方法求和；（2）解决非等差、等比数列的求和，主要有两种思路：①转化的思想，即将一般数列设法转化为等差或等比数列，这一思想方法往往通过通项分解或错位相减来完成．②不能转化为等差或等比数列的数列，往往通过裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等来求和．‎ ‎2典型例题：‎ 例1．已知数列的前项和为，，若数列满足，则数列的前项和为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【名师点睛】本题考察的是数列求通项求和的相关知识，求通项公式时利用解决，在数列求和问题中，首先要观察数列的通项公式的特点从而确定相应的方法，如通项公式为的数列采用裂项相消法求和，通项公式为的数列采用分组求和法，通项公式为的数列采用错位相减法求和，当数列的首位对应项的和为同一数值时采用倒序相加法，本题中可看作数列求和，因此采用错位相减法．‎ 例2．【2017届山西晋中榆社中学高三理11月月考】设数列的前项和为，且对任意正整数，满足．‎ ‎（I）求数列的通项公式．‎ ‎（II）设，求数列的前项和．‎ ‎【解析】‎ 试题解析：（I）因为，所以，当时，，两式相减得，即 ‎ 又当时，，即 ‎ 所以是以首项，公比的等比数列，所以数列的通项公式为．‎ ‎（II）由（I）知，，‎ 则，①‎ ‎，②‎ ‎②-①得 ‎，所以，数列的前项和为．‎ ‎【名师点睛】本题考查递推公式、等比数列及其性质、错位相减法，涉及分类讨论思想、数形结合思想和转化化归思想，考查逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力，综合性较强，属于较中档题．第一小题由当时，，两式相减得 ‎．再当时上式成立是等比数列 ．第二小题易得 再利用错位相减法求得．‎ ‎【练一练提升能力】‎ ‎1．【2017届云南曲靖一中高三上学期月考四数】已知数列中，，其前项和满足（）．‎ ‎（I）求数列的通项公式及前项和；‎ ‎（II）令 ，求数列的前项和．‎ ‎【答案】（I）（），；（II）．‎ ‎【解析】‎ ‎2．【2017届安徽省合肥市高三一模】已知等差数列的前项和为，且满足．（Ⅰ）求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）若，求数列的前项和．‎ ‎【答案】（I）；（II）．‎ ‎】【全国市级联考】拟考试数学（理）试卷（带解析）‎ ‎【解析】‎ ‎ 3．【2017届山西省临汾一中、忻州一中、长治二中等五校高三上学期第五次联考】已知等差数列的公差，且．‎ ‎（I）求数列的通项公式；‎ ‎（II）求数列的前项和．‎ ‎【答案】（I）；（II）‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（I）根据等差数列的性质 ，解得 ，根据两项求等差数列的公差，后求通项公式；（II）方法一：将通项公式整理为 ， ，这样相消后得到结果；方法二：将数列化简为 ，这样可采用错位相减法求和．‎ 试题解析：（I）因为，所以是方程两根，且， ‎ 解得，所以，即，所以． ‎ ‎（II）（方法一）因为， ‎ 所以． ‎ ‎（方法二）因为， ‎ 所以，‎ 所以， ‎ 所以，所以．‎ ‎（一）选择题（12*5=60分）‎ ‎1．【2017河北唐山市高三一模】设等差数列的前项和为，若，，则（）‎ A．1 B．0 C． D．4‎ ‎【答案】B ‎【解析】由已知及可得 ，故选B．‎ ‎2．【河南省洛阳市2017届高三第二次统一考试】已知等差数列的公差和首项都不等于，且，，成等比数列，则等于（ ）‎ A． B． C． D． ‎【答案】D ‎ ‎ ‎3．已知数列为等比数列，是它的前项和，若，且与的等差中项为，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】由题设，即，则由，即，所以，则 ，应选答案C．‎ ‎4．《张丘建算经》是我国北魏时期大数学家丘建所著，约成书于公元年间，其记臷着这么一道题：某女子善于织布，一天比一天织得快，而且每天增加的数量相同．已知第一天织布尺，天其织布尺，则该女子织布每天增加的尺数（不作近似计算）为（ ）‎ A． B． C． D． ‎【答案】A ‎【解析】试题分析：实际为等差数列问题，已知，求公差，即，选A．‎ ‎5．【安徽省宿州市2017届高三第一次教学质量检测】设数列是单调递增的等差数列，且，，成等比数列，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】由且，，成等比数列，所以，解得或（舍去），所以，故选B．‎ ‎6．【辽宁省大连市2017届高三3月双基测试】等差数列的公差，且，，称等比数列，若，为数列的前项和，则的最大值为（ ）‎ A． B． C． D． ‎【答案】D ‎7．【陕西省宝鸡市2017届高三教学质量检测】正项等比数列中， ，若，则的最小值等于（ ）‎ A．1 B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】由得，所以，从而，当且仅当时取等号，所以选B．‎ ‎8．【2017届湖北省荆、荆、襄、宜四地七校考试】数列满足，且，记为数列的前项和，则 A． B． C． D． ( )‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎ 9．【2017届陕西省西安市铁一中学高三上学期第五次模拟考试】已知，我们把使乘积…为整数的数叫做“优数”，则在区间（1，2004）内的所有优数的和为 （ ）‎ A．1024 B．2003 C．2026 D．2048‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：∵为整数，此时，为整数，此时，以此类推：在区间(1，2004)内的所有优数为2，6，14，30，…1022，∴通项公式为，∴．‎ ‎10．【2017届广西南宁市金伦中学高三上学期期末考试】已知数列的前项和为，且，则 A． B． C． D． （ ）‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 试题分析：由题意得， ，则 ，即 ，故选A．‎ ‎11．【2017届云南曲靖一中高三文上学期月考四】已知点在曲线上，且，且，则的最大值等于（ ）‎ A．9 B．10 C．6 D．11‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎ 12．【2017届湖北省荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟高三2月联考】数列满足，且，记为数列的前项和，则( )‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】D ‎【解析】由得，所以数列为等差数列，因此 ‎，因此，，选D．‎ ‎（二）填空题（4*5=20分）‎ ‎13．【2017届吉林省吉林市普通中学高三毕业班第二次调研测试】设为数列的前项和，若，则__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】当为偶数，；当为奇数，；所以．‎ ‎14．【2017届山西晋中榆社中学高三文11月月考】已知数列的通项公式，若对任意恒成立，则的取值范围是____________．‎ ‎【答案】‎ ‎ 15．【湖南省2017届高三长郡中学、衡阳八中等十三校重点中学第一次联考】已知函数，数列中，，则数列的前100项之和__________．‎ ‎【答案】10200．‎ ‎【解析】因为，所以 ，‎ ‎ ，同理可得：‎ ‎，，的前100项之和．故答案为： ．‎ ‎16．【2017届湖北省武汉市武昌区高三1月调研考试】设等差数列的前项和为，已知，为整数，且，则数列 的前9项和为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析： ，函数是开口向下的抛物线，即 ， ，函数的对称轴 ，当 时，对称轴 ，不满足 ，若 ，对称轴 成立，所以 ， ，而 ，所以前9项和为 ‎ 故填：．‎